在剛結(jié)束反比例函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)后，通過(guò)解題訓(xùn)練很快就發(fā)現(xiàn)有一類(lèi)問(wèn)題學(xué)生仍難解決，即反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的共存問(wèn)題.其實(shí)，這類(lèi)問(wèn)題比較難解決是很多學(xué)生難以解決與函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)縮影.考慮到該類(lèi)問(wèn)題在歷年中考多有體現(xiàn)，所以本文中嘗試研究其化解方法.

1疑難問(wèn)題呈現(xiàn)

學(xué)生難解決的問(wèn)題：

如圖所示，函數(shù) y=k（x-1） 與函數(shù) 的圖象在同一坐標(biāo)系中的大致位置應(yīng)為（ ）.

A. ①② B. ①③ C.②③ D ②④

本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，是典型的函數(shù)圖象共存問(wèn)題，主要考查了反比例和一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，難度較大.如果沒(méi)有掌握方法與技巧，這類(lèi)問(wèn)題極易混淆，因而難以選擇.

2拋問(wèn)引思

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，只有讓學(xué)生參與知識(shí)探究的整個(gè)過(guò)程，這樣的學(xué)習(xí)才更高效.基于這一點(diǎn)，筆者在分析與探究這類(lèi)問(wèn)題的解決方法時(shí)，先拋出了一系列的問(wèn)題讓學(xué)生思考，試圖帶領(lǐng)著學(xué)生一起思考、一起探究.

師：這是哪兩種函數(shù)圖象的共存問(wèn)題？生：一次函數(shù)和反比例函數(shù).

師：你是如何發(fā)現(xiàn)的？

生1：觀察四個(gè)圖形發(fā)現(xiàn)的.

生2：從它們的解析式發(fā)現(xiàn)的.

師：非常好.那么它們的解析式有何特點(diǎn)？

生2：一次函數(shù)解析式是 y=k x+b ，而 y=k（x-1） 可以轉(zhuǎn)化為 y=k x-k ，這里的一k就是 是非常標(biāo)準(zhǔn)的反比例函數(shù)解析式.

師：那么兩個(gè)函數(shù)中的 k 是一樣的嗎？

生：是一樣的.

生3：是一樣的，也就是一次函數(shù)中的 k 和反比例函數(shù)中的k值相等.

師：既然如此，那么一次函數(shù)中的 k 和反比例函數(shù)中的k、一次函數(shù)中的都有怎樣的幾何意義呢？這些幾何意義又對(duì)我們解題有什么幫助呢？

生：思考.....

筆者拋出的一系列問(wèn)題，有效激發(fā)了學(xué)生的思維.在最后一個(gè)問(wèn)題提出后，學(xué)生進(jìn)人了深思，并將 k，b 的幾何意義與函數(shù)圖象結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析.最后，有四個(gè)同學(xué)分別對(duì)這四個(gè)圖形產(chǎn)生了如下理解：

學(xué)生A：在圖 ① 中，如果先分析反比例函數(shù)的圖象，那么根據(jù)其過(guò)第一、三象限即可知 kgt;0 一次函數(shù)y=k（x-1）=k x-k 的圖象從左到右上升，說(shuō)明 kgt; 0，這與反比例函數(shù)中的 k 相符.直線又與 y 軸交于正半軸，說(shuō)明 -kgt;0 ，此時(shí)分析出 klt;0 ，與之前的分析矛盾.根據(jù)“一次函數(shù)中的 k 和反比例函數(shù)中的 k 值相等”，所以圖 ① 中兩個(gè)函數(shù)圖象不可共存.

學(xué)生B：在圖 ② 中，如果也先分析反比例函數(shù)圖象，那么根據(jù)其過(guò)第一、三象限即可知 kgt;0 一次函數(shù)y=k（x-1）=k x-k 的圖象從左到右上升，說(shuō)明 kgt; 0，這與反比例函數(shù)中的 k 相符.直線又與 y 軸交于負(fù)半軸，說(shuō)明 -klt;0 ，此時(shí)分析出 kgt;0 ，與之前的分析相符.所以圖 ② 中兩個(gè)函數(shù)圖象可以共存.

學(xué)生C：在圖 ③ 中，如果首先分析反比例函數(shù)圖象，那么可以根據(jù)它過(guò)第二、四象限得到 klt;0. 這時(shí)，觀察一次函數(shù) y=k（x-1）=k x-k 的圖象發(fā)現(xiàn)，它是一條從左到右向下傾斜的直線，說(shuō)明 klt;0 ，這與反比例函數(shù)中的 k 相符.同時(shí)，直線又與 y 軸交于正半軸，說(shuō)明 -kgt;0 ，于是分析出 klt;0. 至此，并未得出任何矛盾的結(jié)果，所以圖 ③ 中的兩個(gè)函數(shù)圖象可共存.

學(xué)生D：與前三位同學(xué)的方法相同，先分析圖 ④ 中反比例函數(shù)圖象，后分析一次函數(shù)圖象.通過(guò)反比例函數(shù)圖象分析得到 klt;0 ，但一次函數(shù)圖象竟與 y 軸負(fù)半軸相交，由 -kgt;0 得到它應(yīng)該與 y 軸正半軸相交，最后由該矛盾知圖 ④ 中兩個(gè)函數(shù)圖象不可共存.

3方法總結(jié)與驗(yàn)證

通過(guò)筆者不斷拋出的問(wèn)題與學(xué)生逐漸深入的思考，特別是最后四個(gè)學(xué)生的自主分析，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法其實(shí)已經(jīng)非常清楚.筆者和學(xué)生遂將方法共同總結(jié)如下：先選分析對(duì)象，然后根據(jù)圖象分析k，b的矛盾之處.如果存在矛盾之處，則說(shuō)明圖象不可共存；如果不存在矛盾之處，則說(shuō)明圖象可共存.

從總結(jié)的方法不難看出，這種方法有三個(gè)步驟：首先，選擇對(duì)象并分析對(duì)象中 k 或 b 的情況；然后，分析另一個(gè)圖象中 k 或b的情況；最后，將前兩步中分析的 k 或 b 的情況進(jìn)行對(duì)比，如果矛盾則不可共存，如果不矛盾則可共存.

所以，該方法也可簡(jiǎn)化如下：

選對(duì)象，作分析；

看另支，也分析；

將之對(duì)比找矛盾.

那么，這種方法是否對(duì)解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問(wèn)題真實(shí)有效？不妨用2022年的一道中考題來(lái)驗(yàn)證：

（2022·濱州）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù) y=k x+1 與 為常數(shù)且 k≠0 的圖象大致是（ ）.

解析：A選項(xiàng)中先分析直線，它從左到右往上升，所以 kgt;0. 直線與 y 軸交于點(diǎn)（0，1），與解析式相符.然后看反比例函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn) kgt;0 時(shí)， -klt;0 ，故圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，相符.所以，A選項(xiàng)中的圖象可共存.B選項(xiàng)明顯錯(cuò)誤，一是直線與 y 軸的交點(diǎn)畫(huà)錯(cuò)，二是如果反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，那么直線應(yīng)從左向右逐漸上升.同理，C選項(xiàng)和D選項(xiàng)都錯(cuò)誤.故選：A.

4反思與啟示

與學(xué)生共同分析與探討后，這類(lèi)問(wèn)題的解決方法得到了總結(jié)與驗(yàn)證.從這一連串的過(guò)程中，筆者悟出了以下幾點(diǎn)：

首先，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的共存問(wèn)題分析是基于一個(gè)事實(shí)，即其中的 k 或 b 的值相同.也就是在反比例函數(shù)中 kgt;0 ，那么一次函數(shù)圖象中的 k 也必然大于0.

其次，通過(guò)與學(xué)生共同分析與探討，不僅增強(qiáng)了學(xué)生的自信，也加強(qiáng)了師生之間的交流.尤為重要的是，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了在“做”中“學(xué)”，在學(xué)中交流與反思，形成了較好的學(xué)習(xí)氛圍，也較好地培養(yǎng)了學(xué)習(xí)習(xí)慣[2]。

最后，啟示日后的課堂教學(xué)要以學(xué)生為中心，尤其是像這類(lèi)抽象的問(wèn)題，應(yīng)給予學(xué)生更多的時(shí)間和機(jī)會(huì)交流與探討[3]

綜上所述，用三步就可以解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問(wèn)題.必要的是，在日常教學(xué)中要讓學(xué)生進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，將該方法掌握得更加牢固，這對(duì)他們的學(xué)習(xí)非常有利.

參考文獻(xiàn)：

[1]李石輝.培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)策略探究—以“反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用求三角形的面積問(wèn)題”為例[J].少男少女，2020，4（3）：4-5.

[2]莫貧旺.一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問(wèn)題解法研究[]]中學(xué)教學(xué)參考，2020（5）：22-23.

[3]高麗娟.“三定法”教你輕松搞定函數(shù)圖象共存問(wèn)題[]]中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（14）：92-93.