中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-6148（2025）4-0073-4

各點的電場強度大小相等、方向相同的電場叫勻強電場。相互靠近且正對的、帶等量異種電荷的平行金屬板的電場中，中央部分的電場可以看作勻強電場；勻強電場的周圍存在著非勻強電場，將其稱作勻強電場的邊緣電場，簡稱邊緣電場[1]。在涉及勻強電場的很多問題中，為了使問題簡化，往往都忽略了邊緣電場。那么，在各種具體問題中，邊緣電場是否都可以忽略呢？

1 平行板電容器的電容

平行板電容器由一對平行、正對的金屬板組成，板間距離遠(yuǎn)小于板的大小。帶電平行板電容器的電場如圖1所示。如果忽略邊緣電場，即認(rèn)為電荷在極板上的分布和電場線在空間的分布是均勻的（圖2），那么由高斯定理容易求得場強

式中， σ 是面電荷密度，即單位面積所帶的電荷量， Q 是極板上的電荷量， s 是極板面積。兩板間的電壓

式中， d 是極板間距離。電容器的電容

這就是平行板電容器的電容公式。

由于同一極板上的電荷之間相互排斥，極板邊緣的電荷較為密集，電容器中電荷和電場線的真實分布情況如圖1所示。極板中央部分用于產(chǎn)生勻強電場的電荷 小于極板上的總電荷 Q 兩極板間的真實電壓

可見，由于存在邊緣電場，平行板電容器的電容公式給出的電容值小于真實值。那么，這種差異在極板間距離遠(yuǎn)小于極板大小的情況下是否可以忽略呢？

為討論方便，假設(shè)極板是圓形的。由對稱性知道，圓形極板帶電后，在同一圓周上的各點，面電荷密度 σ 相同。如果極板的半徑 R 較小，那么除了圓心 o 處的電荷受到四周電荷對它的作用力的合力等于0，其他點的電荷受到以它到 o 的連線為半徑的圓內(nèi)的電荷作用力的合力均沿半徑向外，且離 o 越遠(yuǎn)的電荷所受的合力越大，如圖3所示。于是，離 o 越遠(yuǎn)的點， σ 越大。如果 R 較大，那么 o 點附近的任何電荷，周圍電荷對它的作用力的合力為0，遠(yuǎn)處電荷對它的作用力可以忽略。這樣，在以 o 為圓心、半徑較小的一個圓內(nèi)， σ 可以看作處處相等，外圍環(huán)上的 σ 較圓內(nèi)大，且離 o 越遠(yuǎn)處 σ 越大。

上面只考慮了同一極板上電荷之間的斥力 。事實上，極板邊緣上的電荷還受到另一極板的吸引力 ，如圖4所示。在 d 不變 趨向于 ∞ 的情況下， 和 將趨向于大小相等、方向相反。在這種情況下，極板邊緣部分與中央部分的 σ 將趨向于相等。

根據(jù)上面的分析，可以將圓形極板上的電荷分布簡化為圖5所示的模型：在半徑為 R-Δ R 的圓內(nèi)，電荷均勻分布，面電荷密度為 σ ，在寬度為Δ R 的環(huán)上，平均面電荷密度 當(dāng)d 不變且 時 和樂 k 均趨于 0

要考慮邊緣電場時，平行板電容器可以看作是兩個電容器的并聯(lián)，一個是兩個圓面正對的電容器，另一個是兩個環(huán)面正對的電容器。前者的電容

后者的電容

另一方面，因兩個圓面之間的電場是勻強的，因此有

平行板電容器的真實電容

化簡并忽略 Δ R 的二次項，得到

其中，C=εTR2 在 d 不變 ?? R 趨向于 ∞ 時，△R/R和 k 趨于0，有

可見，對于平行板電容器的電容，在板間距離遠(yuǎn)小于極板大小的條件下，邊緣電場可以忽略。

2 帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)

如圖6所示，帶電粒子以一定的初速度射入帶等量異種電荷的平行金屬板產(chǎn)生的電場，最后打在接收屏上。在計算粒子打在屏上什么位置時，通常都是忽略邊緣電場的。那么，它真的可以忽略嗎？

設(shè)兩塊金屬板是邊長為 l 的正方形，板間距離為 d ，所帶的電荷量分別是 + Q 和-Q。在 d lt; lt; l 時，兩板正對區(qū)域的場強

要計算邊緣電場的場強是很困難的，下面作簡化估算。設(shè)想把每塊極板上的電荷都集中到中點，這對帶等量異種電荷的金屬板就成為一個電偶極子，如圖7所示。

位于兩電荷連線的垂直平分線上距連線中點 o 為 r 的 P 點，兩電荷在該點產(chǎn)生的場強

電偶極子在 P 點產(chǎn)生的場強

在 rgt;gt;d 的條件下，得到

同樣，可以求得兩電荷連線上到 o 點的距離 rgt;gt;d 的 點的場強。

雖然 和 不相等，但它們都與 成反比?？梢岳斫鉃?，電偶極子電場中的其他點，只要rgt;gt;d ，場強 E 也與 成反比。

在 d lt; lt; l 的情況下，圖6中勻強電場右側(cè)邊緣電場中的各點均滿足 rgt;gt;d ，因此可以利用上面從電偶極子得出的結(jié)論，即邊緣電場的場強與 成反比。勻強電場右邊緣處， ，我們不妨設(shè)場強 （實際上是小于），與中心點 o 相距 r = l 的點，場強 ，與0相距 的點，場強 可見，邊緣電場的場強遠(yuǎn)小于勻強電場的場強，帶電粒子在邊緣電場中受到的電場力也遠(yuǎn)小于在勻強電場中受到的電場力。因此，在 d lt; lt; l 的情況下，對于帶電粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的問題，可以忽略邊緣電場。

3 電場力對帶電粒子做的功

靜電場是有勢場，帶電粒子在靜電場中沿任何路徑運動一周，電場力做的功都等于0；或者說，帶電粒子從電場中的一點移到另一點，電場力做的功與路徑無關(guān)，只與粒子的始、末位置有關(guān)。在圖1所示的電場中，帶電粒子從 點出發(fā)，不管是經(jīng)過勻強電場（穿過極板上的小孔）到達(dá)b 點，還是經(jīng)過邊緣電場到達(dá) b 點，電場力做的功一定相等。帶電粒子從 點出發(fā)，不管是經(jīng)過勻強電場還是經(jīng)過邊緣電場到達(dá) d 點，電場力做的功也一定相等。在這兩種情況中，雖然邊緣電場的場強較小，但帶電粒子在其中走過的路程更長，因而電場力做的功并不小。在計算電場力對帶電粒子做的功時，粒子通過邊緣電場時電場力做的功絕非“次要因素”，是不能忽略的。

下面舉兩個由于忽略了邊緣電場而導(dǎo)致科學(xué)性錯誤的例子。

例1帶電粒子不斷通過靜電場加速。某省的一道高考試題的情境如下：一個水平放置的小型粒子加速器的原理如圖8所示，區(qū)域I和區(qū)域Ⅱ存在方向垂直紙面向里的勻強磁場，區(qū)域Ⅲ存在水平向右的勻強電場。區(qū)域Ⅱ中間上方的離子源S，水平向左發(fā)射出有一定初動能的帶正電粒子。粒子經(jīng)區(qū)域I中的磁場偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ，受電場力作用加速，然后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ上方的無場區(qū)，向左勻速運動，再次進(jìn)入?yún)^(qū)域I…如此反復(fù)回旋、加速，帶電粒子就不斷地被加速。當(dāng)粒子達(dá)到需要的動能后，從P 處離開加速器。

在這個情境中，帶電粒子的動能不斷增加，但并沒有外界提供能量，因而圖8所示的“加速器\"是一種能夠不斷向外提供能量的“永動機”，是不可實現(xiàn)的。導(dǎo)致這種錯誤的根源，是題目忽略了不能被忽略的存在于區(qū)域Ⅲ周圍包括磁場區(qū)域的邊緣電場。

勞倫斯的回旋加速器能夠使帶電粒子不斷加速，在于它充分考慮了邊緣電場和靜電場的性質(zhì)。圖9是勞倫斯回旋加速器的原理圖，加速電場在兩個D形盒之間的狹縫處。金屬D形盒對電場起屏蔽作用，盒內(nèi)沒有電場，邊緣電場在D形盒之外的空間。如此，帶電粒子在D形盒內(nèi)只受洛倫茲力作用做圓周運動。使用交變電壓（場），使帶電粒子每次通過狹縫都能被加速。如果不使用金屬D形盒，帶電粒子就不可能在磁場中做勻速圓周運動；如果不使用交變電場而使用靜電場，那么，不管怎樣設(shè)計電場和磁場，帶電粒子在場中運動一周，電場力做功都等于0，粒子就不可能被加速。

例2用電場和磁場控制帶電粒子的運動。某題目的情境如下[2]：如圖10所示， M N 與 P Q 相距 L ， M N 左側(cè)存在豎直向下、場強為 E 的勻強電場。質(zhì)量為 m 、電荷量為 + q 的粒子，從與MN相距2L的 o 點以垂直于 M N 大小為 的初速度向右射出。只要在 P Q 右側(cè)施加磁感應(yīng)強度大小為 B 方向垂直紙面向里的勻強磁場，粒子就能沿圖示的軌道回到 o 點。

這種利用電場和磁場控制帶電粒子運動的方法似乎很巧妙，但我們應(yīng)該看到，帶電粒子從o 點出發(fā)后運動一周再次回到 o 點時，動能比原來大了，因而這種方法是違反科學(xué)的。問題仍然在這種方法忽略了存在于MN右側(cè)的邊緣電場。

通過上面的研究得到，并非在所有情況中邊緣電場都可以忽略。對于平行板電容器的電容和帶電粒子通過勻強電場偏轉(zhuǎn)的問題，邊緣電場可以忽略；對帶電粒子先后通過勻強電場和邊緣電場運動一周，從而涉及電場力做功的問題，邊緣電場不能忽略。

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理選修 3 - 1[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]黃晏.關(guān)于忽略勻強電場邊緣效應(yīng)的幾個錯題分析[J].物理教學(xué)，2020，42（3）：53-55.

（欄目編輯 蔣小平）