中圖分類號：0213.6 文獻標志碼：A 文章編號：1003-5168(2025）12-0070-05

DOI: 10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.12.013

Dynamic Modal Reconstruction Method Based on Real-time Data Projection and Its Application in Tunnel Acoustic Field Prediction

DONG Zhenlin (Qinghai Provincial Transportation Construction Engineering Cost Station，Xining8171O1，China)

Abstract: [Purposes]To address the unsuitability of existing modal reconstruction methods for predicting non-stationary physical fields with increasing prediction steps，this paper aims to enhance the adaptability of Dynamic Mode Decomposition (DMD) for non-stationary physical field prediction.[Methods] Based on Koopman-mode decomposition and data driven physical field reconstruction，this paper proposes a dynamic modal reconstruction method based on real-time data projection.Its effectiveness has been verified through two cases: strong sound-absorbing walls and highly reflective walls in a tunnel. [Findings] Unlike traditional methods that perform reconstruction using the initial physical field，the dynamic modal reconstruction method based on real-time data projection can effctively eliminate the error accumulation caused by the non-stationary acoustic field by continuously incorporating the latest real - time data for data mapping，thus significantly improving prediction accuracy.The proposed method can be an efficient prediction tool for non-stationary physical fields.[Conclusions] The error-accumulation effect of existing modal reconstruction methods originates from thecontinuous introduction of new information in non-stationary physical field data.Real-time data projection can resolve the erroraccumulation phenomenon.

Keywords: data-driven; non-stationary; acoustic signal; tunnel; dynamic mode decomposition

0 引言

近年來，隨著我國公路網(wǎng)絡(luò)的不斷完善，隧道的建設(shè)工程數(shù)量不斷增加。由于隧道是一個半封閉結(jié)構(gòu)，噪聲經(jīng)過隧道壁面的反射疊加不易擴散，相較于開闊路面噪聲更大，并在隧道內(nèi)部產(chǎn)生“音箱效應(yīng)”]。長時間的混響疊加隧道帶來的視覺單一，使人產(chǎn)生困倦，增加了交通事故發(fā)生的風(fēng)險[2]。因此，隧道內(nèi)的聲場研究越來越受到關(guān)注。

隨著計算機的不斷發(fā)展，數(shù)值模擬被廣泛應(yīng)用于聲學(xué)研究與工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域，成為獲取聲場信息的主要手段之一。吳碩賢3利用虛墻理論對隧道內(nèi)聲場進行預(yù)測。師利明等4從聲學(xué)理論方面對隧道內(nèi)聲場進行預(yù)測。然而隨著計算域尺寸和邊界復(fù)雜程度的增加，數(shù)值模擬成本迅速增加，特別是特長隧道場景。除了虛墻理論和聲學(xué)理論方法，類比預(yù)測也被學(xué)者采用[5]。當前也涌現(xiàn)了大量基于實測的公路隧道內(nèi)交通噪聲的統(tǒng)計模式，例如美國FHWA模式、英國CoRTN模式[、德國RLS90模式、日本ASJ-1993模式等。然而，通過實測方法獲得全場的聲場數(shù)據(jù)隨時間演化的成本高昂。

基于試驗或數(shù)值龐大的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)驅(qū)動的聲場預(yù)測技術(shù)受到科學(xué)界與工業(yè)界的廣泛關(guān)注。當前基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的聲場預(yù)測技術(shù)方案主要有兩種，一種是基于機器學(xué)習(xí)的聲場預(yù)測：通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[0]深度學(xué)習(xí)等方法，使用已有聲場數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)學(xué)習(xí)，通過學(xué)習(xí)后的模型進行聲場預(yù)測。目前，通過機器學(xué)習(xí)方式得到的模型為黑箱模型，缺少相應(yīng)的物理解釋，且計算成本高。另一種是基于降階模型的方法，即采用基于奇異值分解或其他方式得到數(shù)據(jù)的主要模態(tài)，通過主要模態(tài)重構(gòu)形成降階模型，從而開展預(yù)測分析，例如在剪切流和聲場耦合[12]、激波聲場耦合[13]及流動噪聲領(lǐng)域[14]。動態(tài)模態(tài)分解(Dynamic Mode Decomposition，DMD)[15]是一種基于Koopman理論的模態(tài)提取算法，由于其能夠提取數(shù)據(jù)中的時空相干結(jié)構(gòu)，在計算流體力學(xué)、實驗流體力學(xué)、電氣工程、腦神經(jīng)科學(xué)等多個領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。

動態(tài)模態(tài)分解技術(shù)將數(shù)據(jù)信息基于頻率信息進行分解，使用模態(tài)、模態(tài)特征值和模態(tài)系數(shù)進行物理場的重構(gòu)。該方法擅長揭示具有離散頻率的物理場的空間分布與時間特征。近期，劉剛等[16提出了一種基于自適應(yīng)步長的DMD分析方法，提高了DMD分析方法預(yù)測的計算效率。然而，當數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)特征突出時，該重構(gòu)方法會出現(xiàn)誤差積累，使得預(yù)測精度大幅降低。隧道內(nèi)聲場是一個典型的非平穩(wěn)聲場。本研究提出了一種改進的動態(tài)模態(tài)分解方法，該方法基于最新數(shù)據(jù)投影在模態(tài)上的權(quán)重，避免了隨預(yù)測時間增加導(dǎo)致的誤差積累，提高了預(yù)測精度。本研究以隧道內(nèi)強吸聲壁面和強反射壁面為例，討論了該方法在隧道內(nèi)非平穩(wěn)聲場預(yù)測中的有效性。

1基于實時數(shù)據(jù)投影的動態(tài)模態(tài)替代模型預(yù)測原理

1.1 DMD分解

動態(tài)模態(tài)分解方法起源于Koopman[1有關(guān)于非線性動力系統(tǒng)的研究。Koopman算子與非線性動力系統(tǒng)之間存在緊密聯(lián)系，因此Koopman理論為動態(tài)模態(tài)分解方法的研究奠定了理論基礎(chǔ)。動態(tài)模態(tài)分解方法作為一種優(yōu)秀的數(shù)據(jù)驅(qū)動算法已被廣泛應(yīng)用于試驗與數(shù)值模擬的流動分析中，具體見式(1)。

式中： x_i 為第 i 時刻的聲場數(shù)據(jù)。

且存在一個線性算子 A 能夠描述相鄰時刻的聲場快照之間的線性相關(guān)，見式(2)。

x_i+1=Ax_i

因此，基于聲場數(shù)據(jù)快照 X ，可以構(gòu)建兩個快照矩陣 X₁，X₂ ，見式(3)和式(4)。

X₂=[x₂，x₃，x₄，x_i，^?，x_N]

由于聲場數(shù)據(jù)的空間點個數(shù)與快照時間數(shù)巨大，線性算子A難以直接計算。對此使用奇異值分解（SVD）方法計算 A 的相似矩陣 ，首先對 X₁ 進行奇異值分解，見式(5）。

式中： Σ 為對角矩陣； U 和 V 為酉矩陣。

根據(jù)式(2)和式(5)，矩陣A可以寫為式(6)。

基于矩陣A，相似矩陣 可以寫為式（7）。

計算相似矩陣 的特征值與特征向量，見式(8)。

式中： W 為 的特征向量； A 為 的特征值。

因此，動態(tài)模態(tài)分解模態(tài) ? 見式（9）。

?=X₂VΣ^-1W

其中，模態(tài)矩陣 ? 中包含各模態(tài) ?_i 。

1.2基于最新數(shù)據(jù)投影的重構(gòu)原理

當分解獲得模態(tài)特征值和模態(tài)系數(shù)后，可以基于式(2)開展下一個時刻的聲場預(yù)測。由于各模態(tài)的能量占比不同，可以選取主要模態(tài)進行重構(gòu)，即式(10)。

式中： r 為截斷數(shù)； ? 為Moore-Penrose偽逆；λ_i，b_i 分別為第 i 階模態(tài)的特征值與模態(tài)系數(shù)。動態(tài)模態(tài)分解方法使用線性矩陣代替原有動力系統(tǒng)中復(fù)雜的非線性關(guān)系，對數(shù)據(jù)進行降階?；诰€性矩陣對數(shù)據(jù)進行重構(gòu)，具有模型簡單、數(shù)值穩(wěn)定等特點。

然而，如式(10)所示，傳統(tǒng)的重構(gòu)方法利用初始時刻的數(shù)據(jù)場 x₁ 經(jīng)過多次線性映射來重構(gòu)，當物理場存在顯著的非平穩(wěn)特征時，隨著預(yù)測步數(shù)的增加，傳統(tǒng)動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法會出現(xiàn)誤差累積，使得預(yù)測精度降低。為了克服這一缺點，使用當前最新的聲場數(shù)據(jù) x_k 在模態(tài)下的映射 C ，見式（11）。

C=x_kΦ^?

利用線性映射預(yù)測下一時刻的物理場，即式(12)。

在該方法中，當前最新的聲場數(shù)據(jù) x_k 既可以利用最新的預(yù)測解決，也可以利用試驗的結(jié)果進行更新。從而通過降低線性映射次數(shù)，減少了隨著預(yù)測步數(shù)的增加導(dǎo)致的誤差累計?；诟倪M的模態(tài)重構(gòu)方法，開展聲場預(yù)測方法的計算流程如圖1所示。

2案例1：非定常聲場在強吸聲隧道內(nèi)的傳播預(yù)測

2.1 數(shù)據(jù)產(chǎn)生

隧道內(nèi)聲場的特點在于其明顯的非平穩(wěn)過程。因此本研究構(gòu)建了一個振幅隨時間線性增長且在空間上為正弦變化的理想時間序列二維聲場數(shù)據(jù)集，對該改進方法進行測試，見式（13）。

式中： t 為時間； L_x=L_y=200 。由式(13)可以看出，聲壓 p 在 x 和 y 方向具有正弦變化，同時隨著時間 Φ_t 以0.1的速率幅值整體逐漸增加。

利用式(13）產(chǎn)生總時長為 40s 的理想時間序列二維聲場數(shù)據(jù)集，如圖2所示。時間序列的時間間隔為 0.05s 。每一個時刻上， x 方向網(wǎng)格點數(shù)為200， y 方向網(wǎng)格點數(shù)為 100 。

2.2 預(yù)測分析

本研究利用上述0\\~15s的數(shù)據(jù)集進行動態(tài)模態(tài)分解，并將15\\~27.5s的數(shù)據(jù)作為對比驗證數(shù)據(jù)，同時采用 t=[16.5s ， 18s ，…，26s，27.5s]時刻的聲場數(shù)據(jù)作為新增數(shù)據(jù)，用于更新數(shù)據(jù)集。

本研究分別利用傳統(tǒng)的動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法和改進后的重構(gòu)方法進行預(yù)測。以(0，50)處的聲壓為例，兩種方法預(yù)測的結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，傳統(tǒng)動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法無法對該數(shù)據(jù)集進行準確預(yù)測，主要體現(xiàn)在聲壓幅值隨著時間正弦變化的非平穩(wěn)特征沒有被很好地抓住。而改進的重構(gòu)方法能夠顯著提高預(yù)測的準確性，且能夠有效預(yù)測該時間非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)集。

傳統(tǒng)重構(gòu)方法與改進的重構(gòu)方法所預(yù)測的結(jié)果對于驗證數(shù)據(jù)集的平均相對誤差對比如圖4所示。由圖4可知，傳統(tǒng)動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法隨預(yù)測步數(shù)的增加，平均相對誤差顯著增加，由 10% 增加至30% 。而改進的重構(gòu)方法對于聲場的預(yù)測效果較好，隨預(yù)測步數(shù)的增加，對于平均相對誤差影響較小，平均相對誤差小于 5% 。同時對比全場的聲壓結(jié)果，改進的重構(gòu)方法對 t=22.5 s時刻預(yù)測的聲場空間分布情況如圖5所示。圖5與圖2(b)基本一致，由此可知，改進的重構(gòu)方法能有效捕捉本案例中理想聲場數(shù)據(jù)的時空時間演化規(guī)律。

3案例2：非定常聲場在強反射隧道內(nèi)的傳播預(yù)測

3.1 數(shù)據(jù)產(chǎn)生

考慮到隧道有較大的長徑比，使用有限差分算法對隧道環(huán)境進行聲場模擬。隧道縱截面的空間網(wǎng)格劃分如圖6所示， x 方向長度為 500m ，網(wǎng)格數(shù)為 1000;y 方向長度為 50m ，網(wǎng)格數(shù)為100。

波動方程采用二階中心差分格式，見式（14）。

上下邊界為全反射邊界，左右邊界為透射邊界。

本研究設(shè)定計算總步數(shù)為6500步，時間步長為 0.00058s ，波速 ∣c∣ 設(shè)置為 340m/s ，在(0，50)位置處總步數(shù)為點聲源。聲源以固定的頻率向四周輻射聲波，且聲壓是隨著時間線性增加的，具體見式(15)。

p(t)=tsin(15πt)

不同時刻理想聲場的數(shù)值結(jié)果如圖7所示。

3.2 預(yù)測分析

本研究使用0\\~2.9s的理想時間序列聲場數(shù)據(jù)集作為初始數(shù)據(jù)集進行動態(tài)模態(tài)分解，使用 t= [2.941s，2.958s，·，3.805s，3.823s]時刻的理想時間序列聲場數(shù)據(jù)作為實測數(shù)據(jù)，用于更新初始數(shù)據(jù)集。使用 2.9～3.5 s的理想時間序列聲場數(shù)據(jù)集驗證預(yù)測效果。本研究利用傳統(tǒng)的動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法和改進后的重構(gòu)方法分別進行預(yù)測，如圖8所示。選?。?40，50）位置處聲強的時間序列來考察兩種重構(gòu)方法的精度。與案例1結(jié)果相似，案例2表明傳統(tǒng)動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法無法對該數(shù)據(jù)集進行準確預(yù)測，而改進的重構(gòu)方法能夠顯著提高預(yù)測的準確性，能夠有效預(yù)測該時間非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)集預(yù)測為(240，50)位置處的聲壓時間序列。

進一步定量考察預(yù)測聲壓全場的相對誤差，如圖9所示。通過對全場數(shù)據(jù)的平均相對誤差比較可得，傳統(tǒng)動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法隨著預(yù)測步數(shù)的增加，其預(yù)測的平均相對誤差顯著增加，由 20% 提升

進一步定量考察預(yù)測聲壓全場的相對誤差，如圖9所示。通過對全場數(shù)據(jù)的平均相對誤差進行對比可得，傳統(tǒng)動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法隨著預(yù)測步數(shù)的增加，其預(yù)測的平均相對誤差顯著增加，由 20% 提升至 80% 。而改進的重構(gòu)方法其預(yù)測的平均相對誤差顯著低于傳統(tǒng)方法。研究表明，實時數(shù)據(jù)投影有效控制了誤差累計。

4結(jié)語

本研究基于現(xiàn)有動態(tài)模態(tài)分解方法，提出了一種基于實時數(shù)據(jù)投影的動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法。該方法首先對物理場的時間序列數(shù)據(jù)進行動態(tài)模態(tài)分解，并提取相關(guān)模態(tài)與模態(tài)特征值；其次基于最新的實時數(shù)據(jù)進行映射，獲得其在各模態(tài)上的映射系數(shù)；最后基于模態(tài)、模態(tài)特征值與映射系數(shù)預(yù)測下一時刻的物理場。該方法通過不斷將最新預(yù)測結(jié)果納入數(shù)據(jù)集，從而避免了誤差的累積。本研究構(gòu)造了兩個理想測試算例，對應(yīng)強吸聲隧道壁面和強反射隧道壁面隧道兩種情形，對改進方法進行了驗證。結(jié)果表明，改進重構(gòu)方法后的預(yù)測方法能夠有效對非平穩(wěn)聲場進行預(yù)測。相較于傳統(tǒng)動態(tài)模態(tài)重構(gòu)方法，改進后的重構(gòu)方法提高了預(yù)測精度，顯著降低了全場數(shù)據(jù)的平均相對誤差。

參考文獻：

[1]陳立平，方繼偉，干嘯洪，等.隧道噪聲傳播擴散規(guī)律及其檢測方案探討[J].隧道建設(shè)，2016，36(12)：1442-1448.

[2]尚婷，連冠，黃龍顯，等.基于多源數(shù)據(jù)的特長隧道駕駛疲勞模型[J].交通信息與安全，2024，42(4)：30-41.

[3]吳碩賢.“虛墻”法及其在交通噪聲計算中的應(yīng)用[J].聲學(xué)學(xué)報，1994(4)：309-315.

[4]師利明，羅德春，鄧順熙.公路隧道內(nèi)噪聲預(yù)測和降噪措施的理論研究[J].中國公路學(xué)報，1999(S1）：103-107.

[5王美燕.公路隧道噪聲預(yù)測及降噪措施研究D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2007.

[6]SONAVIYADR，TANDELBN.Aquickreviewon noise propagation models and software[C]//ICSBE，2016.

[7]MAOC.The Comparative study on traffic noise prediction model between classical algorithm and neural network methods[C]//Wuhan Zhicheng Times Cultural Development Co.，Ltd.，Proceedingsof4th International Conference on Computer Engineering，Information Science and Internet Technology(CII 2022).TiangongUniversity，2022： 234-237.

[8]曹麗娜.以大型車輛為主的高速公路噪聲預(yù)測模型修正及聲屏障優(yōu)化研究[D].西安：長安大學(xué)，2015.

[9]盧力，周鑫，胡笑滸.公路噪聲源強預(yù)測模型研究進展[J].噪聲與振動控制，2014，34(3)：128-131.

[10]姚景瑜，孟海洋，楊京，等.基于BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軸流風(fēng)扇氣動噪聲預(yù)測[J].南京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)），2020，56(6):900-908.

[11]姜權(quán)洲，王獻忠，詹必鑫.基于深度學(xué)習(xí)的波浪海面邊界下水下結(jié)構(gòu)聲散射預(yù)報C//中國造船工程學(xué)會船舶振動噪聲重點實驗室.第十九屆船舶水下噪聲學(xué)術(shù)討論會論文集（上冊）.武漢理工大學(xué)船海與能源動力工程學(xué)院，2023:7.

[12]王曦.流激剪切層振蕩與深腔聲場耦合機理研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2023.

[13許東洋，關(guān)暉，吳錘結(jié).激波-多渦列-聲場相互作用及其POD分析[J].中國科學(xué)：物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)，2012，42(1):78-94.

[14]周思同，帥長庚，楊家軒.基于模態(tài)展開法的水下航行器輻射噪聲遠場預(yù)測方法研究[J].振動與沖擊，2019，38(24):197-202，242.

[15]SCHMIDPJ，SESTERHENNJ.Dynamicmode decomposition of numerical and experimental data[J].Journal ofFluidMechanics，2010，656(10):5-28.

[16]劉剛，郝世緣，朱章宸，等.基于動態(tài)模態(tài)分解-自適應(yīng)變步長油浸式電力變壓器繞組瞬態(tài)溫升快速計算方法[J].電工技術(shù)學(xué)報，2024，39(12)：3895-3906.

[17]KOOPMANB O.Hamiltonian systems and transformationinHilbert space[J].Proceedingsof the National Academy of Sciences，1931，17(5):315-318.

（欄目編輯：孫艷梅）