數(shù)學(xué)思維既是學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的工具，又是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的武器。核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生思維能力放在首要位置。實(shí)踐證明，重視學(xué)生思維發(fā)展的課堂，可促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)客觀知識與主觀意識間的平衡，從而讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。教師應(yīng)基于學(xué)生思維發(fā)展的視角設(shè)計(jì)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生在活動中發(fā)展思維和提升學(xué)力。筆者以“圓的面積\"為例，探討如何基于學(xué)生的思維發(fā)展設(shè)計(jì)教學(xué)過程。

一、教學(xué)簡錄

1.情境創(chuàng)設(shè)，揭示研究主題

教師借助多媒體播放一只羊的活動視頻。畫面中，一只被拴著的羊，轉(zhuǎn)了一圈又一圈。

師：請用數(shù)學(xué)的眼光分析，由這段視頻想到了什么？

大部分學(xué)生想到了圓，以拴羊的木樁為圓心，繩子就是該圓的半徑；有的學(xué)生從羊轉(zhuǎn)了一圈又一圈想到了圓的周長。

師：關(guān)于圓的周長計(jì)算，大家都不陌生。該圓的面積是什么呢？

生1：該圓的面積就是羊的活動范圍。

師：很好！如果想讓這只羊吃到更多的草，就需要擴(kuò)大它的活動范圍，該怎么處理呢？

生2：只要將繩子放長一點(diǎn)就行。

師生活動：教師用多媒體展示繩子加長后的畫面，讓學(xué)生對比前后兩次所形成的圓，比較面積發(fā)生的改變。顯然，繩子加長后，圓的面積增大了。由此獲得結(jié)論：圓的面積和圓的半徑有直接關(guān)聯(lián)。

設(shè)計(jì)意圖：多媒體是現(xiàn)代教學(xué)中重要的輔助工具。教師借助多媒體展示學(xué)生感興趣的羊吃草視頻，不但成功揭示了教學(xué)主題，而且有效激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生初步感知：圓的半徑直接影響圓的面積。圓的半徑和面積之間，究竟存在怎樣的關(guān)系呢？這是本節(jié)課要著重探索的問題。這是一個(gè)目標(biāo)明確、條理清晰的導(dǎo)入過程，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）對當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。

2.活動探索，厘清知識聯(lián)系

如圖1，為了讓研究更加直觀，教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板進(jìn)行演示：以正方形的某個(gè)頂點(diǎn)為圓心、一條邊為半徑畫圓，并鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想：畫出來的圓的面積與正方形面積是什么關(guān)系？

生3：圓的面積應(yīng)該比正方形面積的4倍少一些。

師：能說說這么想的原因嗎？

生4：觀察圖1，如果將該圓平均分成4份，那么每1份的面積都小于正方形的面積，因此圓的面積必然小于正方形面積的4倍。

師：非常好，如果我們想要明白圓的面積比正方形面積的4倍少多少？該怎么辦呢？

生5：可以先分別求出兩者的面積，然后運(yùn)算即可。如圖2，若正方形的邊長為4，那么圓的半徑就是4，正方形的面積為 4×4=16 ，圓的面積只能通過數(shù)小格子的方式獲得，但圓所對應(yīng)的小格子存在不滿格的情況，只能獲得大概數(shù)據(jù)。

學(xué)生在估算的基礎(chǔ)上，數(shù)出圖2中 個(gè)圓的面積約為13，那么整個(gè)圓的面積約為52。將圓的面積與正方形面積進(jìn)行對比，計(jì)算可得圓的面積約為正方形面積的3.25倍，由此驗(yàn)證了之前的猜想，即圓的面積比正方形面積的4倍少一點(diǎn)。

師：如果換一個(gè)圓來研究，這樣的關(guān)系依然存在嗎？請各組按照以上的探索過程，在草稿紙上畫圖、分析和驗(yàn)證。

學(xué)生在自主畫圖與計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，展示探索結(jié)論

組1：如果正方形的邊長為5，那么它的面積就是25，通過數(shù)方格的方法可知圓的面積約為78，計(jì)算發(fā)現(xiàn)圓的面積約為正方形面積的3.12倍。

組2：如果正方形的邊長為6，那么它的面積就是36，通過數(shù)方格的方式可知圓的面積約為114，計(jì)算發(fā)現(xiàn)圓的面積約為正方形面積的3.17倍。

...

各組分享交流后，一致認(rèn)為：在圓的半徑與正方形邊長相等的背景下，圓的面積為正方形面積的3倍多一點(diǎn)。

師：從以上探索過程中不難發(fā)現(xiàn)，圓的面積與正方形面積的關(guān)系，實(shí)則為圓的面積與其半徑平方之間的關(guān)系。雖然各組所獲得的比值不一樣，但它們的區(qū)間基本是固定的，這與之前我們所接觸過的一個(gè)什么知識接近？

生6：圓周率，理由是剛剛所探索的結(jié)論都在3.14附近搖擺。

師：據(jù)此，可初步形成什么猜想？

生7：圓的面積可能是 π 與半徑的平方相乘。

設(shè)計(jì)意圖：新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，課堂上教師要引導(dǎo)學(xué)生多嘗試，多創(chuàng)造活動，促使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成良好的合情推理能力。在教師恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥下，學(xué)生自主猜想圓的面積公式，取得了較好的成效。

3.操作轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)計(jì)算公式

師：以上互動，大家初步形成了一個(gè)比較有意思的猜想，即圓的面積可能是 π 與半徑的平方相乘。這個(gè)猜想是否正確呢？可否繼續(xù)以數(shù)方格的方式驗(yàn)證？

生8：數(shù)方格的方式驗(yàn)證，誤差比較大，應(yīng)該考慮用其他方式驗(yàn)證。

師：可以用其他什么方式驗(yàn)證呢？

生9：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，研究未知圖形面積時(shí)，可以考慮將它轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來研究。

師：哦？圓能轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？

生10：（猶豫片刻后提出）用“剪拼\"法試一試：將圓對半剪開后，無法拼成熟悉的圖形；繼續(xù)將圓剪成4份，拼成的圖形見圖3，雖然形成的圖形有點(diǎn)像平行四邊形，但邊為曲線，顯然不是平行四邊形。

師：現(xiàn)在該怎么辦呢？

生11：如圖4所示，繼續(xù)剪，將圓平均分成8份，拼接而來的圖形比圖3更像平行四邊形。如果繼續(xù)剪拼，就會越來越接近平行四邊形。

師：不錯(cuò)的想法，現(xiàn)在請大家一起動手操作，驗(yàn)證這種方式行不行。

操作過程：各學(xué)習(xí)小組取出課前準(zhǔn)備好的圓形紙片，平均剪成16份，再拼接；與圖3、圖4進(jìn)行比較，說說新的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生自主操作，教師投影學(xué)生的作品（見圖5）。

師：觀察圖5，有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生12：拼接而來的圖形，與原來剪成的8份比，更像平行四邊形。將圓平均分的份數(shù)越多，所形成的扇形面積就越小，那么圓心角所對每1份的弧線也就越直，如此拼出的圖形就更接近平行四邊形。

師：將以上幾次拼圖過程聯(lián)系在一起思考，會發(fā)現(xiàn)圓的平均分的份數(shù)越多，拼接而成的圖形就越接近平行四邊形。咱們一起來看幾何畫板的演示，如圖6所示，如果將一個(gè)圓平均分為32份、64份拼接后的圖形所發(fā)生的變化。

學(xué)生表示平均剪的份數(shù)越多，拼接而成的圖形就越像長方形，由此基本能確定可以將圓轉(zhuǎn)化為長方形。轉(zhuǎn)化而來的長方形，寬為圓的半徑，長為半圓的周長，結(jié)合長方形面積公式可知，圓的面積為圓周長的 半徑；若半徑用 r 表示，圓的周長為 2π r ，由此可知拼接而成的長方形面積就是 ，圓的面積公式由此形成。

師：觀察所獲得的圓面積公式 ，可見圓的面積與半徑的平方存在怎樣的聯(lián)系？

生13：結(jié)合以上探索，可知圓的面積為本身半徑平方的 π 倍，這說明之前的猜想是正確的。

設(shè)計(jì)意圖：教師借助操作活動，喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，將待研究的圓的面積問題轉(zhuǎn)化成熟悉的長方形面積。雖然學(xué)生已經(jīng)具備了初步的轉(zhuǎn)化思想，但是圓本身屬于曲線，想要化曲為直，對于學(xué)生而言確實(shí)有一定的難度。為此，教師在學(xué)生的思維生長處及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥、啟發(fā)，并鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上探索與交流，能夠有效提高學(xué)習(xí)效率。

在此過程中，教師沒有為學(xué)生提供自主探索的機(jī)會，而是讓學(xué)生直接拼接平均分成16份的圓，這樣學(xué)生雖然能感知將圓轉(zhuǎn)化成長方形的過程，但是整個(gè)過程的思維跨度過大，學(xué)生難以從真正意義上理解“為什么要這么拼接”。由此可見，教師要充分尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的思維進(jìn)行教學(xué)，雖然在教學(xué)進(jìn)程上看似“慢一些”，但是能讓學(xué)生從真正意義上達(dá)到深刻理解的目的。

二、幾點(diǎn)思考

1.如何貫徹\"以生為本\"的理念

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂中的主體地位，教師組織的教學(xué)活動都應(yīng)基于“以生為本\"的理念來實(shí)施。鑒于學(xué)生才是課堂真正的主人，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)要將學(xué)生的自主探索、合作交流等放在首位，將發(fā)展學(xué)生的思維能力作為教學(xué)的重要目標(biāo)。

“以生為本\"的理念是指教師要尊重學(xué)生的主體地位，尊重學(xué)生的個(gè)性差異，把充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)“以生為本\"的理念，教師要做到“五個(gè)堅(jiān)持”：一是堅(jiān)持把發(fā)現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué)生，激活學(xué)生的問題意識，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，變關(guān)注學(xué)生回答問題為關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題；二是堅(jiān)持把思考的時(shí)間留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中做到思考、思考、再思考，讓學(xué)生有充足的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，使學(xué)生的思考能力不斷提高；三是堅(jiān)持把動手的過程放給學(xué)生，學(xué)生的事盡量讓學(xué)生做；四是堅(jiān)持把學(xué)習(xí)的空間還給學(xué)生，學(xué)生有了充裕的自主學(xué)習(xí)空間，就能把自己想說的說出來，把自己想寫的寫出來，把自己想做的做出來；五是堅(jiān)持把評價(jià)的權(quán)利交給學(xué)生，讓學(xué)生自我評價(jià)，讓學(xué)生互相評價(jià)，這樣才能不斷改進(jìn)教學(xué)的方式方法，使數(shù)學(xué)教學(xué)按照一定的方向有序進(jìn)行。

本節(jié)課，從情境創(chuàng)設(shè)到活動探索，從活動探索再到操作轉(zhuǎn)化，每一個(gè)環(huán)節(jié)都將學(xué)生放于核心位置。在教學(xué)中，教師緊緊圍繞\"以生為本\"的理念，讓學(xué)生自主思考，充分尊重學(xué)生，讓不同認(rèn)知水平層次的學(xué)生都能在體驗(yàn)“圓 → 長方形\"的轉(zhuǎn)化過程中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

2.如何逐層遞進(jìn)促進(jìn)思維發(fā)展

思維是“世間最美麗的花朵”，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識的集中反映。數(shù)學(xué)思維既牽涉到思維活動的深度，又牽涉到思維活動的廣度，還牽涉到思維活動的難度。對此，教師要逐層遞進(jìn)地開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，以發(fā)展學(xué)生思維。

教師要逐層遞進(jìn)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，通常應(yīng)做到“四個(gè)利用”：一是利用數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)概念既有豐富的內(nèi)涵，又有廣泛的外延，可以層層推進(jìn)訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性，可以由表及里訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性；二是利用數(shù)學(xué)題組，用低起點(diǎn)、小步子、快反饋的數(shù)學(xué)題組訓(xùn)練學(xué)生，保護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，由易到難、由淺入深、由簡到繁地發(fā)展學(xué)生的思維；三是利用數(shù)學(xué)化歸，讓學(xué)生換角度觀察、換語言敘述、換方式思考和換策略解題，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展；四是利用數(shù)學(xué)變式，讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行靈活遷移。

學(xué)生思維的發(fā)展無法一蹴而就，對小學(xué)生而言，教師只有引導(dǎo)他們逐層遞進(jìn)地認(rèn)識新知、理解新知，才能有效促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，進(jìn)而有效促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用意識的發(fā)展。因此，教師在執(zhí)教時(shí)要順應(yīng)學(xué)生的思維，從低起點(diǎn)的情境出發(fā)，以滿足每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知需求；然后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探索，逐漸深化學(xué)生對所學(xué)新知的認(rèn)識，讓學(xué)生的思維沿著用一個(gè)個(gè)問題鋪設(shè)的臺階拾級而上。

教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，借助一個(gè)個(gè)小問題啟發(fā)學(xué)生的思維，既能引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建新知，還能讓學(xué)生在思維的發(fā)展中逐漸靈活應(yīng)用新知，形成良好的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識。

3.如何加強(qiáng)知識關(guān)聯(lián)深化理解

知識關(guān)聯(lián)是指教師引導(dǎo)學(xué)生將不同的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來，形成有機(jī)的知識體系，以便更好地理解數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。

加強(qiáng)知識關(guān)聯(lián)，教師要做到“五個(gè)借助”：一是借助教學(xué)的設(shè)計(jì)，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師要考慮各知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，盡可能把相關(guān)的知識點(diǎn)進(jìn)行整合，形成知識體系；二是借助跨學(xué)科教學(xué)，教師要通過跨學(xué)科教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生理解不同學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的綜合應(yīng)用；三是借助項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，教師要采取項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生整合不同學(xué)科的知識解決實(shí)際問題；四是借助綜合性評價(jià)，教師要通過綜合性評價(jià)，讓學(xué)生用不同學(xué)科的知識解決實(shí)際問題，從而對不同學(xué)科的關(guān)聯(lián)性有更好的理解；五是借助教師協(xié)作，教師要合作探索不同學(xué)科之間的知識關(guān)聯(lián)、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)和跨學(xué)科教學(xué)，從而更好地探索數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)，更好地探索數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)化的學(xué)科。加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，一方面能深化學(xué)生對知識的理解，完善知識體系；另一方面能增強(qiáng)學(xué)生的綜合應(yīng)用意識，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總之，教師要基于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力開展教學(xué)，聚焦于知識本質(zhì)，加強(qiáng)知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在操作、觀察、猜想與驗(yàn)證中不斷豐富思維經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展思維品質(zhì)，讓學(xué)生形成終身可持續(xù)發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力。