1用算術(shù)方法解直角三角形

用算術(shù)方法解直角三角形具有直觀、簡潔的特點，主要根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)和運算規(guī)則，通過直接計算得到未知量.用算術(shù)方法解直角三角形的優(yōu)點在于：（1）它避免了復(fù)雜的方程建立和求解過程，使得解題過程更加簡潔明了；（2）算術(shù)方法能夠幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的基本性質(zhì)和運算規(guī)則，加深對三角函數(shù)的理解和應(yīng)用；（3）通過算術(shù)方法解直角三角形，學(xué)生可以更快速地找到問題的解決方案，提高解題效率.

如圖1，一架無人機航拍過程中在點 c 處測得地面上 A，B 兩個目標點的俯角分別為 和 若 A，B 兩個目標之間的距離是 120m ，則此時無人機與目標點 A 之間的距離（即 A C 的長）為（ ）.

A.120m B.120√3m C.60m D.60√3m

試題分析：本題考查了與俯角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，要求學(xué)生正確利用俯角構(gòu)建直角三角形，并應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解無人機與目標點之間的距離.通過這道題的解答，學(xué)生可以進一步加深對直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)的理解和應(yīng)用，提高解決實際問題的能力.

考查特點：（1）基本三角函數(shù)概念的理解.這類題目通常要求學(xué)生理解并運用三角函數(shù)中的基本概念，如正弦、余弦、正切函數(shù)等.例如，在一個直角三角形中，已知一個角的正弦值為 ，求該角的大小.（2）勾股定理的應(yīng)用.有些題目可能需要學(xué)生運用勾股定理來求解直角三角形的邊長或角度.例如，給出一個直角三角形的一條邊長和一個角度，要求學(xué)生利用勾股定理和三角函數(shù)知識求出其他邊長或角度.（3）實際問題的應(yīng)用.部分題目可能結(jié)合實際問題，要求學(xué)生通過運用直角三角形的概念來解決問題.例如，某物體從斜坡頂端落下，與水平面的夾角為 ，斜坡的長度為 20m 求物體在水平面上的水平位移.（4）求解過程的邏輯性.學(xué)生需要按照一定的邏輯順序進行求解，并確保計算過程正確.例如，在直角三角形ABC中， A C=3 ，tan A=2 ，求 A B 的長.然而，利用算術(shù)方法解直角三角形也存在一定的局限性.對于一些復(fù)雜的問題，可能需要結(jié)合其他方法或工具來求解.

2用方程方法解直角三角形

初中數(shù)學(xué)中，用方程方法解直角三角形是常用的手段.具有以下優(yōu)點：（1）通過建立方程，可以更容易地處理各種情況下的解直角三角形問題，例如，當已知三角形的兩邊及一個非直角的角度時，我們可以通過構(gòu)建直角三角形利用正弦、余弦或正切函數(shù)建立方程，再通過解方程來找到未知的邊長或角度；（2）采用方程解法，能培養(yǎng)學(xué)生將實際問題抽象化、轉(zhuǎn)化為方程的能力，提升數(shù)學(xué)建模水平；（3）通過方程方法解直角三角形問題，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)問題的多樣性，掌握不同問題的解題思路和方法；（4）方程方法需要學(xué)生進行符號化思維和邏輯推理，培養(yǎng)他們的抽象思維和邏輯思維，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力；（5）利用方程方法解直角三角形問題時，經(jīng)常需要與代數(shù)知識相結(jié)合，有助于學(xué)生加深對不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間聯(lián)系的理解.

如圖2，為了測量河流某一段的寬度，在河北岸選了一點 A ，在河南岸選了相距 100m 的 兩點.現(xiàn)測得 ∠ A C B= ，求這段河流的寬度（結(jié)果精確到 .

試題分析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是恰當構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)求解.通過這道題的解答，學(xué)生可以更好地理解直角三角形與方程之間的聯(lián)系，提高解決實際問題的能力.

考查特點：（1）方程的建立與求解.這類試題旨在考查學(xué)生運用方程方法解決直角三角形問題的能力.學(xué)生需要根據(jù)題目提供的條件，建立相應(yīng)的方程，并解出未知量.（2）問題轉(zhuǎn)化考查.通過將直角三角形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的形式，考查學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.學(xué)生需要理解問題背后的數(shù)學(xué)模型，將文字描述轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程.（3）邏輯推理考查.考查學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力.學(xué)生需要根據(jù)所給條件進行邏輯推理，從而得出結(jié)論.（4）解題步驟考查.考查解題的步驟和方法.學(xué)生需要按照一定的步驟建立方程，并正確求解未知量.（5）應(yīng)用能力考查.通過設(shè)計一些與實際情境相關(guān)的問題，要求學(xué)生通過解直角三角形來解決，考查學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際生活中的能力.

3解不含特殊角的直角三角形

在解直角三角形的問題中，有些題目可能并不涉及特殊角（如 等），需要學(xué)生在沒有特殊角的情況下解決問題.這類題目通常要求學(xué)生更加深入地理解直角三角形的性質(zhì)，并能夠靈活運用三角函數(shù)和勾股定理等數(shù)學(xué)知識來解決問題.在初中數(shù)學(xué)中，解不含特殊角的直角三角形問題具有以下優(yōu)點：（1）深化對三角函數(shù)的理解.不含特殊角的直角三角形問題要求學(xué)生能夠靈活運用正弦、余弦、正切等三角函數(shù)，通過已知條件求解未知量.這有助于加深學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解，并提高他們的應(yīng)用能力.（2）培養(yǎng)解決問題的能力.不含特殊角的直角三角形問題通常具有較大的靈活性，需要學(xué)生根據(jù)題目條件選擇合適的三角函數(shù)進行求解.這有助于培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和創(chuàng)新思維.（3）加強數(shù)學(xué)運算能力.在解決不含特殊角的直角三角形問題時，學(xué)生需要進行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，如代數(shù)式的化簡、方程的求解等.這有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和計算準確性.（4）聯(lián)系實際應(yīng)用.不含特殊角的直角三角形問題往往與實際生活中的應(yīng)用場景相結(jié)合，如建筑、測量等領(lǐng)域.通過解決這些問題，學(xué)生可以更好地認識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值.（5）促進知識整合.不含特殊角的直角三角形問題涉及三角函數(shù)、代數(shù)方程等多個知識點，解決這些問題需要學(xué)生綜合運用所學(xué)知識.這有助于促進學(xué)生的知識整合和綜合運用能力的提升.

如圖3，是放在水平地面上的一把椅子的側(cè)面圖，椅子高為 A C 椅面寬為 B E ，椅腳高為 E D ，且A C⊥ B E，A C⊥ C D，A C//E D. 從點 A 測得點 D，E 的俯角分別為 和 .已知 ，求椅

子高 A C 約為多少cm. 參考數(shù)據(jù)：tan

sin 53° ，tan 64°～2，sin 64°～ 910

試題分析：本題考查了解直角三角形問題中不含特殊角的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確利用俯角構(gòu)建直角三角形，并應(yīng)用三角函數(shù)求解椅子的高度.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用價值.

考查特點：（1）實際應(yīng)用背景.這類題目通常具有實際的應(yīng)用背景，如建筑、測量等領(lǐng)域.通過解決這些問題，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用價值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動力.（2）綜合知識運用.不含特殊角的直角三角形問題涉及三角函數(shù)、代數(shù)方程等多個知識點，解決這些問題需要學(xué)生綜合運用所學(xué)知識.這有助于促進學(xué)生的知識整合和綜合運用能力的提升.（3）問題轉(zhuǎn)化能力.這類題目要求學(xué)生能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)建相應(yīng)的直角三角形求解.這有助于培養(yǎng)學(xué)生的問題轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)建模能力.（4）運算能力考查.在解決不含特殊角的直角三角形問題時，學(xué)生需要進行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，如代數(shù)式的化簡、方程的求解等.這有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和計算準確性.（5）邏輯思維和推理能力.不含特殊角的直角三角形問題通常需要進行邏輯推理和代數(shù)運算.這有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力[.

4解題路徑

解直角三角形試題的路徑可以分為以下幾個步驟：

理解題意.首先，仔細閱讀題目內(nèi)容，深人理解題意，準確把握已知條件和所求目標.明確題目中已給出的直角三角形的已知邊長和角度信息.

選擇合適的三角函數(shù)：根據(jù)題目所給信息，選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系來建立方程.一般而言，需根據(jù)已知邊長和所求目標，靈活選用正弦、余弦或正切函數(shù).

建立關(guān)系式：利用所選的三角函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建已知條件與所求目標之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式.根據(jù)題目中提供的信息，將已知邊長和角度代人相應(yīng)的三角函數(shù)表達式中，從而建立方程.

求解未知量：解方程得到所求的未知量.通過代人已知值并解方程，求得所需的未知量.

檢查答案：對求得的未知量進行驗證，確保其符合題意.仔細檢查所求解是否符合題目中給出的條件和要求，特別注意單位和符號的準確性.

總結(jié)反思：對解題過程進行總結(jié)和反思，歸納解題方法和關(guān)鍵步驟.梳理解題過程中的關(guān)鍵點，整理和消化解題思路，以便今后遇到類似問題時能夠迅速找到解題方向.

參考文獻：

[1]吳安棟.初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題技巧探究[]].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（8）：17-18.