中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148（2025）4-0083-5

1引言

L C 振蕩電路，也稱為諧振電路，是由一個電感 （ L ） 和一個電容 （ C ） 連接在一起的電路。它是許多電子設(shè)備中的關(guān)鍵部件[1。同時， L C 振蕩電路也是高中物理電磁學(xué)的重要內(nèi)容[2-3]。學(xué)生要理解該電路的工作原理，就需要掌握電容和電感的概念及其工作原理。為了幫助學(xué)生深入理解L C 振蕩電路，可以通過虛擬仿真技術(shù)來模擬該電路，實現(xiàn)該電路的情境化教學(xué)。

目前，模擬 LC 振蕩電路的方法有兩種。一種是“半過程”情境仿真，即先把求解出來的電流、電量等參數(shù)方程錄人到Geogebra等數(shù)學(xué)仿真軟件中進行動態(tài)描繪。另一種是全過程情境模擬，即直接把電路圖輸入到MatlabSimulink等電路仿真軟件中[4-6]，然后由軟件根據(jù)內(nèi)置方程求解器計算電流、電壓、電量等參數(shù)，并繪制這些參數(shù)的動態(tài)變化。全過程情境仿真更接近實物實驗，仿真結(jié)果更容易受電路中各元件參數(shù)的影響。

COMSOLMultiphysics（簡稱COMSOL）是基于有限元分析的工程仿真軟件[7-9]，其根植于數(shù)學(xué)物理理論，從底層的理論出發(fā)，可以輕松實現(xiàn)各種物理現(xiàn)象的情境化仿真。因此，本文以 L C 振蕩電路為例，嘗試使用COMSOL全過程仿真，探究電容、電感及電阻對 L C 振蕩電路性能的影響。為學(xué)生提供實踐經(jīng)驗，拓展學(xué)生對電路認識的深度和廣度，提升學(xué)生的科學(xué)思維素養(yǎng)。

2 LC振蕩電路模型

根據(jù)電感和電容的連接方式， L C 振蕩電路可分為 L C 并聯(lián)振蕩電路和 L C 串聯(lián)振蕩電路[10]。在人教版普通高中教科書《物理選擇性必修第二冊》中，將線圈、電容器、電源和單刀雙擲開關(guān)按圖1所示組成一個 L C 串聯(lián)振蕩電路。先讓開關(guān)與電源連接給電容器充電，然后開關(guān)向線圈一側(cè)電路閉合。此時， L C 串聯(lián)振蕩電路中的電流和電壓等信號會發(fā)生周期性變化。

3 COMSOL仿真過程

3.1 模型定義

利用COMSOL物理場仿真軟件中的電路功能，建構(gòu)電路模型。在利用COMSOL建模前，需對圖1中的電路進行簡單變換。因為軟件仿真時可以直接定義初始條件，不需要單刀雙擲開關(guān)。另外，COMSOL電路搭建需要節(jié)點設(shè)置和接地條件。節(jié)點0、1、2用于組裝電路時定義元器件的接電端口，其中節(jié)點0接地。為模擬情境化仿真電路中內(nèi)阻（損耗電阻）對振蕩信號的影響，還需在電路中添加一個滑動變阻器，如圖2所示。

3.2 模型建構(gòu)與計算

首先，在新建窗口中，單擊“模型向?qū)б涣憔S”。在物理場中，選擇“AC/DC—電路”。研究類型選擇“一般研究—瞬態(tài)”。在“組件1—電路”中，添加接地點，選擇節(jié)點名稱為0。接著添加電感器， 點分別選擇節(jié)點0和1，如圖3（a）所示。然后添加電容器和電阻，電容器和電阻的 p ）n 節(jié)點分別是1、2和2、0。將電容器的初始電壓設(shè)定為1V，這與教材中電容充電的初始條件相對應(yīng)。之后，在參數(shù)1中定義電阻 R 電感 L 、電容 C 、電流Current和周期 T 的值，如圖3（b）所示。再在“研究1—瞬態(tài)—設(shè)置\"中，把“輸出時步\"設(shè)定為 ，時間單位為s?！拜敵鰰r步\"指計算的時間從0開始，到10個振蕩周期 （ T ） 結(jié)束，計算時間間隔為 至此，整個模型建構(gòu)完成。

3.3 模型計算

點擊“計算”，可得到計算結(jié)果。在“組件1一定義\"中添加探針，便可從計算結(jié)果中調(diào)取電流、電壓、節(jié)點電壓等數(shù)據(jù)。為方便研究，可以把探針分為幾個節(jié)點組。一組用來測元器件中的電流，一組測元器件終端電壓，還有一組測各節(jié)點電壓。當(dāng)損耗電阻不為零時，還可以探測電阻的功耗或者熱消耗。選取探針繪圖組中的探針表圖，就能情境化仿真振蕩電路中的周期性變化的物理量。

4情境化仿真教學(xué)設(shè)計

4.1 L C 振蕩電路情境化仿真設(shè)計

為了系統(tǒng)地研究 LC 振蕩電路中電感、電容及損耗電阻等參數(shù)對電流和電壓曲線的影響，制訂了圖4所示的情境化仿真設(shè)計方案。首先，設(shè)定損耗電阻 （ R=0 ） ，分別固定電容 c 和電感 L ，研究調(diào)控 L 和 C 時的電流、電壓等參數(shù)的變化曲線。然后，假定存在損耗電阻 （ Rgt;0 ） ，分別研究損耗電阻 R 變化而 L 和 C 不變以及損耗電阻 R 不變而 L 和 c 變化時的電流、電壓曲線。

4.2 理想 L C 振蕩電路的情境化仿真

仿真前，教師要引導(dǎo)學(xué)生：當(dāng) L C 振蕩電路中的消耗內(nèi)阻 R=0 時，不會產(chǎn)生熱消耗。此時，L C 振蕩電路處于理想狀態(tài)，沒有能量損耗。電容的電流和電壓（或極板帶電量）都應(yīng)該做諧振運動。因此，可通過情境化仿真實驗，檢驗電流和電壓曲線是否處于諧振狀態(tài)。

首先，將圖3（b）中的 R 值改為0，其他參數(shù)（ L=2m H， C=2m F） 保持不變，可得電流和電壓的變化曲線，如圖5（a）所示。需要指出的是，電容和電感的電流、電壓曲線相似，圖中僅展示電容器元件的電流和電壓曲線。另外，由于電流和電壓值的單位不同，所以縱坐標沒有標明物理量單位，兩條曲線對應(yīng)的縱坐標值分別以A和V為單位。可以看出，電流和電壓確實處于諧振狀態(tài)，隨時間呈現(xiàn)周期性振蕩。 t = 0 時，電壓最大、電流為零，這表明電壓超前電流，即先有電容電壓（初始值為1V，電容放電后在電路中形成電流。根據(jù) L C 振蕩電路的周期公式 ，可得振蕩周期 T≈0 . 0 1 2 6s ，這與圖中的變化周期一致。當(dāng)把 L 調(diào)至原來的4倍（ 8 m H 時，電流的振幅變?yōu)樵瓉淼?1 / 2 ，周期變?yōu)樵瓉淼?倍 ，如圖5（b）所示。這說明，電感增大后，電流減小，周期增大，但電容器電壓的振幅不變。相反，把L調(diào)至原來的 1 / 4 （ 0 . 5 m H） 時，電流的振幅變?yōu)樵瓉淼?倍，周期變?yōu)樵瓉淼?/2（ T≈0 . 0 0 6 3s） ，如圖5（c）所示。

教師根據(jù)以上結(jié)果設(shè)置問題：為什么電感增大后，電流減?。繉W(xué)生根據(jù)教師的問題進行分組討論。教師對各組的討論表現(xiàn)進行評價后，對該現(xiàn)象的原因進行總結(jié)：根據(jù)電磁感應(yīng)定律，線圈經(jīng)過變化的電流可以產(chǎn)生磁場，變化的磁場會感應(yīng)出電動勢，進而產(chǎn)生感應(yīng)電流。再由楞次定律，感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁場總是阻礙原來的磁場。因此，當(dāng)電感經(jīng)過交流電時，感應(yīng)電流會阻礙變化的電流（交流電），導(dǎo)致電流的振幅變小。

然后，教師引導(dǎo)學(xué)生：通過 L C 振蕩電路的情境化仿真實驗，我們發(fā)現(xiàn)了電感器有抑制變化的交流電的作用。那么，電容器在電路中又起什么作用呢？我們可以嘗試增大電容，并觀察電路信號的變化情況來探究這個問題。

實驗設(shè)計： L 不變，分別將 c 調(diào)為原來的4倍和1/4，且初始電流為0A、初始電壓為1V時，仿真結(jié)果分別如圖6（a）（b）所示?？梢钥闯觯?dāng) c 為原來的4倍時，電流的振幅和周期都為原來的2倍，但電壓的振幅不變；當(dāng) C 為原來的1/4時，電流的振幅和周期都為原來的1/2，電壓的振幅也不變。這些結(jié)果表明，增加電容的容量會增大電流的幅值，但不會改變電壓的幅值。

平均電流，即 其中， k 為無量綱的比例系數(shù)， Q 為電容帶電量， T 為振蕩周期。又由于Q = C U ， ，可得

由于 k ， U 和 L 都不變，所以電流幅值 正比于 。

教師提問：增加電容的容量，電壓的振幅一定不變嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生討論上述問題并評價后，給出答案：在情境化仿真的參數(shù)設(shè)置中，電感器的初始電流為0A，電容器的初始電壓設(shè)置為1V（電壓的振幅固定）。所以，增大電容無法改變最大電壓值。如果電容器初始電壓為0V（電壓振幅可調(diào)），電感器的初始電流設(shè)置為1A（電流振幅固定）。由于電容器的最大電量 Q = I T ， I 為一個振蕩周期內(nèi)的平均電流，它與電流振幅 成正比，即 為比例系數(shù)。所以， 。那么，電壓為

由于 和 L 都不變，所以電壓幅值 U 正比于

圖7為參數(shù) L=2m H， C=8m F （電感器的初始電流為1A，電容的初始電壓為0V）時的電流和電壓曲線，與圖6（a）比較可以看出，電容 C 增大4倍時，電壓被抑制為原來的1/2，仿真結(jié)果與理論分析一致。

重要結(jié)論：在 L C 電路中，電容器里面存儲的是電場能。由于電磁感應(yīng)效應(yīng)，在電感線圈中儲存的是感應(yīng)磁場能。振蕩電流可視為交流電，電感具有抑制交流電的作用，電容有抑制電壓的作用。

4.3 有阻尼 L C 振蕩電路情境化仿真

教師要引導(dǎo)學(xué)生理解 電路是一個理想化的模型，它沒有考慮電路中的電阻。事實上，作為一個閉合回路，其包含的組件和導(dǎo)線等都不可避免地產(chǎn)生損耗電阻”。接著，教師提問：“有電阻時，電容器的電流和電壓曲線會怎么樣？\"學(xué)生的回答五花八門。教師接著引導(dǎo)：“當(dāng)電路有損耗電阻時， 振蕩電路中存在能量損耗[]。因此，實物的 L C 電路實驗，若沒有外界能量輸入，都應(yīng)該表現(xiàn)為阻尼振蕩。”

然后，通過仿真實驗檢驗是否存在阻尼振蕩現(xiàn)象。為了便于對比，可固定 L 和 C 的值 ，C=2 m F ，改變損耗電阻 R 。當(dāng)初始電流為 0 A 初始電壓為1V時，仿真得到 R 為 和 2 Ω 時的振蕩曲線，分別如圖8（a）（b）（c）所示。

可以看出，當(dāng) R=0 . 1 Ω 時，電流與電壓的符號雖然發(fā)生周期性變化，但隨著時間的推移，它們的振幅呈指數(shù)遞減，這屬于典型的阻尼振動狀態(tài)。導(dǎo)致阻尼振動的原因是損耗電阻產(chǎn)生的焦耳熱消耗了一部分電場能和磁場能，使電路中的總能量逐漸減小，表現(xiàn)為振幅的減小。圖中顯示電路中損耗電阻的熱功率（電阻可以視為熱源）與電流的大小密切相關(guān)。

當(dāng) 時，電流與電壓只振蕩一次就全部趨于零，且沒有固定的振蕩周期，這屬于典型的欠阻尼狀態(tài)。表明損耗電阻的熱功率較大，電路中的總能量只能維持電流和電壓振蕩一次（大概經(jīng)歷0.023s）。

當(dāng) R=2 Ω 時，電壓和電流經(jīng)歷0.0151s后變?yōu)榱?，且不再發(fā)生符號變化。此時，電路處于過阻尼狀態(tài)。導(dǎo)致過阻尼狀態(tài)的原因是損耗電阻太大，電路中的能量消耗過快，無法產(chǎn)生振蕩信號。

設(shè)計情境化教學(xué)時，教師可在這一環(huán)節(jié)提問：同學(xué)們能否根據(jù)情境化仿真曲線，得到電阻的熱功率的表達式？

教師引導(dǎo)學(xué)生充分討論后總結(jié)：電阻的熱功率與電阻的值和電阻中流過的電流有關(guān)。

從圖8（c）的曲線可以看出，當(dāng) t = 0 . 0 0 2 5 s時，熱功率 P 的值最大 ）。此時，電流強度 I 也到達負的最大值（-0.3584A）。 P 和 R 正好滿足電阻功率的表達式 P=P R ，表明熱源功率 P 確實是由損耗電阻 R 產(chǎn)生的。

因此，損耗電阻是導(dǎo)致阻尼狀態(tài)的關(guān)鍵因素，在設(shè)計 L C 諧振電路時，要盡量減小電路中的損耗電阻。如果在 L C 電路中添加一個與振動周期相同的振蕩電源，并讓內(nèi)阻足夠小，那么電源只需消耗很小的能量，就可以維持 L C 電路的諧振。

5結(jié)論

高中物理中， 振蕩電路是一個較理想的物理模型，很難進行實物演示，教材中也是以示意圖展示為主，學(xué)生較難理解該電路的物理情境。本文利用COMSOL物理場仿真軟件，成功實現(xiàn)了 L C 振蕩信號的情境化教學(xué)。并以諧振狀態(tài)、欠阻尼狀態(tài)和過阻尼狀態(tài)的電流、電壓曲線為情境化對象，設(shè)計情境化教學(xué)場景。利用情境化仿真，可以讓學(xué)生觀察并思考電容、電感等對振蕩周期的影響。最后，通過引入損耗電阻，引導(dǎo)學(xué)生觀察電阻熱功率曲線，讓學(xué)生明白 L C 電路中不可避免的損耗電阻會導(dǎo)致電壓和電流等參數(shù)做阻尼振蕩，電阻上產(chǎn)生的焦耳熱來源于 L 和C 中的電磁能。

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（欄目編輯賈偉堯）