“手拉手”模型作為初中幾何部分非常重要的問題模型，考查的知識點往往比較豐富，解法靈活，所以極受命題者們的青睞.本文中首先簡要介紹“手拉手”模型，然后嘗試從改變條件入手談一談其變式拓展，最后探究其變式拓展的解法.希望通過這樣的研究一方面幫助教師拓展授課思路，另一方面間接幫助學生提高解決問題的能力.

1“手拉手”模型介紹

兩個有公共頂點且頂角相等的三角形組成的圖形叫“手拉手”模型.從圖形的表現(xiàn)來看，就是從一個頂點出發(fā)的四條線段，兩兩相等（或者對應(yīng)成比例），并且它們所組成的夾角相等.如圖1所示，如果邊兩兩相等，就會出現(xiàn)全等三角形；若對應(yīng)邊成比例，則會出現(xiàn)相似三角形.

從圖1也可以看出，“手拉手”模型也就是旋轉(zhuǎn)，或者叫旋轉(zhuǎn)模型，即凡是一個圖形繞某個頂點旋轉(zhuǎn)，都會出現(xiàn)這種模型.無非就是旋轉(zhuǎn)的圖形不同，以及旋轉(zhuǎn)過程中是否有圖形的縮放.當然，還有部分題目并未呈現(xiàn)“手拉手”模型，而是需要解題者根據(jù)需要添加輔助線構(gòu)造出“手拉手\"模型.

2變式拓展及解法探究

常見的“手拉手”模型主要由直角三角形旋轉(zhuǎn)組成，當然也會由其他圖形組成，如正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等.下面重點介紹其變式拓展.

變式一共頂點的等邊三角形“手拉手”

這種變式就是將“手拉手”的圖形由直角三角形變換為等邊三角形.如下面這道例題：

例1如圖2，在直線 A C 的同一側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形 B C E ，連接 A E 與 C D .求證：

變式二正方形和等腰直角三角形“手拉手”

這種變式受正方形“手拉手”與等腰直角三角形“手拉手”的啟發(fā)，將正方形和等腰直角三角形一起“手拉手”那么，這種變式怎樣解決呢？看下面例2：

例2如圖4，在等腰直角三角形 A D C 中， .A D=4. 點 E 是 A D 的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接A G，C E .將正方形DEFG繞點D 順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 α 。

（1）如圖5，在旋轉(zhuǎn)過程中，① 判斷 Δ A G D 與 Δ C E D 是否全等，并說明理由；② 當 C E=C D 時， A G 與E F 交于點 H ，求 G H 的長.（2）如圖6，延長 C E 交直線A G 于點 P .求證： A G⊥ C P

3總結(jié)與反思

由一個三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到另一個三角形，將它們的對應(yīng)點連起來即可得到“手拉手”模型所以，在解決這一問題的過程中，要注意以下幾點：

首先，訓(xùn)練學生的空間思維.一個三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到另一個三角形，并且把對應(yīng)點連接起來，那么這樣的圖形往往線段比較多，且圖形比較復(fù)雜，是對學生空間思維能力的考驗，而筆者從課堂實踐中發(fā)現(xiàn)很多學生并不能找到全等或相似的兩個三角形，這需要一定時間訓(xùn)練.筆者建議，可用相同顏色表示對應(yīng)線段，久而久之，學生的空間思維能力會有所改善.

其次，要重視逆向思維的拓展.現(xiàn)如今“手拉手”模型在試卷中出現(xiàn)得比較頻繁，也被研究得比較透徹[3]。所以，現(xiàn)在的考查趨勢是逆向應(yīng)用，這就對學生的逆向思維提出了更高的要求.如下面這道例題：

例3如圖9，正方形ABCD外一點 P ，已知 P A= 求 ∠ A P B 的度數(shù).

本題明顯與例1和例2都不同，沒有直接畫出“手拉手”模型，而是需要解題者運用逆向思維通過作輔助線的方式構(gòu)造“手拉手”模型，如圖10.

總而言之，圖形愈加復(fù)雜的問題，更需要仔細分析問題.“手拉手”模型只要找到了全等三角形或相似三角形，問題將迎刃而解.所以，教師要訓(xùn)練學生的空間思維，要重視逆向思維的拓展，讓學生能靈活應(yīng)對這類問題.

參考文獻：

[1馮新建.等腰三角形“手拉手”模型的拓展J.初中數(shù)學教與學，2019（13）：31-32.

[2]楊再發(fā).等腰直角三角形手拉手展風采[J].初中生輔導(dǎo)，2020（13）：46-48.

[3]任保平.模型·探究·應(yīng)用—“手拉手”模型問題的解法探究[J].初中生必讀，2021（Z2）：57-59.