思維是學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解數(shù)學(xué)的原動(dòng)力與基本工具。教師在教學(xué)中將知識(shí)的傳授與思維能力的培養(yǎng)有機(jī)融合在一起，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要舉措。協(xié)變思維屬于數(shù)學(xué)思維中的一種，對(duì)提升學(xué)生的認(rèn)知能力和解題能力具有重要意義。

一、協(xié)變思維的概述

協(xié)變思維也稱協(xié)同變化思維，屬于眾多數(shù)學(xué)思維的一種，指將情境中兩個(gè)有一定關(guān)系的量放在一起進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化的一種思維[1。教師可以從三個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)協(xié)變思維：① 協(xié)變思維屬于認(rèn)知活動(dòng)的一類；② 涉及協(xié)變思維的量屬于同一情境中有一定關(guān)系的變量； ③ 從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，協(xié)變思維屬于函數(shù)思維。

二、學(xué)生的協(xié)變思維現(xiàn)狀分析

問(wèn)題1：小明與小慧共有16顆巧克力，小慧吃掉2顆后，兩人擁有的巧克力數(shù)量一樣多。求兩人原來(lái)各有幾顆巧克力。

問(wèn)題2：小明與小慧共有16顆巧克力，小慧給了小明2顆巧克力后，兩人擁有的巧克力數(shù)量一樣多。求兩人原來(lái)各有幾顆巧克力。

為了充分了解學(xué)生的協(xié)變思維情況，筆者分別讓三年級(jí)與四年級(jí)的學(xué)生來(lái)解決這兩個(gè)問(wèn)題。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，關(guān)于問(wèn)題1，三年級(jí)、四年級(jí)的學(xué)生錯(cuò)誤率分別為 8% 與 2% ；關(guān)于問(wèn)題2，三年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生的錯(cuò)誤率分別為 83% 與 61% 。顯然，問(wèn)題2的錯(cuò)誤率遠(yuǎn)高于問(wèn)題1，低年級(jí)的學(xué)生錯(cuò)誤率高于高年級(jí)學(xué)生。出現(xiàn)這種情況的主要原因在于問(wèn)題2的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，具有變化性，學(xué)生無(wú)法像問(wèn)題1一樣快速理解；隨著認(rèn)知的發(fā)展，學(xué)生的協(xié)變思維越來(lái)越強(qiáng)。實(shí)踐證明，大部分學(xué)生習(xí)慣用直覺(jué)思維分析問(wèn)題，缺乏良好的協(xié)變思維能力。

三、剖析學(xué)生協(xié)變思維能力不足的原因

1.對(duì)于量的認(rèn)識(shí)不足小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及連續(xù)與分散兩類量，連續(xù)量包含了面積、質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間等，分散量有人數(shù)、物品數(shù)量等。解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生因?yàn)閷?duì)一些量的理解不充分，出現(xiàn)思維混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

比如，從教學(xué)樓的一樓跑到五樓，小紅需要花費(fèi)1分鐘的時(shí)間。按照這樣的速度，她從一樓跑到十樓需要花費(fèi)多少時(shí)間？此問(wèn)中的“一樓到十樓\"并非為具有離散意義的物品的數(shù)量，而是具有連續(xù)意義的量—長(zhǎng)度。簡(jiǎn)而言之，一樓到五樓表示四個(gè)單位長(zhǎng)度，一樓到十樓表示九個(gè)單位長(zhǎng)度。學(xué)生基于協(xié)變思維的視角認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，問(wèn)題則迎刃而解。

這個(gè)問(wèn)題學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤率很高，主要原因就在于協(xié)變思維能力不足，對(duì)事物的量沒(méi)有形成客觀、科學(xué)的認(rèn)識(shí)。想要解決這個(gè)問(wèn)題，教師要在日常教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)事物的量的分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從整體視域來(lái)觀察事物。

2.缺乏協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)換能力

有些學(xué)生雖然能明確量的性質(zhì)，但在解決問(wèn)題過(guò)程中缺乏良好的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)換能力，導(dǎo)致出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。

如圖1所示，分別用4、7、10根小棒可擺放出1、2、3個(gè)正方形。如果想按照同樣的方法擺放出100個(gè)正方形，要用多少根小棒呢？此問(wèn)中正方形的個(gè)數(shù)與小棒的數(shù)量為兩個(gè)關(guān)聯(lián)的變量。正方形數(shù)量的3倍加1為所需小棒的數(shù)量；反之，小棒數(shù)量減1，再乘以 為正方形的個(gè)數(shù)。

然而，不少學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，難以靈活轉(zhuǎn)化這兩個(gè)變量，出現(xiàn)各種錯(cuò)解。想要改變這一現(xiàn)象，最好的方法就是增強(qiáng)對(duì)學(xué)生協(xié)變思維的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從題干條件中提取有關(guān)聯(lián)的變量，并明晰變量間的關(guān)系，獲得從正反不同維度轉(zhuǎn)換的能力。

3.不善于利用比例關(guān)系

問(wèn)題中的比例關(guān)系反映了特殊的協(xié)變思維。然而，部分學(xué)生對(duì)正反比例關(guān)系的理解與認(rèn)識(shí)存在障礙，難以準(zhǔn)確應(yīng)用比例關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題。比如工程隊(duì)準(zhǔn)備修建一條1200米的柏油路，前3天完成了總長(zhǎng)度的1/3，（2如果以同樣的進(jìn)度繼續(xù)工作，還要用幾天的時(shí)間可以完成整個(gè)修建工程？

本題難度系數(shù)并不大，擁有一定協(xié)變思維的學(xué)生都能根據(jù)已完工與未完工路程的比例1：2，得出剩下的路還需要花費(fèi)6天的結(jié)論，這種解題方法快捷、方便。然而，缺乏協(xié)變思維的學(xué)生會(huì)分別求出平均每天修建路程長(zhǎng)度以及剩下路程的長(zhǎng)度，通過(guò)除法獲得剩下路程需要花費(fèi)的天數(shù)。這種解法雖然能獲得結(jié)論，卻復(fù)雜許多。協(xié)變思維的介入，可簡(jiǎn)化問(wèn)題難度，讓學(xué)生快速得出問(wèn)題的結(jié)論。

四、應(yīng)對(duì)措施

1.教學(xué)分析

筆者以“平行四邊形的面積\"教學(xué)為例，從學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平出發(fā)，開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐與分析，以培育學(xué)生的數(shù)學(xué)協(xié)變思維。

問(wèn)題：已知一個(gè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)為7厘米，底邊上的高為4厘米，另一條邊的長(zhǎng)度為5厘米，求該平行四邊形的面積。

本題是在認(rèn)識(shí)平行四邊形之后，初次讓學(xué)生自主計(jì)算面積的一個(gè)問(wèn)題，從學(xué)生的解題結(jié)果來(lái)看，不少學(xué)生直接應(yīng)用“鄰邊相乘\"的方法進(jìn)行解題。顯然，學(xué)生對(duì)平行四邊形中量與量之間關(guān)系的理解還不夠準(zhǔn)確。

教學(xué)時(shí)，大部分教師基于轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探索，尤其關(guān)注不同剪拼法的應(yīng)用與分析。實(shí)際上，沿著不同的高對(duì)平行四邊形進(jìn)行剪拼，并非本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)，原因在于學(xué)生在“認(rèn)識(shí)圖形”環(huán)節(jié)曾多次接觸過(guò)這一類操作，大部分學(xué)生都能理解。因此，以剪拼法探索面積公式的難度較小。

那么，此環(huán)節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)究竟在哪里呢？從封閉圖形來(lái)分析，面積與周長(zhǎng)為這一類圖形的兩個(gè)量，且封閉圖形的面積與周長(zhǎng)之間還存在雙量協(xié)變的關(guān)系，不論面積還是周長(zhǎng)均與圖形的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)聯(lián)。教師只要引導(dǎo)學(xué)生真正理解了這些關(guān)聯(lián)的規(guī)律，就能發(fā)展學(xué)生的協(xié)變思維。

基于以上分析，本節(jié)課筆者緊扣問(wèn)題提供的數(shù)據(jù)開(kāi)展研究，通過(guò)問(wèn)題發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生明晰如何計(jì)算平行四邊形的面積。當(dāng)然，本節(jié)課教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索面積與周長(zhǎng)的協(xié)變關(guān)系，揭示周長(zhǎng)相同的圖形，面積并不一定相同；周長(zhǎng)越大的圖形，面積不一定越大等。為了深化學(xué)生的理解，教師可以從“關(guān)聯(lián)量的變與不變\"的角度開(kāi)展教學(xué)。

2.教學(xué)過(guò)程安排

（1）公式推導(dǎo)

教師可以從三次變化著手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行平行四邊形的公式推導(dǎo)。

第一次：將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的長(zhǎng)方形，但面積不發(fā)生變化。

如圖2所示，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“割補(bǔ)法\"進(jìn)行操作，讓學(xué)生感知割補(bǔ)過(guò)程與要點(diǎn)，從而深刻領(lǐng)悟：將圖形進(jìn)行割補(bǔ)，面積不會(huì)發(fā)生變化，但周長(zhǎng)與圖形形狀會(huì)發(fā)生顯著變化。

第二次：如圖3所示，通過(guò)對(duì)圖中1號(hào)圖形的拉動(dòng)，將長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，具體分成兩個(gè)步驟。

第一步，通過(guò)拉動(dòng)，使得平行四邊形的高為 4cm 。教師要鼓勵(lì)學(xué)生自主操作，并說(shuō)明在此過(guò)程中哪些量發(fā)生了改變，哪些量沒(méi)有發(fā)生變化。

有的學(xué)生認(rèn)為圖形經(jīng)過(guò)拉動(dòng)，各條邊的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，因此變化的只是圖形形狀，周長(zhǎng)與面積均未發(fā)生改變。教師未置可否，而是要求學(xué)生繼續(xù)操作。

第二步，繼續(xù)拉動(dòng)圖形，使平行四邊形的高逐漸變?yōu)?$3＼mathrm{cm}＼ 、2＼mathrm{cm}$ lcm，要求學(xué)生說(shuō)明在拉動(dòng)過(guò)程中哪些量發(fā)生了改變，哪些量沒(méi)有發(fā)生變化。

隨著高的逐漸減小，學(xué)生逐漸意識(shí)到雖然各邊的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，但圖形的面積越來(lái)越小，其周長(zhǎng)始終沒(méi)有改變。由此，學(xué)生猜想到平行四邊形的面積與其高有直接關(guān)系。值得注意的是，這里存在兩個(gè)容易混淆的量，即底邊的高和相鄰的邊。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主操作并觀察，通過(guò)比較與分析后發(fā)現(xiàn)：底邊的鄰邊始終沒(méi)有發(fā)生改變，但底邊上的高逐漸變小。由此學(xué)生初步確定平行四邊形的面積由平行四邊形的底邊與底邊上的高決定，與底邊的鄰邊沒(méi)有關(guān)系。這一認(rèn)識(shí)，為學(xué)生接下來(lái)推導(dǎo)面積公式夯實(shí)了基礎(chǔ)。

第三次：將平行四邊形轉(zhuǎn)化為與之面積一樣大的長(zhǎng)方形，即將圖4中的2號(hào)圖形轉(zhuǎn)化成3號(hào)圖形，鼓勵(lì)學(xué)生自主分析用哪種方法進(jìn)行操作。

在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生分別從割補(bǔ)法與拉動(dòng)法兩個(gè)維度進(jìn)行合作交流后發(fā)現(xiàn)：應(yīng)用割補(bǔ)法，圖形的形狀發(fā)生了改變，周長(zhǎng)與一些邊的長(zhǎng)度也變了，但面積不會(huì)發(fā)生改變；應(yīng)用拉動(dòng)法，圖形各條邊的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生改變，周長(zhǎng)也不會(huì)發(fā)生變化，但圖形的面積發(fā)生了變化。由此確定，割補(bǔ)法可實(shí)現(xiàn)等面積轉(zhuǎn)化，拉動(dòng)法無(wú)法滿足要求。由此，平行四邊形的面積公式浮出水面。

設(shè)計(jì)意圖：不一樣的轉(zhuǎn)化過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)“等積變化\"與“等長(zhǎng)變形”

產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)。如此設(shè)計(jì)，除了為“等積變形推導(dǎo)平行四邊形的面積公式\"作鋪墊，還讓學(xué)生通過(guò)操作與思考自主規(guī)避“底邊 × 鄰邊\"這一錯(cuò)誤方法，由此形成良好的協(xié)變思維。學(xué)生自主意識(shí)到平行四邊形的面積不可用“底邊 × 鄰邊”，將注意力轉(zhuǎn)移到“等積變形\"中來(lái)，即關(guān)注平行四邊形的底邊與高這兩個(gè)量之間的聯(lián)系，順利完成面積公式的推導(dǎo)。顯然，這三個(gè)層次清晰的變化過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)邊與邊、邊與高、邊與周長(zhǎng)、高與面積之間的關(guān)系產(chǎn)生了明確的認(rèn)識(shí)，有效促進(jìn)了學(xué)生的協(xié)變思維的發(fā)展。

（2）鞏固練習(xí)

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師可以從兩次變化著手開(kāi)展探索。

第一次：如圖5所示，借助橡皮筋、釘子板等工具，分別圍成與圖4中2號(hào)圖形等底等高卻不同形狀的平行四邊形，學(xué)生通過(guò)對(duì)這些圖形面積的計(jì)算，分析有哪些量發(fā)生了改變，有哪些量恒定不變。

學(xué)生通過(guò)交流發(fā)現(xiàn)：雖然圍成的圖形形狀發(fā)生了變化，有些邊長(zhǎng)發(fā)生了變化，但根據(jù)面積公式計(jì)算出來(lái)的圖形面積恒定不變，并發(fā)現(xiàn)底邊的鄰邊邊長(zhǎng)越大，該邊與底邊形成的夾角就越小。只要保持底邊與高不變，那么不論圖形形狀怎樣變化，面積均不會(huì)發(fā)生改變。由此，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)平行四邊形底邊與高關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

第二次：教師引導(dǎo)學(xué)生自主計(jì)算圖6中平行四邊形的面積之后，要求學(xué)生思考問(wèn)題。

問(wèn)題1：為什么大家都用 12×15 而不是用 18×15 來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積呢？

問(wèn)題2：如果將長(zhǎng)為18的這條邊作為平行四邊形的底，與之相對(duì)應(yīng)的高是多少？

問(wèn)題3：與圖6中圖形面積一樣的其他平行四邊形的底、高分別是多少？如果明確底邊分別為30或20，高呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探索，讓學(xué)生進(jìn)一步夯實(shí)對(duì)平行四邊形面積公式本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)平行四邊形底與高的關(guān)系有深刻理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)協(xié)變思維。

總之，數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)力、工具和武器，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)協(xié)變思維的培育是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)[2]。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生厘清問(wèn)題條件中不同量之間協(xié)調(diào)變化關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的維度來(lái)觀察與剖析各個(gè)量之間的關(guān)系，此為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)協(xié)變思維的關(guān)鍵措施。

參考文獻(xiàn)：

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[2]嚴(yán)兵.協(xié)變思維能力缺失的原因分析與教學(xué)應(yīng)對(duì)：以“平行四邊形的面積\"教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（12）：20-22.