關(guān)鍵詞：耗散系統(tǒng)；動(dòng)態(tài)分析；混沌電路；電容一階狀態(tài)

中圖分類號(hào)：TN601 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2025）08-0004-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.08.001

Abstract：[Purposes] In order to study the influence square term cosine term on the dynamics Liu chaotic system，the nonlinear term Liu chaotic system is reconstructed.[Methods] The system dissipation equilibrium point stability the new chaotic system are analyzed by MATLAB stware. The results show that the system is a dissipative system the equilibrium point is an unstable point.In order to study the influence parameters on the system，the dynamic process the system parameters is analyzed by using the phase diagram，bifurcation diagram Lyapunov exponent diagram. In order to realize the mathematical model into a physical practical application model，the chaotic circuit the system is composed an adder，a multiplier，a linear resistor a capacitor， thedifferential equation is simulated by using the first-order state characteristics the capacitor.[Findings] The system is a dissipative system，the equilibrium point is an unstable point， has the complex characteristics periodic chaotic changes，which can increase the chaotic complexity the system under specific parameters ina specific interval.The results show that the designed chaotic circuit is consistent with the theoreticalresults，which verifies the feasibility the chaotic circuit.Conclusions]The system is more conducive to image chaotic encryption in specific high complexity intervals.

Keywords： dissipative system; dynamic analysis; chaos circuit; the first-order state capacitance

0 引言

混沌理論在信息加密通信、圖像加密及特征識(shí)別、憶阻器及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬腦活動(dòng)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。何海濱等成功對(duì)一類具有外部干擾的慣性憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固定時(shí)間聚類同步問題進(jìn)行了研究；付正等2提出了新型的切換Lorenz混沌加密系統(tǒng)，并在該系統(tǒng)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了圖像的加密；李付鵬等3基于混沌系統(tǒng)群的加密算法，實(shí)現(xiàn)了圖像加密；唐貴基等4基于Chen系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了滾動(dòng)軸承早期微弱故障檢測(cè)。目前，如何構(gòu)造新的混沌系統(tǒng)并進(jìn)行應(yīng)用成為研究熱點(diǎn)，如多吸引子憶阻混沌系統(tǒng)、四翼混沌系統(tǒng)、糾纏混沌系統(tǒng)等在圖像加密中的應(yīng)用。但實(shí)際工程多為復(fù)雜的模型，其構(gòu)造方法大多數(shù)為在經(jīng)典混沌模型的基礎(chǔ)上添加非線性項(xiàng)；或?qū)⒚}沖函數(shù)、新型非線性器件（憶阻器、憶容器、憶感器）應(yīng)用到經(jīng)典混沌系統(tǒng)5；或在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入憶阻器等新型器件，使系統(tǒng)對(duì)初值更加敏感；或?qū)⒄麛?shù)階次的混沌微分方程擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階次分析，使系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階特性表現(xiàn)得更豐富；或?qū)?shí)數(shù)形式的混沌微分方程擴(kuò)展到復(fù)數(shù)形式進(jìn)行分析，從而使系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)混沌特性[8；或?qū)⒘孔蛹m纏理論應(yīng)用到混沌系統(tǒng)，構(gòu)成糾纏混沌系統(tǒng)[9]。

利用混沌系統(tǒng)的基本分析工具可以研究系統(tǒng)的復(fù)雜多樣特性。Matlab軟件具有數(shù)據(jù)計(jì)算和圖像處理功能，因此可利用該軟件將計(jì)算過程程序化，并進(jìn)行效果圖像展示，通過相圖方法將混沌狀態(tài)形象直觀化，根據(jù)狀態(tài)吸引子圖可在感官上判別該系統(tǒng)在當(dāng)前時(shí)刻是否為混沌狀態(tài)。利用Lyapunov指數(shù)（LE）圖對(duì)系統(tǒng)走勢(shì)進(jìn)行狀態(tài)動(dòng)態(tài)定性分析，利用分岔圖觀察參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響程度進(jìn)行量化分析。通過電容微分器件的混沌電路，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)層到物理電路層的模擬，數(shù)學(xué)機(jī)理實(shí)現(xiàn)了應(yīng)用實(shí)踐轉(zhuǎn)化。然而，在不同的實(shí)際工程中應(yīng)用的混沌系統(tǒng)狀態(tài)不同，如電源系統(tǒng)需要混沌抑制、保密通信需要混沌同步理論、圖像的加密需要通過高復(fù)雜度混沌系統(tǒng)進(jìn)行矩陣像素值隱藏及置亂等。復(fù)雜混沌系統(tǒng)在不同的應(yīng)用領(lǐng)域中有著不同的潛在價(jià)值，因此對(duì)復(fù)雜混沌系統(tǒng)的構(gòu)建及基本的動(dòng)力學(xué)分析具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

本研究在Liu混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引人平方項(xiàng)及余弦項(xiàng)，構(gòu)造出新的復(fù)雜混沌系統(tǒng)。為了驗(yàn)證該系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)特性，通過基本的混沌分析方法對(duì)該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)、LE圖及分岔圖進(jìn)行了分析，從而得出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型到電路模型的轉(zhuǎn)換，利用基本的電子器件完成了物理層電路的轉(zhuǎn)換，以便給實(shí)際工程的應(yīng)用提供一定的借鑒。

1混沌系統(tǒng)與分析

為了能夠在Liu混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造出一類含有平方項(xiàng)與余弦項(xiàng)的Liu復(fù)雜混沌系統(tǒng)，先對(duì)Liu混沌系統(tǒng)的第2個(gè)方程引入 項(xiàng)，再對(duì)Liu混沌系統(tǒng)的所有方程引入 d cos 項(xiàng)， d 為余弦項(xiàng)的耦合系數(shù)，從而構(gòu)造出新的復(fù)雜混沌系統(tǒng)方程，見式（1）。

在該系統(tǒng)中，取 a = 5 ， b = 2 ， c = 1 5 ， d = 1 經(jīng)計(jì)算，系統(tǒng) L E 指數(shù)分別為 。因?yàn)樽畲蟮?L E 指數(shù) gt; 0 ，所以判定該系統(tǒng)具有混沌特性[10]。通過計(jì)算系統(tǒng)各個(gè)方向的 L E 之和，得出 L E 之和不為0，這在一定程度上反映出該系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，從而為后續(xù)進(jìn)一步分析該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性奠定了基礎(chǔ)。

1.1 耗散性分析

耗散性是判定系統(tǒng)是否為混沌的一種方法。因?yàn)楸Ｊ叵到y(tǒng)體積不會(huì)發(fā)生變化，且各個(gè)方向的L E 之和為零，而耗散系統(tǒng)的體積會(huì)隨著演化衰減，運(yùn)動(dòng)軌跡吸引到有限的區(qū)域上，在相空間上表現(xiàn)為一個(gè)吸引子形態(tài)，見式（2）。

（20 a + b gt; 3 d 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 系統(tǒng)能量隨時(shí)間衰減，從而得出該系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)。

1.2 平衡點(diǎn)分析

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行平衡點(diǎn)集分析，通過分析系統(tǒng)平衡的狀態(tài)，得出平衡點(diǎn)的性質(zhì)。令系統(tǒng)全局式子為零狀態(tài)，見式（3）。

式（3）的解為 、

當(dāng)平衡點(diǎn)為 時(shí)，分別對(duì)參數(shù) x ， y ， z 進(jìn)行偏微分處理，得到系統(tǒng)的雅可比矩陣，見式（4）。

計(jì)算出關(guān)于該系統(tǒng)平衡點(diǎn)矩陣的特征值：

根據(jù)勞斯一赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（RouthHurwitzstabilitycriterion，簡(jiǎn)稱R-H），得出該平衡點(diǎn) 是不穩(wěn)定的[]

2參數(shù)影響分析

該系統(tǒng)參數(shù)的動(dòng)態(tài)分析，采用混沌分析常用的方法，通過系統(tǒng)的直觀相圖、動(dòng)態(tài)分岔圖及LE圖，分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)變化特征。設(shè)定系統(tǒng)參數(shù) b = 2 ， c = 1 5 ， d = 1 ， a ∈ [ 0 ， 3 0 ] ，系統(tǒng)隨參數(shù) 變化的分岔圖及LE圖如圖1所示。由圖1可知，系統(tǒng)在a ∈ [ 3 ， 1 7 ] ∪ [ 2 1 ， 2 7 ] 區(qū)間處于混沌狀態(tài)。其中，在 區(qū)間內(nèi)，混沌復(fù)雜度特性較強(qiáng)；在a ∈ [ 2 1 ， 2 7 ] 區(qū)間內(nèi)，混沌復(fù)雜度特性相對(duì)較弱；在a = 1 9 區(qū)間附近出現(xiàn)了短時(shí)間的周期現(xiàn)象。這說明系統(tǒng)隨參數(shù) 的實(shí)時(shí)變化表現(xiàn)為周期一混沌一周期一弱混沌一周期狀態(tài)。為進(jìn)一步驗(yàn)證以上分析的正確性，取了幾個(gè)特殊區(qū)間上的點(diǎn)做驗(yàn)證相圖，參數(shù) 相圖如圖2所示。其中，圖2（a）對(duì)應(yīng)a = 1 . 5 的周期狀態(tài)點(diǎn)、圖2（b）對(duì)應(yīng) a = 6 的混沌狀態(tài)點(diǎn)、圖2（c）對(duì)應(yīng) a = 1 9 的周期狀態(tài)點(diǎn)、圖2（d）對(duì)應(yīng) a = 2 5 的弱混沌狀態(tài)點(diǎn)。根據(jù)以上現(xiàn)象得出，參數(shù) a 對(duì)系統(tǒng)的影響程度較大，較為敏感，導(dǎo)致整個(gè)區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)變化比較大，系統(tǒng)實(shí)時(shí)變化的動(dòng)態(tài)特性較為豐富。

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù) a = 5 ， c = 1 5 ， d = 1 ， b ∈ [ 0 ， 1 0 ] 系統(tǒng)隨參數(shù) b 變化的分岔圖及LE圖如圖3所示。由圖3可知，系統(tǒng)在 區(qū)間處于混沌狀態(tài)， b = 3 . 5 后系統(tǒng)脫離混沌狀態(tài)進(jìn)入2倍周期，繼而進(jìn)入單周期，且單周期時(shí)間較長(zhǎng)。這說明參數(shù) b 對(duì)系統(tǒng)的局部具有一定的混沌特性影響，其混沌狀態(tài)區(qū)間影響較短。

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù) a = 5 ， b = 2 ， d = 1 ， c ∈ [ 0 ， 1 5 ] 系統(tǒng)隨參數(shù) c 變化的分岔圖及LE圖如圖4所示。由圖4可知，系統(tǒng)是由周期進(jìn)入混沌的， c ∈ [ 5 ， 1 5 ] 為混沌區(qū)，且該區(qū)間分岔圖散點(diǎn)面呈擴(kuò)散趨勢(shì)，其中 呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，說明該區(qū)間混沌特性與參數(shù) c 成正比關(guān)系。為了進(jìn)一步驗(yàn)證以上分析的正確性，取特殊點(diǎn)來(lái)觀察系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化，參數(shù) c 相圖如圖5所示。其中，圖5（a）和圖5（b）為周期特性，單渦卷狀態(tài)逐漸增強(qiáng)；圖5（c）和圖5（d）混沌特性逐漸增強(qiáng)，由單渦卷增強(qiáng)為雙渦卷狀態(tài)。根據(jù)以上現(xiàn)象得出，參數(shù) 對(duì)系統(tǒng)復(fù)雜度影響呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，參數(shù)c 越大，系統(tǒng)的復(fù)雜度及混沌強(qiáng)度越強(qiáng)。

3系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)

混沌電路采用電路中基本的元器件（加法器、乘法器、線性電阻及電容）進(jìn)行組合，并利用Mul-tisim軟件進(jìn)行連接。其中，前級(jí)為集成運(yùn)放組成的加法器部分，實(shí)現(xiàn)電路基本的加法運(yùn)算；后級(jí)為集成運(yùn)放組成的電壓反向跟隨器部分，實(shí)現(xiàn)電壓的反向輸出；中間級(jí)集成運(yùn)放為電容組成的微分部分。由于電容是動(dòng)態(tài)器件，其電流大小是電容兩端電壓的變化率，也就是電容電壓的微分特性。因此，利用中間級(jí)集成運(yùn)放及電容的一階微分狀態(tài)特性，進(jìn)行橋接前后級(jí)集成運(yùn)放電路模塊。通過將數(shù)學(xué)微分方程轉(zhuǎn)化為微分電路，從而進(jìn)行實(shí)際混沌電路系統(tǒng)的模擬仿真，系統(tǒng)所構(gòu)成的微分振蕩電路如圖6所示。該電路器件為常用器件，價(jià)格較低，電路形式簡(jiǎn)潔，更容易實(shí)現(xiàn)，具有一定的應(yīng)用性。根據(jù)所搭建的電路圖，可列出電路振蕩方程，見式（5）。

電路振蕩方程式（5）與系統(tǒng)混沌數(shù)學(xué)狀態(tài)方程式（1）在形式上相互對(duì)應(yīng)。首先，利用Multisim軟件將兩個(gè)直流電源模塊進(jìn)行組合成雙極性電源輸出模塊，并將電源電壓設(shè)置為12V，為集成運(yùn)放供電；其次，將基本器件加法器、乘法器、線性電阻及電容分別組成系統(tǒng)的前級(jí)加法電路、中間級(jí)微分電路及后級(jí)反向電壓跟隨電路，按照等效電路圖進(jìn)行電路搭建；再次，將混沌電路中間級(jí)集成運(yùn)放輸出的x，y，z端口電壓，通過線束連接到雙蹤示波器上；最后，運(yùn)行Multisim軟件，在運(yùn)行過程中打開示波器顯示界面，將示波器調(diào)至雙電壓顯示輸出。示波器輸出電壓圖，其電壓相圖如圖7所示。由圖7可知，混沌電路的電壓輸出與數(shù)值計(jì)算效果基本一致，從而驗(yàn)證了所搭建物理電路的可實(shí)現(xiàn)性及正確性。

4結(jié)語(yǔ)

通過在Liu混沌基礎(chǔ)上構(gòu)造出一類含有平方項(xiàng)與余弦項(xiàng)的新型混沌系統(tǒng)，并進(jìn)行一系列的分析，結(jié)果表明，該系統(tǒng)為耗散性混沌系統(tǒng)，且該系統(tǒng)受參數(shù)影響較大，具有復(fù)雜的周期一混沌變化特性，其中，參數(shù) c 對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜度及混沌強(qiáng)度的影響呈遞增趨勢(shì)。同時(shí)，利用電容的微分特性實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型到混沌電路的轉(zhuǎn)化，其混沌電路仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，從而證明了該混沌電路設(shè)計(jì)的正確性。因此，該系統(tǒng)在特定高復(fù)雜度區(qū)間更有利于圖像混沌加密，為圖像加密提供了一定的理論基礎(chǔ)。

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