中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008 -0333（2025）16-0027 -03

隨著核心素養(yǎng)理念在基礎(chǔ)教育中的深人推進(jìn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為課程改革的關(guān)鍵議題.運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要維度，不僅是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基本工具，更是邏輯思維與理性精神的重要載體.然而，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，尤其是解析幾何等高運(yùn)算強(qiáng)度模塊，學(xué)生普遍面臨運(yùn)算速度慢、準(zhǔn)確性低及策略性不足等問題，直接影響其學(xué)科素養(yǎng)的全面發(fā)展與高考應(yīng)試效能.本文以高考解析幾何為切入點(diǎn)，立足核心素養(yǎng)框架，探討分層遞進(jìn)的運(yùn)算能力培養(yǎng)策略，通過教學(xué)案例分析與實(shí)踐路徑構(gòu)建，旨在為破解運(yùn)算教學(xué)困境、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的深化發(fā)展提供參考.

1高中生運(yùn)算能力存在的問題

1. 1 基礎(chǔ)能力問題

許多基本的計(jì)算習(xí)慣和技巧是在小學(xué)和初中階段就形成的，但由于某些原因，部分高中生對(duì)此有所欠缺，再加之高中階段的數(shù)學(xué)難度逐步加大，學(xué)生對(duì)運(yùn)算信心不足，于是一部分學(xué)生對(duì)公式死記硬背，缺乏理解；另一部分學(xué)生便開始自暴自棄，喪失運(yùn)算熱情.此外，對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的不明確也是影響運(yùn)算準(zhǔn)確性的一個(gè)因素.數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系和運(yùn)算的規(guī)則，如果學(xué)生對(duì)這些性質(zhì)理解不夠深人，就會(huì)在運(yùn)算過程中忽視或者錯(cuò)誤地應(yīng)用這些性質(zhì)，進(jìn)而影響運(yùn)算的準(zhǔn)確性[1].

1. 2 審題不清

在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在審題環(huán)節(jié)存在諸多問題：部分學(xué)生審題不清、閱讀能力薄弱，難以理解題目要求，還有些學(xué)生抽象能力不足，無法有效提取關(guān)鍵信息，這些原因往往會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤.良好的審題是解題的首要條件，它決定了學(xué)生能否找到正確的解題方向，從而進(jìn)行運(yùn)算，因此審題對(duì)于運(yùn)算能力的形成至關(guān)重要.

1.3 認(rèn)知中的負(fù)遷移

每個(gè)人都喜歡躺在舒適圈內(nèi)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也存在知識(shí)負(fù)遷移的問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)漸進(jìn)的過程，但很多時(shí)候由于對(duì)新知識(shí)不熟練，學(xué)生在解題時(shí)還是會(huì)本能地選擇之前已經(jīng)熟練的解題方法.

例如，學(xué)完解三角形以后已經(jīng)可以直接處理大部分帶有三角形的幾何問題，但還是有學(xué)生試圖在這些題目中使用全等或是相似的初中辦法.長(zhǎng)久下去若形成思維定式，學(xué)生解題會(huì)變得越來越困難.

2培養(yǎng)運(yùn)算能力的具體策略

單純地運(yùn)算實(shí)際上是一種非?？菰锏倪^程，因此教師在教學(xué)過程中要想辦法讓學(xué)生主動(dòng)克服這種枯燥.這就需要教師巧妙地設(shè)置習(xí)題，使學(xué)生有求解的欲望，而運(yùn)算變成了通往答案的必經(jīng)之路，這樣學(xué)生便感受不到運(yùn)算的乏味，而是主動(dòng)地去驗(yàn)證.

2.1 從簡(jiǎn)單問題開始，消除學(xué)生恐懼感

由于解析幾何的運(yùn)算量非常大，解題時(shí)某些思路理論上能計(jì)算得到結(jié)果，但是真正著手運(yùn)算時(shí)又舉步維艱.所以長(zhǎng)久以來，很多學(xué)生對(duì)解析幾何以及基礎(chǔ)運(yùn)算有強(qiáng)烈的恐懼或是抵觸情緒.針對(duì)這一情況，教師可以從簡(jiǎn)單問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在不知不覺中參與到學(xué)習(xí)探討中來.

例題 已知橢圓 ，直線 l：y=-x 與橢圓交于 ^A，B 兩點(diǎn)，求 ^A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo).

本題難度低，主要是讓學(xué)生感受在判斷直線與圓錐曲線的關(guān)系時(shí)，聯(lián)立方程的過程.

師：同學(xué)們，本題該如何求解？

生：將兩者聯(lián)立解方程組師：在腦海中推導(dǎo)一下，計(jì)算量大不大？

生：不大.

師：好，那請(qǐng)快速計(jì)算出來在學(xué)生得出結(jié)果后，教師可繼續(xù)提出變式1：

變式1 已知橢圓 ，直線 +5 與橢圓交于 ^A，B 兩點(diǎn)，求 ^A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo).

師：本題與例1有何差別？

生：直線 l 不再過原點(diǎn)了.

師：求解方法有變化嗎？計(jì)算量是否變大了？

生：方法還是聯(lián)立方程組，計(jì)算量可能大了一點(diǎn)繼續(xù)提出變式2：

變式2 已知橢圓 1，直線：y=-x +5 與橢圓交于 ^A，B 兩點(diǎn)，求線段 AB 中點(diǎn) M 的坐標(biāo).

本題可以將 ^A，B 兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來，而后聯(lián)立方程組，使用韋達(dá)定理將點(diǎn) M 坐標(biāo)求出來.

師：本題可以聯(lián)立方程求解嗎？

生：當(dāng)然可以，還是聯(lián)立方程組求出 ^A，B 兩點(diǎn)坐標(biāo)，而后使用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

師：有必要求出 ^A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

生：可能沒必要，因?yàn)辄c(diǎn) M 的橫坐標(biāo) x_M χ4+χB，如若能直接求出4＋χB就可以得出結(jié)果.

師;怎樣可以求出 x_A+x_B ？

生：聯(lián)立后使用韋達(dá)定理

設(shè)計(jì)意圖本模塊主要起到“階梯”的作用.教師引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單的一類題開始逐漸探索，不但能夠消除他們的抵觸心理，激發(fā)運(yùn)算熱情，而且能夠讓他們體會(huì)到一個(gè)復(fù)雜的問題是如何從簡(jiǎn)單的問題衍生出來的.

2.2 加深題目難度，體會(huì)算理之美

如果只是在簡(jiǎn)單的題目中反復(fù)運(yùn)算，學(xué)生會(huì)在短暫的熱情過后迅速感到無趣.顯然上述題目在思維訓(xùn)練深度上遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因此教師需要繼續(xù)加深題自的難度與綜合性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入探究

變式3 已知橢圓 的離心率為 上頂點(diǎn)為 D ，斜率為 k 的直線 ξ_l 與橢圓C 交于不同的兩點(diǎn) A，B，M 為線段 AB 的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，直線 l 恰好經(jīng)過點(diǎn) D 求橢圓C 的方程.

師：本題還能不能采用上幾題的解題思路？

生：似乎可以，可將直線 l 的方程設(shè)出后聯(lián)立

師：好，動(dòng)手試試吧

在學(xué)生運(yùn)算遇到困難后，教師可順勢(shì)提問：理論上確實(shí)可以通過此辦法求解，但實(shí)際情況如何？

生：計(jì)算量太大，求不出來.

師：解析幾何經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題 一 -理論和實(shí)操有差距.所以現(xiàn)在我們要想一個(gè)更加巧妙的辦法.想象一下，橢圓的式子中含有 x² 和 y² ，現(xiàn)在橢圓上有兩個(gè)點(diǎn) A 和 B ，若將 ^A，B 坐標(biāo)代人可得到含有什么的式子？

生： x₁²-x₂² 和 y₁²-y₂² 師：使用平方差公式之后呢？

生： （x₁-x₂）（x₁+x₂） 和 （y₁-y₂）（y₁+y₂）.

師：要注意到這兩個(gè)式子是在分子上出現(xiàn)的，移項(xiàng)后兩者可以做除法，這分別和什么相關(guān)？

生：減法與斜率相關(guān)，加法與中點(diǎn) M 相關(guān)

設(shè)計(jì)意圖本模塊通過逐步提升基礎(chǔ)習(xí)題的難度與綜合性，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到高中數(shù)學(xué)運(yùn)算并不是有耐心就可以，而是需要在運(yùn)算前對(duì)計(jì)算結(jié)果有一個(gè)大致的推理，判斷此條“道路”能否走通.另外，通過表示斜率的方式，學(xué)生也可以進(jìn)一步理解“設(shè)而不求”這種在解析幾何中應(yīng)用頻率極高的技巧.

2.3 尋求一般性結(jié)論，體驗(yàn)運(yùn)算成就感

課程進(jìn)行到此處一般有兩種選擇：一是進(jìn)一步加深題目，讓學(xué)生在更難的題目中熟練并理解各種技巧；二是將題目中的已知全部換為字母，求解一些一般性結(jié)論.本文選用第二種情況舉例

變式4 已知橢圓 和直線 y=kx+m 交于 P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂） 兩點(diǎn)，請(qǐng)求出： x₁ +x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，k_OP?k_OQ 的值.

本題通過純字母的運(yùn)算，可以提升學(xué)生對(duì)于“聯(lián)立、消元、韋達(dá)定理”的解析幾何常見三部曲的熟練度，也更能加深對(duì)于此種辦法的理解.

師：本題又有什么區(qū)別？

生：計(jì)算思路沒變化，但是沒有數(shù)了.

師：那么請(qǐng)大家動(dòng)筆感受一下吧，由于計(jì)算步驟繁多，請(qǐng)把每一步都寫工整.

設(shè)計(jì)意圖本模塊通過對(duì)一般性結(jié)論進(jìn)行不同形式的計(jì)算，讓學(xué)生在重復(fù)步驟中提升熟練度，同時(shí)通過形式變化降低枯燥感.另外，借助較難的運(yùn)算任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算意識(shí)與心理素質(zhì)，幫助學(xué)生養(yǎng)成不畏艱難、吃苦耐勞的學(xué)習(xí)品質(zhì)[2].

2.4 整體反思，形成能力

在對(duì)具體的題目完整運(yùn)算和講解以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到自身的不足并再次感受運(yùn)算過程和技巧，從而形成“本能型”的運(yùn)算能力

師：請(qǐng)大家想一想，這幾道題我們都犯了哪些錯(cuò)誤？帶給我們什么啟發(fā)？

生：低級(jí)的運(yùn)算錯(cuò)誤、變式3計(jì)算思路的錯(cuò)誤基礎(chǔ)計(jì)算時(shí)應(yīng)當(dāng)小心謹(jǐn)慎并隨時(shí)進(jìn)行驗(yàn)算，在確定解題思路時(shí)應(yīng)提前預(yù)料結(jié)果中式子的情況，以確定該方法是否有可行性

師：非常好，需要補(bǔ)充的是，我們?cè)谧詈蟮贸隽艘恍┮话阈越Y(jié)論，希望大家體會(huì)數(shù)學(xué)中一般性結(jié)論的美妙和實(shí)用性，并在以后養(yǎng)成反思的習(xí)慣.

設(shè)計(jì)意圖本模塊的主要目的是對(duì)之前的知識(shí)技巧進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生站在更高、更完整的角度上去看待運(yùn)算.另外可以通過反思提醒學(xué)生要養(yǎng)成基本的運(yùn)算習(xí)慣，有利于其形成綜合且深刻的運(yùn)算能力.

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)是核心素養(yǎng)落地的重要抓手，尤其在解析幾何這類高運(yùn)算強(qiáng)度的模塊中，教師需以學(xué)生為本，通過階梯式引導(dǎo)、技巧滲透與思維深化，將枯燥的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為探索與發(fā)現(xiàn)的旅程.從消除恐懼到領(lǐng)悟算理，從技巧磨煉到反思升華，這一過程不僅是解題能力的提升，更是邏輯思維、創(chuàng)新意識(shí)與學(xué)習(xí)韌性的全方位鍛造.唯有如此，學(xué)生方能在高考的復(fù)雜情境中靈活調(diào)用運(yùn)算能力，于理性運(yùn)算與直覺洞察的平衡間，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的積淀與生長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］馬曉華.核心素養(yǎng)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)[J].試題與研究，2023（17）：57-59.

[2］郭立祥.解題教學(xué)中促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展之探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（05）：10-14.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]