摘 要：為落實國家對中學(xué)教育提出的新要求，教育部于2017年發(fā)布了高中新課程標(biāo)準(zhǔn)，又于2020年對高中新課程標(biāo)準(zhǔn)進行了修訂，這為教學(xué)指明了方向.教師要通過認(rèn)真學(xué)習(xí)高中新課程標(biāo)準(zhǔn)，理解把握高中數(shù)學(xué)的教學(xué)要求，還要通過研讀新教材體會新課標(biāo)的教學(xué)要求的各項細(xì)化目標(biāo)，在平常的教學(xué)中去認(rèn)真落實，提升學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：新教材；新課標(biāo)；數(shù)列

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是一種重要的數(shù)學(xué)模型.學(xué)習(xí)數(shù)列，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還可以滲透素質(zhì)教育理念，使學(xué)生產(chǎn)生文化共鳴.伴隨基礎(chǔ)教育改革的深入，各出版社依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》相繼出版了多個版本的數(shù)學(xué)教材，呈現(xiàn)出“百花齊放”的局面，不同版本的數(shù)學(xué)教材在數(shù)列的編寫上呈現(xiàn)出不同的特色和教學(xué)要求.本文研讀人教A版新教材中有關(guān)數(shù)列通項公式的兩道習(xí)題，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，以期為教學(xué)提供一些有益的指導(dǎo).

1 關(guān)于數(shù)列通項兩道習(xí)題的分析與拓展

人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》在習(xí)題4.3由數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項公式配備了兩道習(xí)題，筆者針對這兩道習(xí)題做如下分析與拓展.

習(xí)題1 若數(shù)列｛an｝的首項a1=1，且滿足an＋1=2an＋1，求數(shù)列｛an｝的通項公式.

解法1（觀察法）：學(xué)生剛學(xué)完等差、等比數(shù)列，很容易通過觀察法求解此題，先由已知條件求出a2=3、a3=7、a4=15，再由得到的前四項a1=1、a2=3、a3=7、a4=15尋找其規(guī)律并歸納出通項公式an=2n-1，然后代入條件an＋1=2an＋1檢驗符合要求，進而得到數(shù)列的通項公式an=2n-1.

解法2（構(gòu)造法）：由解法1可知，an＋1=2n，｛2n｝是個等比數(shù)列，啟發(fā)我們可以通過配湊，構(gòu)造一個新等比數(shù)列｛an＋1｝，由此可得以下解法.

因為an＋1=2an＋1，所以an＋1＋1=2（an＋1）.

又a1＋1=2≠0，則數(shù)列｛an＋1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

由等比數(shù)列通項公式得an＋1=2×2n-1=2n，所以數(shù)列｛an｝的通項公式an=2n-1.

解題反思：本題的解法從解法1到解法2由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生比較容易接受.若沒有解法1的提示，初學(xué)的學(xué)生是很難想到構(gòu)造數(shù)列｛an＋1｝的.

追問 對于形如an＋1=can＋m（c、m為非零常數(shù)）這種類型的數(shù)列通項公式怎么求解？

對于形如an＋1=can＋m（c、m為非零常數(shù)）的數(shù)列通項公式的求解，可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造一個新數(shù)列｛an＋λ｝成等差或等比數(shù)列，再利用等差、等比數(shù)列的通項公式求出已知數(shù)列｛an｝的通項公式.由此得到下面的解法3.

解法3（待定系數(shù)法）：令an＋1＋λ=2（an＋λ），即an＋1=2an＋λ.又an＋1=2an＋1，所以有λ=1，從而構(gòu)成新數(shù)列｛an＋1｝滿足an＋1＋1=2（an＋1），下同解法2.

習(xí)題2 已知數(shù)列｛an｝的首項a1=1，且滿足an＋1＋an=3×2n.

（1）求證：｛an-2n｝是等比數(shù)列.

（2）求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn.

（1）分析：題目要證｛an-2n｝是等比數(shù)列，此時數(shù)列的第n＋1項是an＋1-2n＋1，可將條件an＋1＋an=3×2n變形為an＋1-2n＋1=-（an-2n），且a1-2=-1≠0，所以數(shù)列｛an-2n｝是等比數(shù)列.

方法拓展1：教材為了控制難度，給出了構(gòu)造數(shù)列｛an-2n｝的提示，那么數(shù)列｛an-2n｝是怎么得到的？可以按如下思路進行思考.

令an＋1＋x·2n＋1=-（an＋x·2n），即an＋1=-an-3x·2n.

又an＋1＋an=3×2n，所以有-3x=3，解得x=-1，

代入上式得到an＋1-2n＋1=-（an-2n），且a1-2=-1≠0，故數(shù)列｛an-2n｝是等比數(shù)列.

方法拓展2：將式子an＋1＋an=3×2n兩邊同時除以2n＋1，得an＋12n＋1=-12·an2n＋32，

記bn=an2n，則上式變?yōu)閎n＋1=-12bn＋32，這樣就把此題化歸為習(xí)題1的類型，

按照習(xí)題1的解法有bn＋1-1=-12·（bn-1）.又b1-1=a12-1=-12≠0，

則bn-1=-12·-12n-1=-12n，即得an2n-1=-12·-12n-1=-12n，

所以an-2n=2n·-12n=（-1）n，即｛an-2n｝是等比數(shù)列.

（2）由（1）可知，an=2n＋（-1）n，所以Sn=2-2n＋11-2＋-1-（-1）n＋11＋1=2n＋1-（-1）n＋12-52.

解題反思：通過習(xí)題1和習(xí)題2的設(shè)置可以看出，人教A版教材對形如an＋1=can＋m（c、m為非零常數(shù)）這類型數(shù)列通項問題要求學(xué)生能夠正確求解并掌握，但對于形如an＋1=can＋f（n）（c為非零常數(shù)）這類式子后面帶有變量n的通項的求解控制了難度，只需在題目的提示下完成通項公式的求解，不需采用配湊求解，體現(xiàn)出新課標(biāo)對兩類題型要求的不同.這些細(xì)微的區(qū)別是值得教師認(rèn)真琢磨的，在琢磨中去體會新課標(biāo)的教學(xué)要求，提高教學(xué)的實效性.

2 關(guān)于數(shù)列通項兩道習(xí)題的思考與啟示

通過分析人教A版高中數(shù)學(xué)教材關(guān)于由數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項公式配備的兩道習(xí)題可以看出，教材對由數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項公式的要求較舊教材有所提高，難度也略有增大，同時也可以看出對不同問題的要求也是有區(qū)別的，處理的方式也有所不同.

（1）教師要對照新課標(biāo)認(rèn)真研讀新教材，準(zhǔn)確理解新課標(biāo)的教學(xué)要求，把控好教學(xué)目標(biāo)，既不能盲目加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，又不能降低了教學(xué)要求，要依據(jù)新課標(biāo)把知識落實到位，在知識的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的提出問題、分析問題與解決問題的能力.

（2）在高一、高二基礎(chǔ)年級的教學(xué)中注意不能脫離學(xué)生接受知識的客觀條件盲目拔高，甚至采取一步到位的方式加大難度，應(yīng)循序漸進，依據(jù)課標(biāo)要求、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及接受知識的實際情況，逐步提高教學(xué)要求，便于學(xué)生理解掌握.

（3）教師要不斷加強理論學(xué)習(xí)，提升自己專業(yè)素養(yǎng)，積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，自覺探索并不斷改變自己的課堂教學(xué)方式，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生自覺主動學(xué)習(xí)的能力，提高課堂效率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).