［摘" 要］ 單元起始課具有統(tǒng)領(lǐng)整個章節(jié)的作用，其教學(xué)可讓學(xué)生對單元學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生大致了解，便于構(gòu)建知識體系，具有開山引路之功效. 研究者以“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的起始課教學(xué)為例，以核心概念的界定為起點(diǎn)，基于“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的發(fā)展歷程去分析與思考，從“創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課”“實(shí)踐探索，形成猜想”“推導(dǎo)求證，完善認(rèn)知”三個環(huán)節(jié)展開研究，以及從知識的再現(xiàn)、復(fù)制與順應(yīng)三個維度展開思考.

［關(guān)鍵詞］ HPM；起始課；歷史

對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，起始課承載著激趣、啟思、勾連新舊知識等重要作用. 從HPM的視角出發(fā)設(shè)計(jì)單元起始課教學(xué)，有助于學(xué)生從宏觀角度理解新單元的內(nèi)容，使他們能夠從知識的形成和演變歷程中深入體會“為何學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”“學(xué)如何”等，從而為培養(yǎng)核心素養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 筆者以“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的單元起始課教學(xué)為例，從以下幾個方面進(jìn)行了研究.

核心概念的界定

單元起始課是基礎(chǔ)課型之一，扮演著先行組織者的角色. 盡管如此，部分教師認(rèn)為單元起始課的內(nèi)容較為淺顯，并且在高考試題中鮮少涉及，因此往往忽視了這部分的教學(xué). 這導(dǎo)致學(xué)生在知識基礎(chǔ)上不夠扎實(shí)，面對實(shí)際應(yīng)用時(shí)顯得束手無策. HPM是History and Pedagogy of Mathematics的簡稱，指數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育［1］. 自該理念問世以來，關(guān)于HPM的研究方興未艾. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，將HPM理念應(yīng)用到單元起始課的教學(xué)中，一方面能有效激發(fā)學(xué)生的探索熱情，提升學(xué)生的探究能力；另一方面可以引導(dǎo)學(xué)生深入探究知識的根源，真正領(lǐng)悟知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，為將來的靈活應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

歷史的啟迪

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

情境1 “一尺之棰，日取其半，萬世不竭”為《莊子·天下篇》中的一句話.

情境2 講述一段關(guān)于在國際象棋棋盤上放置麥粒的歷史小故事.

情境3 呈現(xiàn)萊因德紙草書中的數(shù)學(xué)難題：7屋內(nèi)分別有7只貓，每只貓吃7只老鼠，每只老鼠吃7個麥穗，每個麥穗含7個容積單位的麥粒，求房屋、貓、老鼠、麥穗以及麥粒容積總數(shù).

要求學(xué)生閱讀上述三個情境，并逐一進(jìn)行分析. 以情境3為例，學(xué)生需思考情境中提及的數(shù)量關(guān)系，明確題目中出現(xiàn)了7，72，73，74，75這幾個數(shù)，它們的和為19607. 基于此，再要求學(xué)生思考：如果增加項(xiàng)數(shù)，該怎樣求和呢？

設(shè)計(jì)意圖 以三個數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典問題作為教學(xué)情境，不僅能夠滲透數(shù)學(xué)文化，還能激發(fā)學(xué)生的思維活力，讓學(xué)生對等比數(shù)列的求和知識產(chǎn)生更深厚的情感，從而積極主動地投入到新知的探索之中，為構(gòu)建完整的單元知識體系打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 眾所周知，恰當(dāng)?shù)那榫吃O(shè)置能夠?yàn)檎n堂營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，提高學(xué)生的課堂參與度. 此環(huán)節(jié)的三個情境設(shè)置，正為課堂營造了充滿文化氣息的教學(xué)環(huán)境，使每個學(xué)生在充滿文化底蘊(yùn)的氛圍中邁進(jìn)課堂，對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生積極的情感傾向.

2. 實(shí)踐探索，形成猜想

設(shè)計(jì)意圖 猜想是創(chuàng)新的起點(diǎn)，通過探究活動激發(fā)學(xué)生猜想，對于培養(yǎng)創(chuàng)新意識具有至關(guān)重要的作用. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生逐漸拓展思維，形成初步猜想. 至于這些猜想所導(dǎo)出的結(jié)論是否準(zhǔn)確，仍需經(jīng)過嚴(yán)格的驗(yàn)證過程.

3. 推導(dǎo)求證，完善認(rèn)知

課堂數(shù)學(xué)史應(yīng)用分析

1. 知識的再現(xiàn)

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律以及知識的發(fā)展歷程，設(shè)計(jì)逐步深入的問題，能夠有效提升學(xué)生的思維層次，激發(fā)他們的潛能，引導(dǎo)他們自然而然地投身于知識的探究之旅. 弗賴登塔爾認(rèn)為，最好的教學(xué)方法就是讓學(xué)生“再創(chuàng)造”知識. 在本節(jié)課中，教師運(yùn)用類比、歸納等方法，以“首項(xiàng)為1，公比為2”的等比數(shù)列作為教學(xué)的切入點(diǎn)，逐步擴(kuò)展至“首項(xiàng)為1，公比分別為3，4，…，n”的等比數(shù)列. 此為典型的從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究過程. 只要學(xué)生能夠在課堂上與教師的教學(xué)節(jié)奏同步，他們就能深刻體驗(yàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的發(fā)展脈絡(luò)，從而形成理解性記憶，為將來的靈活運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 知識的復(fù)制

古巴比倫泥板、萊因德紙草書等歷史文獻(xiàn)的展示，彰顯了知識復(fù)制的純粹性. 課堂探究環(huán)節(jié)提及的因式提取法、掐頭去尾法以及錯位相減法等，均為歷史上關(guān)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和的研究突破. 將這些知識原汁原味地引入課堂，能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并為實(shí)際應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). 因此，知識的復(fù)制在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有獨(dú)特的優(yōu)勢. 盡管跨越了漫長的歲月，但將這些知識復(fù)制到課堂中，能夠激發(fā)學(xué)生的探索欲望，使每個學(xué)生都積極主動地投入到新知識的研究中，從而體驗(yàn)歷史的發(fā)展和時(shí)代的進(jìn)步.

3. 知識的順應(yīng)

總之，數(shù)學(xué)發(fā)展離不開歷史沉淀，等比數(shù)列求和公式的研究，彰顯了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、猜想和證明過程的重要性. 公式在歷史的畫卷中悄然形成，凸顯了“知識之諧”. 通過史料的復(fù)制與改編，提升了學(xué)生對公式的理解深度，課堂內(nèi)容變得更加生動有趣，這表明從HPM視角出發(fā)的單元起始課教學(xué)，在促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展方面具有顯著的價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 沈利芳，吳凱. HPM視角下數(shù)學(xué)史料在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用：以阿波羅尼斯圓為例［J］. 新課程評論，2021（4）：76-84.

［2］ 覃淋. 基于HPM視角的中職數(shù)學(xué)教材的編寫［J］. 湖北成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，28（2）：16-22.