雙重二次根式是初中數(shù)學(xué)中較為特殊的一類根式形式，形如 （其中 a.b 為有理數(shù)， b>0} ）此類根式的化簡和計(jì)算對于學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)槠渖婕拜^為復(fù)雜的代數(shù)變形和運(yùn)算.因此，掌握有效的解題思路和方法對于突破該難點(diǎn)至關(guān)重要.

1配方法解雙重二次根式

配方法是將雙重二次根式 內(nèi)部的式子配成完全平方式.該方法主要利用公式 ，兩邊平方，得到 其中 通過解方程組就可以求出 x，y .隨后將雙重二次根式內(nèi)部的二次根式化成平方形式，從而脫去外層根號.

例1 化簡 ·

解析 該習(xí)題可使用配方法進(jìn)行化簡.觀察 可以得出， 所以使用配方法進(jìn)行化簡：

原式 .根據(jù)完全平方公式 (m+n)O²=m²+2mn+n² ，則

例2 化簡

解析觀察式子 ，注意到該雙重二次根式前面的系數(shù)是奇數(shù)3，無法直接使用完全平方公式進(jìn)行化簡.對于此類雙重二次根式，需要先設(shè)法將前面的“奇數(shù)”變成“偶數(shù)”，然后再利用配方法來進(jìn)行化簡.為把系數(shù)3變成偶數(shù)，可以將式子變形為3 則原式變?yōu)? 利用完全平方公式 ，可轉(zhuǎn)換為 .隨后進(jìn)行計(jì)算，可求得最終結(jié)果，具體過程如下：原式

在使用配方法時(shí)，關(guān)鍵是要對 a 和 的關(guān)系進(jìn)行分析，找到合適的數(shù)進(jìn)行拆分和配方.該方法需要對完全平方公式有深刻的理解和熟練運(yùn)用的能力，通過不斷嘗試和觀察，將雙重二次根式轉(zhuǎn)化為可直接化簡的形式.

2平方法解雙重二次根式

平方法是處理雙重二次根式問題非常有效的方法.其原理基于等式兩邊同時(shí)平方可以消除根號的原理．對于雙重二次根式 ，設(shè) x= ，則 .如此，將原本復(fù)雜的雙重二次根式轉(zhuǎn)化為較為簡單的含有根號的表達(dá)式.隨后進(jìn)行化簡，消除不必要的項(xiàng)或者進(jìn)行合并同類項(xiàng)等操作.最后再對化簡后的結(jié)果進(jìn)行開平方，就能夠快速完成雙重二次根式的化簡，得到結(jié)果.

例3 化簡

解析 觀察此題發(fā)現(xiàn)，兩根號內(nèi)的被開方數(shù)互為有理化因式，可直接使用開平方法化簡： （24號 整理得 ·

例4求方程 的解.

解析觀察原式，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過多次開方后，x 的解顯然無負(fù)根，并且通過常規(guī)計(jì)算，計(jì)算量較

大，容易出錯(cuò).

此時(shí)，可令 ，則有 x=y²-2 ，則有 所以 （移項(xiàng)），兩邊開方得 ，與

原方程比較， y=x ，即 ，兩邊平方得 ²⁺

x=x² ，解關(guān)于 x 的二次方程，得 x=2 或 x=-1

而 x 不為負(fù)，所以 x=2

使用平方法時(shí)要注意，在求出 的值后，需要根據(jù)雙重二次根式的非負(fù)性來確定 x 的值，避免出現(xiàn)增根.同時(shí)，該方法在計(jì)算時(shí)可能會涉及較為復(fù)雜的運(yùn)算，需要仔細(xì)化簡.

3換元法解雙重二次根式

換元法在處理雙重二次根式問題時(shí)，是將原雙重二次根式中的特定部分進(jìn)行換元，如對于雙重二次根式 ，可以設(shè) .如此，原本復(fù)雜的雙重二次根式就可轉(zhuǎn)化為含有 Ψ_tΨ_Ψ 的表達(dá)式.通過該方法，能夠簡化問題，使復(fù)雜的雙重二次根式化簡變得更加容易操作.

例5已知等式 成立，求 x 的取值范圍.

解析分析習(xí)題，可將內(nèi)部根號換元，并轉(zhuǎn)換為關(guān)于 x 的方程，隨后代入原式，進(jìn)行化簡求值.

令 ，兩邊平方得 2x-1=t² ，將其轉(zhuǎn)換為關(guān)于 x 的方程得 .將其代入原等式： ，化簡得 Ψ_t +1+∣t-1∣=2 ，又由 ，則有 ，計(jì)算可得

換元法的優(yōu)勢在于能夠?qū)?fù)雜的雙重二次根式轉(zhuǎn)化為相對簡單的形式，通過對新變量的處理來求解.但在換元過程中，要注意新變量的取值范圍，并且在最后要將新變量還原為原來的變量.

4待定系數(shù)法解雙重二次根式

根據(jù)雙重二次根式的特點(diǎn)，將原式設(shè)為幾個(gè)簡單二次根式的和或差的形式，通過平方并化簡后比較系數(shù)求出結(jié)果.注意：待定系數(shù)法之所以可以使用，是因?yàn)槎胃降男再|(zhì)：設(shè) a，b，c，d，n 是有理數(shù)，且 n 不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng) a=c，b=d 時(shí) $\\mathscr { a } + b \\sqrt { n } = c + d \\sqrt { n }$ ·

例6 化簡 業(yè)

解析本題采用待定系數(shù)法來化簡雙重二次根式.通過設(shè) ，然后兩邊平方，利用二次根式的性質(zhì)，通過比較系數(shù)來確定 a，b，c 的值，從而化簡原式.

設(shè) 兩邊平方可得， .化簡 ，得 ，即 .根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等時(shí)等式成立，所以有 多項(xiàng)聯(lián)立解得 a=2，b=1，c=3 ，且符合 a+b+c=6 所以

待定系數(shù)法的關(guān)鍵在于合理假設(shè)化簡形式，通過平方建立方程，然后比較系數(shù)確定方程組，最后求解方程組得出化簡結(jié)果.該方法需要一定的觀察能力，在解決雙重二次根式問題中具有一定的靈活性和有效性.

5結(jié)語

雙重二次根式的解題方法多種多樣，配方法、平方法、換元法和待定系數(shù)法都有其各自的特點(diǎn)和適用范圍.在實(shí)際解題過程中，需要根據(jù)具體的雙重二次根式的形式來選擇合適的方法.通過不斷的練習(xí)和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，熟練掌握這四種方法，能夠提高學(xué)生解決雙重二次根式問題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，上述方法之間也存在著一定的聯(lián)系，在某些情況下可以結(jié)合使用，以達(dá)到更好的解題效果.