三角形中的有關(guān)動點(diǎn)的綜合問題，是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、思維模式與應(yīng)用技巧的一面鏡子，它不僅考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念的掌握程度，也檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與解題策略.利用有關(guān)相似三角形求解有關(guān)動點(diǎn)的綜合問題，是初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典例題.通過常見題型，掌握解題策略與技巧，讓學(xué)生通過熱點(diǎn)題型訓(xùn)練磨礪解題之劍，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與邏輯推理能力.

1線段、面積比例問題

對于平面中以點(diǎn)的運(yùn)動為背景，求解有關(guān)線段長度、三角形面積或者所成比例的綜合問題，需要結(jié)合條件構(gòu)建相似關(guān)系，將復(fù)雜的幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過建立函數(shù)模型，搭建從題目條件到函數(shù)解題策略之間的橋梁，利用三角形的相似或性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)、三角函數(shù)進(jìn)行求解，不斷提升利用相似三角形解題的效率，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例1（2024·江蘇徐州初三檢測）如圖1，在同一平面上，兩塊全等的直角三角板RtΔ A B C 和 RtΔ A D C 拼在一起，使斜邊 A C 完全重合，且頂點(diǎn) B，D 分別在 A C 的兩旁， 點(diǎn)M，N 分別從點(diǎn) A ，點(diǎn) c 同時(shí)分別以 的速度出發(fā)向點(diǎn) D 、點(diǎn) B 運(yùn)動，設(shè)點(diǎn) M 的運(yùn)動時(shí)間為t ，當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動.

（1）取 D C 的中點(diǎn) P ，連接 M P，N P ，設(shè) Δ P M N 的面積為 y （單位： ），試求出 y與 t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，是否存在某一時(shí)刻 t ，使得Δ NMP的面積是 RtΔ A D C 面積的一半？

（3）是否存在某一時(shí)刻 t ，使得MN分線段 A C 為

解析：（1）作 N F⊥ D C 交 D C 的延長線于點(diǎn) F ，連接 ，如圖2.

因?yàn)? A D= 6cm，RtΔ A B CΔRtΔ A D C ，所以 C B=C D=A D ·tan √3， ，則

因?yàn)?P 為 C D 的中點(diǎn)，所以

易得 C N=t，A M=2t ，則 C ，且 P M D ，所以 圖2 ，從而 y= S幕形MDFN -

（2）存在.理由如下：易得 當(dāng) 時(shí)， ，解得 t=0 或

所以，當(dāng) t=0 或 時(shí)， Δ N M P 的面積與RtΔ A D C 面積的一半.

（3）易得 假設(shè) A Q：C Q=2：1 ，則 如圖3，過點(diǎn) M 作 M G//B C ，交 A G 于點(diǎn) G ，作 G H⊥ A D 于點(diǎn) H .所以 又因 為 ，則 .所以 ∠ C A D= ，則 A G=G M

所以 ，則

因?yàn)?∠ G Q M=∠ C Q N ， ∠ Q G M=∠ Q C N ，所以2√3

可得 Δ G Q M～Δ C Q N ，則 即

，解得 故當(dāng) 時(shí)， .M N 分線段 A C 為 A Q：C Q=2：1

評析：本題通過適當(dāng)添加輔助線構(gòu)建解題所需的幾何關(guān)系，利用已知條件和圖形特征，結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動和性質(zhì)，利用三角形相似形、直角三角形、三角形面積和線段長度求解等知識，借助比例找到有關(guān)長度和圖形面積，然后分別列式求解.

2線段長度與最值問題

對于以有關(guān)幾何圖形中的點(diǎn)的運(yùn)動為背景，求解有關(guān)線段最值和運(yùn)動路徑長度問題，需要深人挖掘題目中的隱含信息，注意點(diǎn)在運(yùn)動過程中的某些特殊點(diǎn)、特殊線（如中線、高線、角平分線等），以及運(yùn)動到某位置時(shí)三角形的角度或邊長，然后利用三角形相似、對應(yīng)邊成比例找到有關(guān)邊長，通過適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造有關(guān)特殊的三角形，結(jié)合所學(xué)知識求解線段最值問題和點(diǎn)的運(yùn)動軌跡（如直線、圓弧等），然后利用幾何知識（如弧長公式、直線長度計(jì)算等）來求解.

例2（2024·江蘇泰州初三檢測）如圖4，在Δ A B C 中 ，點(diǎn)D為BC邊上的動點(diǎn).以 D 為頂點(diǎn)作 ∠ A D E=∠ B ，射線 D E 交A C 邊于點(diǎn) E ，過點(diǎn) A 作 A F⊥ A D 交射線 D E 于點(diǎn) F

（1）求證： Δ A B D～Δ D C E

（2）當(dāng) D E//A B 時(shí)（如圖5），求 A E 的長.（3）點(diǎn) D 從點(diǎn) B 運(yùn)動到點(diǎn) c 的過程中，① 直接寫出 A F 的最小值；

② 直接寫出點(diǎn) F 的運(yùn)動路徑的長.

（1）證明：因?yàn)?A B=A C ，所以 ∠ B=∠ A C B 因?yàn)?∠ A D E+∠ C D E=∠ B+∠ B A D， ∠ A D E= ∠ B ，所以 ∠ B A D=∠ C D E ，所以 Δ A B D～Δ D C E .

（2）解：如圖6，作 A M⊥ BC于點(diǎn) M 在 RtΔ A B M 中，設(shè)B M=4k ，則 A M=B M× tan

由勾股定理，得到 ，所以 ，解得 k=4 或 k=-4 （舍去）.所以B M=16，A M=12. 因?yàn)?A B=A C ， A M⊥ B C ，所以B C=2B M=32

因?yàn)?D E//A B ，所以 ∠ B A D=∠ A D E 又 ∠ A D E= ∠ B ，所以 ∠ B A D=∠ A C B

又因?yàn)?∠ A B D=∠ C B A ，所以 Δ A B D～Δ C B A ， 則 .

所以

因?yàn)?D E//A B ，所以 BC，從而得AE=

（3） ①A F 的最小值為9；

② 點(diǎn) F 的運(yùn)動路徑的長為24.

評析：本題考查點(diǎn)的運(yùn)動為背景，求解線段最值和長度問題.在理解題意的基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線，然后利用等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形判定、對應(yīng)邊比例關(guān)系、銳角三角函數(shù)等進(jìn)行求解.