將中位線定理與三角形的角平分線、中線或垂線的定義、性質(zhì)相結(jié)合，或者與等邊三角形、平行四邊形、矩形的性質(zhì)等相結(jié)合，既可確定兩條直線的位置關(guān)系，如平行關(guān)系，也可在三角形、四邊形中證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系，如倍分關(guān)系，或計算線段的最值，還可與相似三角形結(jié)合計算面積的比值，等等.中位線定理的學(xué)習(xí)和運用有利于學(xué)生獲得“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本生活經(jīng)驗和基本思想方法）和發(fā)展“四能”（運用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力），從而豐富和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教育部2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版》（以下簡稱“新課標(biāo)”）明確要求：“探索并證明三角形的中位線定理.\"1]足見學(xué)習(xí)中位線定理的必要性和重要意義.現(xiàn)擬與大家分享對此定理的探索及應(yīng)用舉例.

1三角形的中位線及中位線定理的意義

三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫作這個三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

2三角形中位線定理的證明

已知：如圖1，在△ABC中，點 分別是邊 A B，A C 的中點.求證：DE// B C ，且 D E= .

證明：如圖2，延長 D E ，使E F=D E .因為 E 是 A C 的中點，所以 A E=C E 在 Δ A D E 和 Δ C F E 中， ，∠ A E D=∠ C E F ，所以可得 ，

，所以 A D=C F ∠ A D F=∠ F 因為 D 是 A B 的中點，所以 A D=B D ，所以 B D=C F 由 ∠ A D F=∠ F ，知 A B//C F ，即 B D//C F 所以四邊形DBCF是平行四邊形，從而 D F=

B C，D F//B C. 又因為 ，所以 由 D F//B C ，知 D E//B C ·所以

3構(gòu)造三角形中位線解決幾何問題舉例

3.1添加“第三邊”構(gòu)造中位線，確定最大值

案例1如圖3，在四邊形ABCD中， 4，點 E，F(xiàn) 分別是邊 B C 和 D C 上的動點（含端點，但點 F 不與端點 c 重合）.若點 G，H 分別是線段 A F 和E F 的中點，則線段 G H 的最大值為

分析：如圖4，由點 G，H 分別是線段 A F 和 E F 的中點，容易想到連接 A E ，即 Δ A E F 的第三邊，則 G H 是 Δ A E F 的中位線.

解析：如圖4所示，連接 A E ，在Δ A E F 中，由點 G，H 分別是線段

A F 和 E E 的中點，知 G H 是 Δ A E F 的中位線，所以G H//A E ， 因為 E，F(xiàn) 分別是邊BC和D C 邊上的動點（含端點，但點 F 不與端點 c 重合），當(dāng)點 E 與點 c 重合時 A E 最長，此時 G H 最長.

在 RtΔ A B E 中， A B=3，B E=B C=4 ，由勾股定理易得 ，于是知最長 G H 的最大值為 1 ，

點撥：重視“遇到中點或中線，首選添加‘第三邊’，從而構(gòu)造中位線”，為確定最值創(chuàng)造條件.

3.2利用圖形性質(zhì)發(fā)掘中位線，證相等關(guān)系

案例2如圖 5，D 是 ∠ A B C 的邊 ∣ A B 的延長線上一點， B E ，BF分別平分 ∠ A B C 和 ∠ C B D ， C E⊥

B E，C F⊥ B F ，連接 E F 交 B C 于點 O ，交 A C 于點 D .求證：A B=2D O .

分析：結(jié)合題意容易知道∠ C F B ， ∠ C E B ， ∠ E B F 都是直角，從而可證四邊形EBFC是矩形；由矩形對角線的性質(zhì)可知 O 是 B C 的中點，可證 E F 平行 A B ，于是可證 D 為 A C 的中點，因此可知 O D 是 Δ A B C 的中位線，從而證明 A B=2D O

證明：因為 D 是 ∠ A B C 的邊 A B 的延長線上一點，所以 .因為 B E，B F 分別平分 ∠ A B C 和 ∠ C B D ，所以 ，所以可得 ∠ E B F=∠ E B C+∠ C B F= 因為 C E⊥ B E，C F⊥ B F ，所以

所以 ，所以四邊形 C E B F 是矩形.因為 C O=B O E O=F O 且 B C= E F ，所以 C O=B O=E O ，所以 ∠ O E B=∠ O B E .又因為 ∠ A B E=∠ O B E ，所以 ∠ O E B=∠ A B E ，所以O(shè) E//A B ，則 D 是 A C 的中點，所以 D O 是 Δ A B C 的中位線，則有 ，即 A B=2D O

點撥：熟悉有三個角是直角的四邊形是矩形和矩形的對角線相等且互相平分，是此題證明的基礎(chǔ)；正確運用“過三角形一邊中點，平行于另一邊的直線平分第三邊”是說明 D 是 A C 的中點進而發(fā)現(xiàn) D O 是Δ A B C 的中位線的關(guān)鍵.

3.3延長線段發(fā)現(xiàn)中點得到中位線，計算線段長

案例3如圖6所示，在Δ A C B 中， C E，C D 分別是∠ A C B 的平分線和 A B 邊上的中線， A F⊥ C E 于點 F ，A C=7 ， B C=14 ，求 F D 的長.

分析：如圖7，因為 C E 是 ∠ A C B 的平分線，所以∠ A C F 與 ∠ G C F 相等.設(shè)A F 的延長線與 B C 交于點G ，因為 A F⊥ C E 于點 F ，則∠ A F C 等于 ∠ G F C .結(jié)合 C F 是公共邊，易證 ，從而可知， F 是 A G 的中點，于是知 D F 是 Δ A B G 的中位線，從而可知F D 的長等于 B G 的一半.

解析：如圖7，延長 A F 交 B C 于點 G .因為 C E 是∠ A C B 的平分線，所以 ∠ A C F=∠ G C F .因為 A F⊥

C E 于點 F ，則

。在△AFC和△GFC中， 所以?！鰽FCS△GFC（ASA）.

所以 A F=G F A C=G C=7. 因為 B C=14 ，所以B G=B C-G C=7

因為 C D 是 邊上的中線，所以 D 是 的中點，所以 F D 是 Δ A B G 的中位線，所以

點撥：顯然利用 A F 垂直三角形的角平分線是確定 F 是 A G 的中點的基礎(chǔ)，巧用中線的性質(zhì)，是發(fā)現(xiàn)F D 是中位線的關(guān)鍵.

3.4挖掘隱含條件確定中位線，求面積的比值

案例4如圖8，在 Δ K L M 中， K N=L N ， K O：=：M O ，N P//K M ，若 ，試求 S四邊形KNPO的值.

分析：由題意可知， N O ，N P 都是 Δ K L M 的中位線，四邊形NPOK是平行四邊形，可證 Δ K N O～Δ K L M ，進而可得比值.

解析：因為 K N=L N ， K O=M O ，所以 N O 是

Δ K L M 的中位線，則 N O//L M ， ，進一步容易

證明 Δ K N O∽Δ K L M ，則 .

因為 N 是 K L 的中點， N P//K M ，所以 L P= M P ，即 P 是 L M 的中點.所以 P N，P O 都是是Δ K L M 的中位線，則 P N//K O，P O//K N ，所以四邊形NPOK是平行四邊形.

易證 ，所以 ，因此

點撥：挖掘隱含條件確定中位線，中位線是確定相似比值的基礎(chǔ)，運用轉(zhuǎn)化和代換思想是求面積比值不可或缺的思想方法.

最后，我們應(yīng)該牢記中位線定理是新課標(biāo)中強調(diào)過的重要定理，務(wù)必要從探究和應(yīng)用兩個角度把此定理學(xué)扎實，讓這顆幾何世界中的璀璨明珠照亮我們的數(shù)學(xué)教育之路[2].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]邵新虎.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)解題模型[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2019.