平行四邊形的性質(zhì)與判定是“平行四邊形”這一章中兩個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，但也是非常容易搞混淆和出錯(cuò)的部分.很多學(xué)生不僅分不清什么是性質(zhì)和判定，將二者混為一談，而且不能準(zhǔn)確選用判定定理解題[.本文中以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為藍(lán)本，通過(guò)一題多解的方式，說(shuō)明靈活選用平行四邊形的判定定理解題的方法.

1平行四邊形的判定定理及說(shuō)明

在北師大版初中數(shù)學(xué)教材中，包括平行四邊形的定義在內(nèi)（定義可視為判定定理），平行四邊形的判定定理一共是五個(gè).分別如下：

定義（判定定理1）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

判定定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

判定定理3：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

判定定理4：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

判定定理5：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行 四邊形.

為了更準(zhǔn)確地選用判定定理解題，現(xiàn)在對(duì)這五個(gè)判定定理做如下說(shuō)明：

首先，判定定理1，2，5都是兩組，判定定理3只需一組；其次，五個(gè)判定定理分別是從平行四邊形的邊、角、對(duì)角線出發(fā)；再次，定義也是判定定理；最后，第五個(gè)判定定理在北師大教材中并未詳細(xì)講解，只是以練習(xí)題的方式讓學(xué)生證明，故可以間接作為判定定理使用.

2選用平行四邊形的判定定理解題的方法

2.1例題分析

例題如圖1所示，在四邊形ABCD中， A E⊥ BD于點(diǎn) E，C F⊥ B D 于點(diǎn) F，A E=C F ， B F=D E ，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：本題的條件比較多，且都比較重要.考慮到需證明四邊形ABCD是平行四邊形，而平行四邊形有五個(gè)判定，所以嘗試?yán)眠@五個(gè)判定定理解題.

用判定定理1解題：只需證明四邊形的兩組對(duì)邊分別平行即可；

用判定定理2解題：只需證明四邊形的兩組對(duì)邊分別相等即可；

用判定定理3解題：只需證明四邊形的一組對(duì)邊平行且相等即可；

用判定定理4解題：只需證明四邊形的對(duì)角線互相平分即可；

用判定定理5解題：只需證明四邊形的兩組對(duì)角 相等即可.

由此可見(jiàn)，本題可能有五種不同的解題方法.

解：四邊形ABCD是平行四邊形.

理由如下：

法一：利用“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”

法二：利用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”

法三：利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”

法五：利用“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”

2.2方法總結(jié)

從例題的五種不同解法來(lái)看，有比較簡(jiǎn)單的解法，如解法一、二、三，也有比較復(fù)雜的解法，如解法四、五.如果在考試檢測(cè)中遇到此題，那么如何選用判定定理更高效地解出本題呢？現(xiàn)對(duì)其方法做如下總結(jié)：

首先，如果題自的條件更傾向于“角”，那么不妨從“兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”出發(fā)，只需證明兩組對(duì)角相等即可，如解法五.

其次，如果題目給出的條件更傾向于“對(duì)角線互相平分”，那么可考慮采用“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形\"進(jìn)行證明.當(dāng)然，在證明對(duì)角線互相平分時(shí)，通常采用證明兩個(gè)三角形是全等三角形的方法，甚至有時(shí)可能需要作輔助線，如解法四就是如此.

第三，如果條件中有一組對(duì)邊平行，那么可沿兩條路線出發(fā)，其一是證明該組對(duì)邊相等，其二是證明另一組對(duì)邊平行.

最后，如果條件中有一組對(duì)邊相等，那么也有兩種思路可以證明，其一是證明該組對(duì)邊平行，其二是證明另一組對(duì)邊相等.

鑒于像這樣的問(wèn)題思路比較廣闊，在解決的過(guò)程中對(duì)學(xué)生的思維能力有較大考驗(yàn)，本文建議一線教師要讓學(xué)生思考是否有更多方法解決本題，多利用一題多解的方法激發(fā)學(xué)生的思維，從而提高他們的綜合水平[2]

綜上所述，解決一道關(guān)于平行四邊形的初中幾何題，往往方法比較多.如果在證明過(guò)程中對(duì)選擇哪個(gè)判定定理毫無(wú)把握，那么不妨先分析題中所給條件是否為邊、角、對(duì)角線，然后對(duì)應(yīng)上文總結(jié)出的方法，找到相應(yīng)的判定定理，再逆向推理所需的條件.

參考文獻(xiàn)：

[1]魏爍.結(jié)構(gòu)不良視角下的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)——以“平行四邊形的性質(zhì)和判定定理”復(fù)習(xí)課為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2021（23）：32-35.

[2]張?zhí)K.用開(kāi)放性問(wèn)題引導(dǎo)平行四邊形單元復(fù)習(xí)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2022（3）：51-53.