數(shù)學(xué)家奧加涅相說過：“很多習(xí)題潛藏著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能的可行性.\"在中考備考階段，基于“后建構(gòu)課堂”對(duì)教材習(xí)題整體建構(gòu)進(jìn)行二次開發(fā)，在揭示知識(shí)關(guān)聯(lián)的同時(shí)培養(yǎng)求異思維.下面以人教版八年級(jí)下冊(cè)第69頁第14題為例，以正方形為背景，打亂原有順序，重新建立知識(shí)體系，融合GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件功能，探索圖形構(gòu)造，尋找通性通法，以讀者.

1原題呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD是正 方形，點(diǎn) E 是邊 B C 的中點(diǎn)， ，且 E F 交正方形外 角的平分線 C F 于點(diǎn) F

求證： A E=E F .

2解法探析

2.1視角1：基于截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等

證法1：如圖2，取 A B 的中點(diǎn) G ，連接 E G ，得 A G=B G= B E=E C ，則 ∠ A G E=∠ E C F= .因?yàn)? 所以∠ B A E=∠ C E F ，從而△ECFΔ A G E ，故 A E=E F .

證法2：如圖3，延長 A E 至點(diǎn) G ，使 A E=G E ，連接 C G ，易證 及 三點(diǎn)共線.取 C G 的中點(diǎn) H ，連接 E H ，易證 Δ C E F？Δ H G E ，從而可得A E=E F .

2.2視角2：基于旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等

證法3：如圖4，連接 A C ，把 Δ E C F 繞點(diǎn) E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ， 顯然 ∠ A E G=∠ F E C E G=E C ， ，所以 ，故 .

證法4：如圖5，連接 A C ，把Δ E C F 繞點(diǎn) c 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，得 Δ E C F？Δ H C G ，所以 E F= H G，∠ C E H=∠ C H E=∠ B A C= ∠ C F E=∠ C G H. 因?yàn)?C F 是正方形 A B C D 外角的平分線，∠ C H G=∠ C E F=∠ B A E ，所以∠ C F E=∠ C G H=∠ C A E=∠ E H G ，所以AE//G H，A G//E H ，即四邊形AEHG是平行四邊形，故A E=H G=E F

證法5：如圖6，把 Δ E C F 繞 D點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，得 Δ E C F？ HΔ H C G ，所以 H G=E F ， ∠ F= ∠ G .連接 A H ，易證 Δ A B E？ BEΔ A D H ，所以可得 A E=A H ，∠ B A E=∠ D A H=∠ C E F 連圖6接 A C ，知 A，C，G 三點(diǎn)共線， ，從而可證 ∠ G A H=∠ E F C=∠ G ，即A H=H G ，故 A E=E F

證法6：如圖7，把 Δ A B E 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，得 Δ C B G ，則 B G=B E ， ∠ B A E= ∠ B C G=∠ C E F ，所以 E F//C G ，易證 ，所以 C F//G E ，即四邊形GCFE是平行四邊形，所以 C G=E F ，故A E=E F

證法7：如圖8，連接 A C ，把 E C 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，連接 G C ，顯然 G，C，F(xiàn) 三點(diǎn)共線，且 ∠ A C E=∠ F G E ， ∠ A E C= ∠ F E G ，從而 Δ A E C？Δ F E G ， 故 .

證法8：如圖9，把△ABE繞 點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，則可得 B E=G E ∠ B=∠ G，∠ A E B= ∠ G E F ，從而 Δ A B E？ F G E ，故 A E=E F

證法9：參看圖3，把ABE繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn) ，與 證法2雷同.

2.3視角3：基于翻折構(gòu)造全等

證法10：如圖10，把△ECF沿 E C 翻折得 ，所以 E F=E G ∠ F=∠ G 連接A C ，知 A，C，G 三點(diǎn)共線.又知∠ B A E=∠ C E F ，易證 ∠ G= ∠ E A G=∠ E F C ，從而 A E= E G ，故 A E=E F

證法11：如圖11，把 Δ A B E 沿 B E 翻折得 Δ A B E？Δ G B E ，所以可得 A E=E G ， ∠ G A E= ∠ A G E .連接 G C ，知 點(diǎn)共線， ∠ B G C=∠ B C G 由 C F 是正方形 A B C D 外角的平分線及∠ B A E=∠ C E F ，易證 ∠ E G C= ∠ E F G ，從而 E G=E F ，故

2.4視角4：基于一線三垂直構(gòu)造相似三角形

證法12：如圖12，過點(diǎn) F 作F G⊥ B C ，垂足為 G ，由一線三垂直可證 Δ A B E～Δ E G F .由 C F 是正方形 A B C D 外角平分線知G F=G C 設(shè) B E=E C=α ， G F=

G C=b ，則有 b：（a+b）=a：2a ，整理得 a=b ，從而 ，故 A E=E F .

2.5視角5：基于三角函數(shù)建立方程

證法13：參看圖12，設(shè) B E=E C=a ， G F=G C= b ，由 tan∠F E G=tan∠B A E ，得 b：（a+b）=a：2a ，整理得 a=b ，易證 ，故 A E=E F

2.6視角6：基于勾股定理構(gòu)造直角三角形

證法14：如圖13，連接 A F ，過點(diǎn) F 構(gòu)造矩形CDHG.設(shè)B E=E C=a ， G F=G C=b .在RtΔ A B E 中， ；在 RtΔ E G F 中， ；在 RtΔ A F H 中，

所以，在 RtΔ A E F 中，有 ，整理得 a=b ，易證 Δ A B E≌ Δ E G F ，故 A E=E F

2.7視角7：構(gòu)造輔助圓

證法15：如圖14，連接 A C ，得 ，所以 A，E ，C，F(xiàn) 四點(diǎn)共圓.連接 A F ，知 ∠ A F E= ，所以 ，故

A E=E F

2.8視角8：基于建系法構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式

證法16：建立如圖15所

示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

E（1，0），A（0，2），C（2，0） ，易

求得直線 A E 的解析式為 y=

-2x+2 ，進(jìn)一步可得直線

EF 的解析式為y= ·

由 C F 是正方形ABCD的外角平分線，可求得直線C F 的解析式為 ，將其與 聯(lián)立可得 x=3，y=1 ，所以 A B=E G=2，B E=G F=1 ，從而由勾股定理得 A E=E F .

3一題多變，培養(yǎng)求異思維

借助GeoGebra的強(qiáng)大功能，對(duì)習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪脚c拓展，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維.

變式1觀察圖 16～18 ，在直線BC上拖動(dòng)點(diǎn) E 時(shí)，結(jié)論 A E=E F 還成立嗎？

變式2觀察圖 19～21 ，圖中 Δ A B C ，五邊形A B C D G ，六邊形 A B C D G H 均為正多邊形，在直線B C 上拖動(dòng)點(diǎn) E 時(shí)，結(jié)論 A E=E F 還成立嗎？

變式3如圖22，連接 A F ， A C ， Δ A B E 與Δ A C F 有什么關(guān)系？

變式4如圖23，連接 A F ，交 C D 于點(diǎn) H ，連接E H ，則 E H，B E，D H 之間有什么數(shù)量關(guān)系？

4從三個(gè)視角反思教材習(xí)題的挖掘價(jià)值

（1）減負(fù)提質(zhì)視角

“雙減”政策以減輕學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)為核心，旨在減負(fù)提質(zhì)，這就需要初中數(shù)學(xué)教師要注重對(duì)教材資源的拓展和利用.縱觀近兩年全國各省市的中考試題，均依標(biāo)命制，圍繞教材選題，很大一部分題目都是依據(jù)教材例題、習(xí)題進(jìn)行改編、拓展，往往體現(xiàn)“源于教材、高于教材”，設(shè)題堅(jiān)持通性通法，解答往往一題多解，既可以利用代數(shù)方法，又可以借助幾何方法.因此，教師既要領(lǐng)悟教材的編寫意圖和設(shè)計(jì)導(dǎo)向，又要聚焦自己所在區(qū)域數(shù)學(xué)命題現(xiàn)狀，厘清教材經(jīng)典例題、習(xí)題與中考試題的關(guān)聯(lián).為了落實(shí)新課標(biāo)及“雙減”政策，今后全國各省市的中考題將會(huì)深度挖掘教材例題、習(xí)題，因此一線教師要回歸教材，有針對(duì)性地訓(xùn)練，避免把教材打人“冷宮”而大量購買教輔資料盲目刷題，增加師生及學(xué)生家庭負(fù)擔(dān).

（2）培養(yǎng)求異思維視角

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)育人的重心在于培養(yǎng)人的思維，若思維得不到發(fā)展，核心素養(yǎng)則無從談起.上述習(xí)題通過一題多解、變式、延伸拓展等架構(gòu)了新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，探索圖形構(gòu)造，在解題過程中讓學(xué)生“知其然，還知其所以然”，進(jìn)而形成自己的思維經(jīng)驗(yàn)與思維方法，培養(yǎng)求異思維.“教師要利用實(shí)例對(duì)教材中反映出的數(shù)學(xué)方法加以滲透、解釋和總結(jié)歸納，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.”因此，教師要善于借助微實(shí)踐活動(dòng)或GeoGebra數(shù)學(xué)軟件，把教材例題中能培養(yǎng)求異思維的數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)案例、數(shù)學(xué)美等充分挖掘出來展示給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，引導(dǎo)學(xué)生從不同角視角切人，通過一題多解教學(xué)培養(yǎng)求異思維.

（3）中考備考視角

“后建構(gòu)課堂”指的是在新認(rèn)知情景中重組或再構(gòu)學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)，局部深人，以達(dá)到重建新的更為完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的課堂教學(xué).在中考備考階段，教材例題、習(xí)題教學(xué)需要打亂原有順序重新建構(gòu)，這種教學(xué)方式利用“后建構(gòu)課堂”來實(shí)施是不二選擇，比如上述習(xí)題就是通過模型、幾何變換等將三角形、四邊形、圓、函數(shù)有機(jī)串聯(lián)在一起，把知識(shí)點(diǎn)串成線、織成網(wǎng)，通過重新建構(gòu)知識(shí)體系找到“蘑菇圈”教師在中考備考時(shí)要把教材例題、習(xí)題的價(jià)值充分挖掘出來，實(shí)現(xiàn)一題牽百題，一題多解，多題一解，融合“四基”\"四能”發(fā)展核心素養(yǎng).