摘要：新課標(biāo)將“課堂有效性”作為數(shù)學(xué)教學(xué)工作的主要方向，為教學(xué)創(chuàng)新提供了重要參考，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的改革發(fā)展.復(fù)數(shù)作為高中課程體系中的教學(xué)內(nèi)容，在數(shù)系擴(kuò)充理論發(fā)展和學(xué)生思維培養(yǎng)方面具有積極的影響，需要教師以實(shí)際教學(xué)情況為基礎(chǔ)進(jìn)行深入研究.

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；高中數(shù)學(xué)；復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的合理化應(yīng)用，對(duì)于解答數(shù)學(xué)問題、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維具有重要的影響.復(fù)數(shù)在運(yùn)算和幾何中都有廣泛應(yīng)用.因此，在整合高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師應(yīng)加強(qiáng)復(fù)數(shù)概念學(xué)習(xí)，通過引入相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生主動(dòng)探索復(fù)數(shù)的幾何意義；通過強(qiáng)化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用技能，使其逐步形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為，為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算奠定基礎(chǔ).在教學(xué)過程中，教師通過幫助學(xué)生解答復(fù)數(shù)疑慮，強(qiáng)化復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)技能，旨在幫助學(xué)生提高綜合性實(shí)踐能力，為發(fā)展數(shù)學(xué)思想奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

1“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1教材分析

“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”知識(shí)點(diǎn)是人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》第七章中7.1節(jié)“復(fù)數(shù)的概念”第1課時(shí)的知識(shí)，其教學(xué)內(nèi)容涵蓋復(fù)數(shù)的產(chǎn)生、數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的概念.教師在類比實(shí)數(shù)系擴(kuò)充的方法下，引入復(fù)數(shù)的概念、定義虛數(shù)的概念，這個(gè)過程能夠體現(xiàn)復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)必要性，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)科學(xué)思維.［1］在這一階段學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已掌握非負(fù)整數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集的概念知識(shí)以及運(yùn)算法則，為復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)做好知識(shí)鋪墊.同時(shí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)方程的概念、方程的解，以及通過一元二次方程求解進(jìn)行學(xué)習(xí)與應(yīng)用，為本章節(jié)知識(shí)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備工作.義務(wù)教育階段對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的介紹較為詳細(xì)，但學(xué)生只了解一部分知識(shí)，因此，在復(fù)數(shù)教學(xué)過程中，教師應(yīng)通過優(yōu)化教學(xué)路徑和創(chuàng)新教學(xué)方法，幫助學(xué)生建構(gòu)抽象思維.在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)過程中，以強(qiáng)化數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)科核心素養(yǎng)為目的.

1.2教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.2.1教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）探究數(shù)系逐步擴(kuò)充的發(fā)展歷程.

（2）深入理解與復(fù)數(shù)相關(guān)的基礎(chǔ)概念.

（3）熟練掌握復(fù)數(shù)的各種表示方式.

1.2.2教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)如下.

（1）重點(diǎn)在于了解數(shù)系擴(kuò)充的基本過程，以及復(fù)數(shù)核心概念.

（2）難點(diǎn)是接受并理解虛數(shù)單位的引入.

1.3教學(xué)過程

1.3.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問題1基于一元二次方程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，x2—10x＋40＝0是否有實(shí)數(shù)根？

分析：因?yàn)棣ぃ?，所以該方程沒有實(shí)數(shù)根.

問題2歷史上有位數(shù)學(xué)家曾表示該方程其實(shí)存在兩個(gè)根，大家能否猜測(cè)這兩個(gè)根是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過提出看似矛盾的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的好奇心，使學(xué)生脫離傳統(tǒng)框架束縛，探索新知領(lǐng)域，為后續(xù)教學(xué)活動(dòng)的順利實(shí)施提供保障.

問題3該方程的兩個(gè)根是x＝5±－15，與以往我們所學(xué)的實(shí)數(shù)根有哪些區(qū)別呢？

分析：經(jīng)過對(duì)比之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)根號(hào)下是負(fù)數(shù)，按照常規(guī)理解，根號(hào)下的負(fù)數(shù)是沒有意義的，這正是引入復(fù)數(shù)概念的好時(shí)機(jī).

師：當(dāng)意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（G.Cardano）面對(duì)這種類型的方程時(shí)，也遇到了類似的疑問，他沒有停止探索，而是采取了一元三次方程探究法對(duì)方程進(jìn)行解答，即x3＋px＋q＝0的一個(gè)求根公式，

對(duì)x3－7x＋6＝0進(jìn)行求解.

分析：求解過程中，存在負(fù)數(shù)需要開方的問題.

師：解得這個(gè)方程的三個(gè)根是1，2，－3，得出負(fù)數(shù)開方具有現(xiàn)實(shí)意義，像－15這樣的數(shù)存在研究價(jià)值.

師：卡爾達(dá)諾把5±－15叫作“虛構(gòu)的數(shù)”，即為a＋b－1.繼卡爾達(dá)諾后，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（R.Descartes）將其命名為“虛數(shù)”，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）用“i”表示－1.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過教學(xué)過程中的有效引導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想，利用實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充學(xué)習(xí)方法，類比出同樣的情境，得出數(shù)學(xué)系數(shù)的擴(kuò)充形式，由此幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思維.［2］

師：學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)，如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù).由復(fù)數(shù)組成的集合可以被稱為復(fù)數(shù)集，通常用z＝a＋bi表示，a為實(shí)部，b為虛部.

問題4怎樣計(jì)算復(fù)數(shù)中的i，需要運(yùn)用什么計(jì)算規(guī)律？

分析：學(xué)生能夠在教師引導(dǎo)下，觀察方程由于根是復(fù)數(shù)無法開平方，沒有實(shí)數(shù)解，則x2＋1＝0無實(shí)數(shù)解.又由于i＝－1，則方程x2＋1＝0有解x＝i，則x2＝－1.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過循序漸進(jìn)的教學(xué)過程，使學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)有更全面的認(rèn)知.根據(jù)歷史上數(shù)學(xué)家經(jīng)歷的問題，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究意識(shí)，使學(xué)生能夠在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)知識(shí)中存在的矛盾.在此背景下，幫助學(xué)生強(qiáng)化知識(shí)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)發(fā)散性思維，提高數(shù)學(xué)問題解答能力，與高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)保持一致性.基于對(duì)復(fù)數(shù)開平方的深入研究，了解i的計(jì)算方法，學(xué)習(xí)系數(shù)擴(kuò)充本質(zhì)，使學(xué)生在復(fù)數(shù)中虛數(shù)單位i不是憑空捏造的實(shí)際情況下感受數(shù)學(xué)內(nèi)涵，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知.［3］

問題5當(dāng)復(fù)數(shù)的形式為a＋bi，其中a和b均為實(shí)數(shù)，如果b＝0，則可以得出什么？

分析：當(dāng)b＝0時(shí)，z＝a為實(shí)數(shù).

問題6如果a和b均等于0，則這個(gè)復(fù)數(shù)表示什么？

分析：表示實(shí)數(shù)0.

問題7如果b≠0，a＝0，又得到什么？

分析：可以得到bi，

稱其為純虛數(shù).

問題8我們能否從上述討論中得出復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)之間的關(guān)系？怎樣用圖形表示？

分析：得出復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)之間的關(guān)系，如圖1所示.

【設(shè)計(jì)意圖】分析實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、虛數(shù)等的概念，探索其相互關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展.

1.3.2組織練習(xí)，鞏固知識(shí)

練習(xí)1對(duì)5＋6i，8－3i，12－2i，－4－56i，－0.6i，5進(jìn)行分類？

練習(xí)2虛數(shù)m是什么數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z＝m＋6＋（m－3）i是以下哪種數(shù)？

（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)1，使學(xué)生學(xué)習(xí)如何對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，提高其對(duì)數(shù)集的理解.通過練習(xí)2，融合實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等概念，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行習(xí)題練習(xí)，理解本節(jié)課程所學(xué)知識(shí)，從而判斷復(fù)數(shù).

2“復(fù)數(shù)的幾何意義”教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1教材分析

當(dāng)完成對(duì)復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)，為學(xué)生掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)律奠定基礎(chǔ).學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的幾何意義、平面向量知識(shí)后，通過類比幾何意義，幫助學(xué)生借助復(fù)平面認(rèn)識(shí)過程，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的解讀和理解能力，為學(xué)生建構(gòu)二維思想奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

2.2教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

2.2.1教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）對(duì)比實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解復(fù)數(shù)的幾何意義，認(rèn)識(shí)到每一個(gè)復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上找到一個(gè)唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

（2）能夠識(shí)別復(fù)平面上的實(shí)軸和虛軸，并理解這兩個(gè)軸是如何劃分復(fù)平面的.

（3）熟練應(yīng)用公式計(jì)算復(fù)數(shù)的模，深入理解復(fù)數(shù)的模所代表的幾何意義.

2.2.2教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)如下.

（1）重點(diǎn)在于讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的幾何意義.

（2）難點(diǎn)在于讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的模的含義.

2.3教學(xué)過程

2.3.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問題1復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)有何種聯(lián)系？

分析：復(fù)數(shù)通常形式為z＝a＋bi，當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部等于0時(shí)，該復(fù)數(shù)簡化為實(shí)數(shù)，表明實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集.

【設(shè)計(jì)意圖】通過分析復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)間的聯(lián)系，輔助學(xué)生明確復(fù)數(shù)的根本概念，幫助學(xué)生進(jìn)行歸納與總結(jié)，以夯實(shí)未來探討復(fù)數(shù)與幾何相互作用的基礎(chǔ).

問題2我們是否有可能像表示實(shí)數(shù)那樣，采用數(shù)軸來表示復(fù)數(shù)呢？

分析：復(fù)數(shù)由實(shí)部與虛部組成，單一數(shù)軸無法表達(dá)，必須依靠兩條數(shù)軸進(jìn)行表示.

問題3那我們應(yīng)該如何利用兩條數(shù)軸來描繪復(fù)數(shù)？

分析：平面直角坐標(biāo)系可以基于有序數(shù)對(duì)概念構(gòu)建.

【設(shè)計(jì)意圖】通過串聯(lián)一系列問題的思考鏈條，引導(dǎo)學(xué)生深化研究，以提升其學(xué)習(xí)技能.

問題4由于復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以被一個(gè)有序?qū)Γ╝，b）確定，二者之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.如何在有序數(shù)與平面直角坐標(biāo)系中建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系？

分析：類似于平面直角坐標(biāo)系中的表示方法，可以用兩條數(shù)軸分別代表實(shí)部與虛部.

問題5通過對(duì)圖2進(jìn)行研究，實(shí)數(shù)軸和虛數(shù)軸上的數(shù)據(jù)點(diǎn)分別展現(xiàn)了怎樣的屬性？

分析：實(shí)軸上的所有點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)（包括原點(diǎn)），虛軸上的點(diǎn)除了原點(diǎn)外均表示純虛數(shù).

問題6復(fù)平面上的點(diǎn)（2，－3）（0，－2）以及（5，0）分別可以表示什么？

分析：（2，－3）表示復(fù)數(shù)2－3i，（0，－2）表示純虛數(shù)－2i，（5，0）則為實(shí)數(shù)5.

師：根據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)二者之間的關(guān)系為

復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）一一對(duì)應(yīng).

問題7通過對(duì)有序數(shù)的分析，還可以發(fā)現(xiàn)什么信息？

分析：除了表示點(diǎn)的位置以外，可以用于表示平面向量.

問題8復(fù)數(shù)是否能與平面向量對(duì)應(yīng)？

分析：考慮到平面向量可以與點(diǎn)Z（a，b）相對(duì)應(yīng)，因此復(fù)數(shù)也可以通過類似的方式與之對(duì)應(yīng).

師：通過有序數(shù)對(duì)，我們發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)z＝a＋bi、復(fù)平面上的點(diǎn)Z（a，b）以及平面向量OZ這三者之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如圖3所示.

問題9以上提到的復(fù)數(shù)、復(fù)平面上的點(diǎn)、平面向量之間在描述時(shí)有哪些不同之處？

師生總結(jié)：復(fù)數(shù)強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)的數(shù)值屬性及其在復(fù)數(shù)運(yùn)算中的作用；復(fù)平面上的點(diǎn)關(guān)注于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的位置，直觀展示了復(fù)數(shù)的幾何意義；平面向量則強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)作為向量的方向和長度屬性，有助于理解和應(yīng)用復(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

【設(shè)計(jì)意圖】基于數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生深入探索復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生能夠從實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)特征到復(fù)數(shù)的一般特征學(xué)習(xí)，由此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，有效建立數(shù)學(xué)思想.

問題10既然實(shí)數(shù)有絕對(duì)值的概念，那么復(fù)數(shù)的絕對(duì)值又是什么呢？

分析：復(fù)數(shù)的絕對(duì)值是指復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離關(guān)系.

問題11如何計(jì)算這個(gè)距離？

分析：利用復(fù)數(shù)向量表示，可以得出｜z｜＝｜OZ｜＝a2＋b2.

師：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的位置可以用點(diǎn)Z（a，b）表示，該點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離被稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的絕對(duì)值.這一概念類似于實(shí)數(shù)中絕對(duì)值的概念，但在復(fù)數(shù)域中，擴(kuò)展到了包含虛部的復(fù)數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生了解絕對(duì)值設(shè)計(jì)思路，提高學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的解讀技能，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)模型的理解能力.

2.3.2加強(qiáng)練習(xí)，鞏固所學(xué)

練習(xí)設(shè)復(fù)數(shù)z1＝4＋3i，z2＝4—3i.

（1）在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量.

（2）求復(fù)數(shù)z1，z2的模，并比較它們的模的大小.

【設(shè)計(jì)意圖】第（1）問強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生繪圖能力的考查，能夠幫助學(xué)生鞏固復(fù)數(shù)的幾何意義.第（2）問旨在通過進(jìn)行新知識(shí)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生計(jì)算能力，提高問題解決素質(zhì).

2.3.3知識(shí)拓展，概括總結(jié)

追問1復(fù)數(shù)z1，z2有什么關(guān)系？

分析：實(shí)部相等，虛部相反，位置則是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.

師：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，同時(shí)虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)用＝a－bi表示.

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的核心素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力.

追問2本節(jié)課學(xué)習(xí)中，你獲得哪些知識(shí)？

【設(shè)計(jì)意圖】回顧復(fù)數(shù)的幾何意義，幫助學(xué)生強(qiáng)化制圖能力，增強(qiáng)問題解決技能.

3結(jié)語

“核心素養(yǎng)”“雙減政策”“素質(zhì)教育”等理念的提出，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)具有現(xiàn)實(shí)意義.在解決數(shù)學(xué)根本問題過程中，教師應(yīng)采用“理論＋實(shí)踐”的方式，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維、強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能，發(fā)展學(xué)生的綜合能力.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要發(fā)揮傳授者的作用，又要體現(xiàn)引導(dǎo)者的價(jià)值，幫助學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，強(qiáng)化高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

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