初中數(shù)學(xué)中與圓有關(guān)的知識多且零碎，學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)注重運(yùn)用思維導(dǎo)圖進(jìn)行梳理，理順知識點(diǎn)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，形成系統(tǒng)知識體系.在此基礎(chǔ)上聚焦證明問題、計(jì)算問題，通過探尋不同習(xí)題情境的證明、解題思路，積累應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，提高解題技能.

1證明與計(jì)算角度問題的突破

解決與圓有關(guān)的證明與計(jì)算角度問題，需要根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境及要證明的內(nèi)容及時(shí)聯(lián)系圓對應(yīng)的知識點(diǎn)與一些常見幾何圖形的性質(zhì)，特別應(yīng)注重運(yùn)用平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形、等邊三角形等知識.

例1如圖 1，Δ A B C 為等腰三角形， A B=A C ，以腰 A B 為直徑的半圓 O ，和 B C，A C 分別交于點(diǎn) ，連接 A D，O E，O D，E D .

（1）求證： B D=C D .

（2）若 ，求弧DE所對的圓心角大??；

（3）求 ∠ E D C 的大小.

（1）證明：因?yàn)?A B 是半圓 O 的直徑，則 ∠ A D B= ，即 A D⊥ B C. 又 A B=A C ，則 B D=C D

（2）解：由 A B=A C ，得 ∠ A B C= ，于是 結(jié)合（1）可知 ∠ B A D= ，則 ，所以弧 D E 所對的圓心角為 ，

（3）解：由 O E=O D ，得 ∠ O E D= ，

由 ，得 又O B=O D ，則 ，所以

點(diǎn)評：該題主要考查等腰三角形與圓性質(zhì)的靈活應(yīng)用.在突破的過程中，應(yīng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，合理作出輔助線，以更清晰地展現(xiàn)線段、角度之間的關(guān)系.

2證明與計(jì)算線段長度問題的突破

與圓有關(guān)的證明與計(jì)算線段長度問題在初中數(shù)學(xué)中較為常見[2.當(dāng)題干中所給的已知條件較為特殊時(shí)應(yīng)注重轉(zhuǎn)化，通過證明三角形全等、三角形相似探尋角度、線段之間的相等關(guān)系，化陌生為熟悉，迅速找到突破思路.

例2如圖2，圓 O 的半徑為1，A B，A C 是圓 O 中長度相等的兩條弦， B O 的延長線和 A C 交于點(diǎn) D .連接 O A，O C

（1）證明： ∠ A B O=∠ A C O （2）求 的值；

（3）記 分別為 Δ A O B，Δ A O D，Δ C O D 的面積，若 ，求 O D 的長.

解析：（1）證明略.

（2）由（1）得 ∠ A B O=∠ A C O 由 O A=O C ，得 ∠ O A D=∠ A C O ，則 ∠ O A D=∠ A B O 又 ∠ A D O= ∠ B D A ，所以 Δ O A D～Δ A B D ，則 AD，即AD2= B D≌ O D ，故

（3）由 ，設(shè) ，則 ，

由 ，易得 ，即 ，整理得 ，解得 （舍去）.又 O B=1 ，則

，故OD

點(diǎn)評：該題第一問容易證明.第二問、第三問難度較大，需要通過證明三角形相似和三角形全等進(jìn)行線段、面積的等量代換，并進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、?jì)算.

3證明與計(jì)算三角形面積問題的突破

突破證明與計(jì)算三角形面積需要具體問題具體分析，其中在證明三角形形狀及線段之間的相等關(guān)系時(shí)，需要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行逆向推理，通過證明三角形全等進(jìn)行等量代換.求三角形面積時(shí)，需要在明確三角形形狀的基礎(chǔ)上求出對應(yīng)線段的長度，運(yùn)用三角形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.

例3如圖3，在五邊形ABCDE中， ，B D 平分 ∠ A B C ，其中點(diǎn) A ，B，C，D 剛好是圓 O 上的四個(gè)點(diǎn).

（1）求證： Δ A C D 為等邊三角形；

（2）當(dāng) 時(shí)， A C=2 ，求 Δ A D E 面積的最大值.

（1）證明：由 BD平分 ∠ A B C ，則得 由圓周角定理的推論可得 ， ，則Δ A C D 中，由三角形的內(nèi)角和為 易得 ∠ A D C= ，故 Δ A C D 為等邊三角形.

（2）解：設(shè) Δ A D E 的外心為 點(diǎn) M ，連接 A M，M D ，則 A M= M D ，如圖4.

由 ，得 ，易得點(diǎn)E 的軌跡是以 M 為圓心， 為半徑的圓.

取 A D 的中點(diǎn)為 N ，則 M N=1. 當(dāng) N，M，E 三點(diǎn)共線時(shí)， Δ A D E 的面積最大，此時(shí) Δ A D E 為等腰三角形， E N 為該三角形的高， ，即為 Δ A D E 面積的最大值.

點(diǎn)評：該題第二問難度較大，需要基于對題意的理解判斷出點(diǎn) E 的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，并準(zhǔn)確判斷出面積為最大時(shí)三角形的形狀，而后運(yùn)用已知條件線段關(guān)系、角度關(guān)系計(jì)算出結(jié)果.

4證明與計(jì)算周長問題的突破

證明與計(jì)算幾何圖形的周長在初中數(shù)學(xué)中屢見不鮮.其中證明問題主要考查圓及一些幾何圖形的性質(zhì)，需要牢記并靈活應(yīng)用對應(yīng)線段、角度關(guān)系.計(jì)算幾何圖形的周長，尤其是與圓相關(guān)的幾何圖形的周長，需要確定圓的半徑及對應(yīng)的圓心角大小.

例4如圖 5，A B 是圓 O 的直徑， C D 是弦，連接 A C，A D ，O D ，其中 A C=C D ， D A 平分∠ C D O ，過點(diǎn) B 作 C D 延長線的垂線，垂足為點(diǎn) E .

（1）求證： B E 是圓 O 的切線；

（2）當(dāng) A B=12 時(shí)，求圖中陰影部分的周長之和.

（1）證明：由 A O=O D ，得 ∠ O A D=∠ O D A .由 DA平分 ∠ C D O ，得 ∠ C D A=∠ O D A ，則 ∠ C D A= ∠ O A D ，所以 C D//A B .由 B E⊥ C D ，得 ，則 ，即 B E⊥ A B ，故 B E 是圓 O 的切線.

（2）解：連接 B D，O C ，如圖6.由 A C=C D ，可得 ∠ C A D=

∠ C D A 又 ∠ C D A=∠ O D A ，所

以 ∠ C A D=∠ O D A ，則 A C//O D

由（1）可得 C D//O A ，所以四邊形

AODC為平行四邊形.又 A O=

O D ，則四邊形AODC為菱形.又 A O=C O ，則 Δ A O C ，Δ C O D 均為等邊三角形，所以 ∠ C A O=∠ C O A= 又 O D=O B ，則 Δ D O B 也為等邊三角形.易得弧 A C 與弧 B D 相等，所以兩弧的長度之和為

由 ，得

綜上可知，陰影部分的周長為

點(diǎn)評：該題第二問難度稍大，求解的過程中需要明確陰影部分的周長由幾段線段構(gòu)成，而后結(jié)合角度及線段的關(guān)系計(jì)算得出，

綜上所述，圓的證明與計(jì)算問題情境多變，通過分析不同問題情境的突破思路，可以看出在解答相關(guān)問題時(shí)既要注重圓的性質(zhì)的利用，又要注重聯(lián)系常見的幾何圖形的性質(zhì).當(dāng)然，根據(jù)需要還應(yīng)作出對應(yīng)的輔助線，以更好地揭示線段、角度關(guān)系[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]莊國陽.初中數(shù)學(xué)“圓”的常見考查題型分析J.數(shù)理天地（初中版），2024（20）：12-13.

[2]林越.初中數(shù)學(xué)圓中最值問題解題技巧的探究J].數(shù)理化解題研究，2023（32）：44-46.