中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-6148（2025）4-0065-3

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，學(xué)生應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)有“具有建構(gòu)模型的意識和能力；能運(yùn)用科學(xué)的思維方法，從定性和定量兩個方面對相關(guān)問題進(jìn)行科學(xué)推理、找出規(guī)律、形成結(jié)論。\"在以往的教學(xué)中，注重的是在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生對已有的模型進(jìn)行分析，學(xué)會拆模、析模，運(yùn)用規(guī)律和方法解題，而沒有關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、建構(gòu)模型的能力。根據(jù)實(shí)際情境建立模型是當(dāng)前考試評價的重要方面，也是物理學(xué)科關(guān)鍵能力之一，因此教學(xué)的重心要前移，要注重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)模型，培養(yǎng)模型建構(gòu)的能力。通過對結(jié)論的思考，反向建立模型，也是一種重要的建模能力培養(yǎng)方式。

1 光滑軌道的“等時圓”模型

在高中必修一“運(yùn)動和力的關(guān)系”章節(jié)教學(xué)后，在牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)結(jié)合的習(xí)題教學(xué)中，會涉及到一個基礎(chǔ)模型一“等時圓”，往往教學(xué)的過程是直接給出了“等時圓”的模型，讓學(xué)生去解決問題，然后再用相應(yīng)的習(xí)題來拓展“等時圓”的應(yīng)用。

模型如圖1所示，光滑圓軌道豎直放置，半徑為 R ，圓心為 o ，最低點(diǎn)為 為圓上任意一點(diǎn)。一物塊（可看成質(zhì)點(diǎn)）從 A 處靜止開始下滑，試證明沿不同角度軌道下滑到圓周上的時間是定值。

證明連接 和 B C ，可知 ，設(shè)∠ C A B = 6 ，則 ，物塊下滑的加速度為a=gcosθ，由運(yùn)動學(xué)公式可知 xAB=at2，解得t= 。根據(jù)最終 的表達(dá)式可知，下滑時間 與傾角 θ 無關(guān)，即從 A 點(diǎn)滑到圓周上任意一點(diǎn)的時間都相同。還可以推知，物塊從 A 點(diǎn)自由落至c 點(diǎn)從 B 點(diǎn)由靜止開始滑到 C 點(diǎn)所用的時間是相同的。

這個知識點(diǎn)解決的過程是通過給定的模型，讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的規(guī)律來解決提出的問題，雖然能夠讓學(xué)生記住這個模型，但對于這個“等時圓”是如何建構(gòu)出來的，并沒有進(jìn)行相應(yīng)的鋪墊，使這個“圓”出現(xiàn)得非常突兀，沒有進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)模型的能力。

2 “等時圓\"模型的反向建構(gòu)過程

2.1 最基礎(chǔ)的斜面下滑問題

如圖2所示，一個光滑的固定斜面長度為L ，傾角為 θ ，一物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面頂端靜止下滑，求物塊滑到底端的時間。

解答 物塊沿斜面下滑的加速度為 根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式 ，代人 L 和 進(jìn)行計算，可得

這個解題過程非常簡單，從物理意義上來理解，就是求解初速度為0、以 a=? s i nθ 的加速度通過了 L 的路程的時間。若將這個結(jié)果與自由落體的時間表達(dá)式 2h對比，此表達(dá)式是不是可以等效理解為物體以大小為 a = g 的加速度、通過了h= 的位移自由下落所用的時間呢？

2.2 從斜面到自由落體的反向建模

根據(jù)上題的思路，如何根據(jù)結(jié)論去建構(gòu)一個相應(yīng)的與斜面模型相關(guān)的自由落體模型呢？這涉及到如何在這個斜面模型上找到一個包含 L 和θ 的結(jié)構(gòu)。既然是自由落體，那么我們可以建構(gòu)下落到最低點(diǎn)的自由落體運(yùn)動。對于如何找到θ ，根據(jù)數(shù)學(xué)知識，可以過斜面最高點(diǎn)作斜面的垂線，如圖3所示。從建構(gòu)出來的從 A 至 B 的自由落體運(yùn)動來看，AB的長度為L 。，可以較容易地判斷出沿斜面下滑的時間和自由落體的時間是相同的。

2.3 結(jié)合斜面及自由落體的“等時圓\"的建構(gòu)

根據(jù)圖3，再進(jìn)行深入思考，由于 θ 是任意取的，那么以 為斜邊構(gòu)成的直角三角形中，物體以零初速度沿著連接 B 點(diǎn)的弦構(gòu)成的光滑斜面下滑的時間都應(yīng)當(dāng)與從 A 點(diǎn)開始至 B 點(diǎn)的自由落體時間是相等的。如圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)，這些軌道雖然傾角和長度都不一樣，但根據(jù)幾何原理，這些斜面的頂點(diǎn)都是在以 為直徑的一個圓上。將這些點(diǎn)連起來，考慮到左右對稱，則是一個完整的圓。如果考慮到三維空間，則是一個以A B 為直徑的球面?？傻玫浇Y(jié)論：以 A B 為直徑的圓（球面）上，從任意一點(diǎn)連接最低點(diǎn)建構(gòu)一個光滑斜面，物體以零初速度下滑到最低點(diǎn)的時間均相同。

如果要得到圖1所示的“等時圓”，只需要根據(jù)對稱性進(jìn)行平移即可。因此，最終模型的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是，光滑情況下，物體從頂點(diǎn)由靜止開始沿弦滑到球面上任意點(diǎn)（或者從球面上一點(diǎn)沿弦滑到最低點(diǎn)）的時間均是相同的。

3 同類型模型的建構(gòu)

如圖5所示，一束光自空氣以入射角 α 斜射入水中，折射角為 γ ，在光進(jìn)入水后經(jīng)過 L 的距離需要的時間是多少？（已知光速為 ∣ c ∣ ）

解答本題比較簡單，折射率 sina，光在水中的速度為 ，然后只需要用公式 x = v t ，就可以直接得出答案

但是，不同色光對同種介質(zhì)的折射率是不一樣的，故以相同的人射角進(jìn)入水中之后的折射角的大小是不同的，光速也是不同的。那么，一束復(fù)色光折射入介質(zhì)中，經(jīng)過相同的時間，不同色光都到達(dá)怎樣的位置呢？

設(shè)sinα和 是定值，那么時間的確定與 L 和siny有關(guān)。有了基礎(chǔ)“等時圓\"的建構(gòu)，是不是也能同樣尋找一個定值來代替呢？可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖6所示的模型建構(gòu)。

XAcsinα，所以可知不同色光到達(dá)圓弧ABC上的時間都是相同的。

其中， 就是圖中的直徑 A C ，兩者的比值是定值。對于不同色光，雖然折射角 γ 和水中的光速是不一樣的，經(jīng)歷相同的時間經(jīng)過的距離也不一樣，但根據(jù) 進(jìn)行代換得到 t =

這是一個光學(xué)上的“等時圓”。兩個不同的“等時圓”，解決問題的本質(zhì)是相同的，整體反向建模的方法和思維的過程是異曲同工的?？梢姡挥性谝龑?dǎo)學(xué)生建模的過程中，注重模型的生成，才能有效地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力。

4小結(jié)

高中物理的許多二級結(jié)論，都是在簡單模型的重構(gòu)中生成的，比如平拋速度的反向延長線過位移的中點(diǎn)等。從以上分析可以看到，通過引導(dǎo)學(xué)生對結(jié)論中表達(dá)式的進(jìn)一步分析，自主進(jìn)行建模，在物理學(xué)科關(guān)鍵能力培養(yǎng)上遠(yuǎn)比直接給學(xué)生模型更有效。通過引導(dǎo)學(xué)生分析建模，在教學(xué)中不是“授之以魚”，而是“授之以漁”，對學(xué)生探究能力的培養(yǎng)有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]王進(jìn)峰.“等時圓”的一般規(guī)律[J].物理教學(xué)，2022，44（4）：52-53.

[2]卞志榮.構(gòu)建“等時圓”模型速解相關(guān)題[J].物理教學(xué)探討，2007，25（6）：24-25.

[3]田川.對等時圓問題的探討[J].物理教學(xué)探討，2019，37（5）：59-62.

（欄目編輯 蔣小平）