【摘 要】文章結(jié)合實踐探索得到了基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)路徑，即發(fā)現(xiàn)橢圓截線定義—探索橢圓焦半徑性質(zhì)—感知橢圓生成過程—表達(dá)橢圓軌跡定義—推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。該學(xué)習(xí)路徑凸顯了概念的發(fā)生發(fā)展過程，使學(xué)生從截線定義走向軌跡定義，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。由此得出教學(xué)建議，即“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)應(yīng)當(dāng)聚焦核心問題，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷橢圓上點(diǎn)的幾何特征的探究過程，并將Dandelin雙球模型貫穿始終。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象；橢圓；學(xué)習(xí)路徑；Dandelin雙球模型

一、問題的提出

“圓錐曲線”是人教A版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊第三章的主要內(nèi)容，涉及橢圓、雙曲線和拋物線等概念。為了形成這些概念，教師需要注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體事實出發(fā)，展現(xiàn)概念的發(fā)生發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈［1］。而數(shù)學(xué)概念的形成過程就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)［2］。

相對于傳統(tǒng)以課時為單位的教學(xué)過程，單元教學(xué)對于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)具有系統(tǒng)掌握學(xué)科知識、凸顯學(xué)科結(jié)構(gòu)的整體性、實現(xiàn)學(xué)習(xí)主體的共生共創(chuàng)的價值功能［3］。然而，“圓錐曲線”在教材中的編排還有待完善，如三種圓錐曲線的情境導(dǎo)入缺乏聯(lián)系、概念定義獲得缺乏過程、截線定義缺乏體現(xiàn)等。為此，在單元目標(biāo)和課時目標(biāo)明確的情況下，如何從單元整體視角出發(fā)，合理規(guī)劃“圓錐曲線”的教學(xué)顯得尤為重要。

學(xué)習(xí)路徑刻畫了學(xué)生對核心概念的理解由簡單到復(fù)雜、由低級到高級的思維過程，不僅能夠促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升，也能為教材修訂、教師教學(xué)提供科學(xué)指導(dǎo)［4］?；诖?，本研究一共討論了“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”三條學(xué)習(xí)路徑。本文聚焦“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)路徑，主要圍繞以下兩個子問題展開。

（1）如何構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的發(fā)生發(fā)展過程？

（2）如何驗證該學(xué)習(xí)路徑的有效性？

二、研究設(shè)計

（一）研究對象

選取杭州市XJ中學(xué)高二年級兩個平行班（分別記為A班和B班）作為實驗班，A班和B班的學(xué)生一共94人，按照本研究設(shè)計的“圓錐曲線”單元學(xué)習(xí)路徑展開教學(xué)。同時，選取同一所學(xué)校高二年級兩個平行班（分別記為C班和D班）作為對照班，C班和D班的學(xué)生一共101人，按照人教A版高中數(shù)學(xué)教材中的“圓錐曲線”學(xué)習(xí)路徑展開教學(xué)。

本研究通過對四個班級的學(xué)生進(jìn)行單元前測，統(tǒng)計各個學(xué)生的成績情況，并對其進(jìn)行單因素方差分析，認(rèn)為不同班級間不存在顯著性差異。

（二）研究流程

基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的“圓錐曲線”單元學(xué)習(xí)路徑研究流程如圖1所示。

（三）問卷設(shè)計

1.確立核心目標(biāo)

理解橢圓、雙曲線和拋物線的概念是“圓錐曲線”單元教學(xué)的核心目標(biāo)，也是后續(xù)探究三種曲線性質(zhì)的重要基礎(chǔ)。為了更好地評估學(xué)生是否達(dá)成核心目標(biāo)，本研究將核心目標(biāo)具體化為理解曲線概念中蘊(yùn)含的限制條件和理解曲線概念的生成過程。

2.劃分水平層次

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于概念的學(xué)習(xí)是有不同理解水平的。［5］為此，本研究根據(jù)核心目標(biāo)具體化的兩個方面編制問卷，并針對學(xué)生表現(xiàn)劃分不同水平層次，將水平一、水平二、水平三分別賦0分、1分、2分。本文主要介紹橢圓課時后測。

（1）理解曲線概念中蘊(yùn)含的限制條件

問題1：已知兩定點(diǎn)F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），動點(diǎn)P滿足[PF1]+[PF2]=2a，則當(dāng)a=7和a=5時，P點(diǎn)的軌跡為（" ）。請通過文字或作圖來說明理由。

A.均為橢圓 " " B.橢圓和一條射線

C.橢圓和一條線段 D.橢圓和一條直線

問題1的水平層次劃分：水平一——不清楚橢圓上點(diǎn)的幾何特征；水平二——能夠大概說出橢圓的概念，但沒有意識到概念中蘊(yùn)含的限制條件；水平三——能夠準(zhǔn)確說出橢圓的概念，并解釋限制條件的合理性。

（2）理解曲線概念的生成過程

問題2：請你回顧一下，我們是怎樣在模型中探索得到橢圓上點(diǎn)的幾何特征的？請借助圖象、文字以及符號描述探索過程。

問題2的水平層次劃分：水平一——不清楚橢圓的兩個定點(diǎn)如何確定；水平二——能夠找到橢圓的兩個定點(diǎn)，但無法借助切線探究橢圓上點(diǎn)的幾何特征；水平三——能夠完整闡述橢圓上點(diǎn)的幾何特征的探索過程。

三、研究結(jié)果與分析

（一）學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計與實施

1.路徑呈現(xiàn)與任務(wù)介紹

為探究得到完善的學(xué)習(xí)路徑，本研究一共經(jīng)歷了四次教學(xué)設(shè)計、兩次教學(xué)實踐以及多次教學(xué)研討。由于文章篇幅有限，本文只呈現(xiàn)在B班開展的學(xué)習(xí)路徑（見表1）。

階段一：發(fā)現(xiàn)橢圓截線定義。

任務(wù)1-1：太陽光線（平行光源）照射放置在光滑桌面上的球會形成不同形狀的影子輪廓，觀察何時投影的形狀為圓形，你可以將光線與球抽象成怎樣的幾何體？

學(xué)生可以很自然地想象出當(dāng)太陽光線豎直照射球時，球在桌面上形成的投影形狀為圓形，因為圓上的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值?；诖耍處熯M(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生抽象出光線豎直照射下的圓柱模型（如圖2）。其中，點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P所在光線與球的切點(diǎn)，點(diǎn)F為球與桌面的切點(diǎn)。

任務(wù)1-2：當(dāng)太陽光線不再豎直照射桌面時，影子輪廓是橢圓。那么，橢圓上的點(diǎn)應(yīng)該滿足怎樣的幾何特征？

學(xué)生對橢圓有一定的生活經(jīng)驗，能自然地想到當(dāng)太陽光線不再豎直照射桌面時，形成的影子輪廓是橢圓。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考橢圓上的點(diǎn)應(yīng)該滿足怎樣的幾何特征。

階段二：探索橢圓焦半徑性質(zhì)（圓柱背景）。

任務(wù)2-1：當(dāng)太陽光線不豎直照射桌面時，嘗試抽象出新的幾何體。類比前面幾何體，思考當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，哪些線段的數(shù)量關(guān)系發(fā)生了改變，哪些不變。

為了研究橢圓上點(diǎn)的幾何特征，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從太陽光線斜射桌面的情境中抽象出數(shù)學(xué)模型（如圖3）。其中，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P所在光線與球的切點(diǎn)，點(diǎn)F為球與桌面的切點(diǎn)。同時，學(xué)生應(yīng)意識到PF和PQ的長度雖然會隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化，但兩者的長度始終保持相等。

任務(wù)2-2：研究PQ的長度規(guī)律容易，還是研究PF的長度規(guī)律容易？如何體現(xiàn)PQ的長度變化規(guī)律？

教師引導(dǎo)學(xué)生理解之所以要研究PQ而不是直接研究PF，是因為點(diǎn)F的位置不好確定，而點(diǎn)Q的位置容易確定。與此同時，為了更直觀地研究PQ的長度變化規(guī)律，教師對模型進(jìn)行簡化，得到圓柱截切體模型（如圖4），并將其制作出來供學(xué)生在課堂中進(jìn)行操作。

任務(wù)2-3：（1）測一測：將圓柱截切體模型沿著最短和最長的母線剪開，測量圖形上畫好的母線長度。

（2）猜一猜：觀察測量數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（3）驗一驗：通過重新組合裁剪后的兩個模型，你能驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

通過測一測、猜一猜，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)母線間存在的定值規(guī)律；而通過驗一驗，學(xué)生能夠更直觀地感知所發(fā)現(xiàn)的長度規(guī)律。這樣的安排不僅保證了學(xué)生思維的連貫性，使學(xué)生大致清楚整個探究活動的目的，而且拓寬了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的視角，有助于發(fā)散學(xué)生的思維。

以下是測一測、猜一猜環(huán)節(jié)的課堂實錄片段。

師：你通過觀察測量的母線數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：我發(fā)現(xiàn)裁剪開的兩個圖形是軸對稱圖形，在其中一個圖形上測量母線長度，在另一個圖形上也存在相等的母線長度。并且，我做了一個表格（見表2），發(fā)現(xiàn)每一列的兩條母線相加是一個定值。

此外，驗一驗環(huán)節(jié)中，學(xué)生所感悟的對稱關(guān)系也為空間幾何中尋找定值規(guī)律做好鋪墊。以下是驗一驗環(huán)節(jié)的課堂實錄片段。

師：結(jié)合剛剛發(fā)現(xiàn)的長度規(guī)律，你能將手中的兩個模型重新組合來體現(xiàn)長度規(guī)律嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)可以將這兩個圖形重新組合成一個像平行四邊形一樣的曲線圖形，然后每一個豎直方向的兩條母線之和都相等（如圖5）。

師：沒錯，這是一種拼法。不過因為上下兩條邊是曲線，所以規(guī)律不容易看出來，有更直觀的拼法嗎？

生：也可以將這兩個圖形重新組合成一個矩形（如圖6），這樣，每一個豎直方向的兩條母線之和一定相等。

任務(wù)2-4：根據(jù)平面展開時得到的定值規(guī)律，在空間立體圖形中是否也存在相同的定值規(guī)律？如何體現(xiàn)？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何將平面得到的定值規(guī)律應(yīng)用到空間上，從而引出圓柱Dandelin雙球模型（如圖7）。其中，點(diǎn)Q和點(diǎn)R是點(diǎn)P所在母線與兩個球的切點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)E是兩個球與截面的切點(diǎn)，初步得到橢圓的焦半徑性質(zhì)。

階段三：探索橢圓焦半徑性質(zhì)（圓錐背景）。

任務(wù)3-1：將平行光源換成點(diǎn)光源照射球，此時球在桌面上留下的影子輪廓是什么形狀？如何抽象出新的幾何體模型？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考在點(diǎn)光源照射下所形成的投影輪廓是否仍為橢圓，并由此抽象出新的幾何模型（如圖8）。其中，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q1為點(diǎn)P所在光線與球的切點(diǎn)，點(diǎn)F1為球與桌面的切點(diǎn)。該任務(wù)的開展主要是為了引出圓錐Dandelin雙球模型，這不僅為后續(xù)雙曲線和拋物線的情境引入做好鋪墊，也是“圓錐曲線”單元的大情境。

任務(wù)3-2：類比平行光源的探究方法，你能根據(jù)我們剛才得到的橢圓特征來驗證它是橢圓嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧在圓柱情境中探究橢圓上點(diǎn)的幾何特征的方法，將探究方法運(yùn)用到圓錐情境中，形成圓錐Dandelin雙球模型（如圖9）。其中，點(diǎn)Q1和點(diǎn)Q2是點(diǎn)P所在母線與兩個球的切點(diǎn)，點(diǎn)F1和點(diǎn)F2是兩個球與截面的切點(diǎn)。

階段四：感知橢圓生成過程。

任務(wù)4：借助幾何畫板演示平面中由點(diǎn)生成橢圓的過程，并呈現(xiàn)相關(guān)線段的長度。

教師借助幾何畫板，動態(tài)演示線段PF1和PF2在點(diǎn)P運(yùn)動過程中的變化規(guī)律，并將點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離以及距離之和通過數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生感知橢圓的生成過程，加深對橢圓上點(diǎn)的幾何特征的理解。

階段五：表達(dá)橢圓軌跡定義。

任務(wù)5：你能否給橢圓下一個定義？這個定義完整了嗎？

教師鼓勵學(xué)生用文字語言表達(dá)橢圓的軌跡定義，并在引入焦點(diǎn)和焦距等概念后追問學(xué)生這個定義是否完整，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生意識到橢圓上的點(diǎn)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和需要大于[F1F2]。與此同時，教師繼續(xù)追問，如果小于或等于[F1F2]會發(fā)生什么情況，以此加深學(xué)生對橢圓定義的理解。

階段六：推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

任務(wù)6：建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的軌跡定義推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師鼓勵學(xué)生借助橢圓的軌跡定義，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，引領(lǐng)學(xué)生從幾何研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的研究，從動態(tài)幾何的研究轉(zhuǎn)化為靜態(tài)代數(shù)的研究，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.存在的問題及修改建議

盡管該學(xué)習(xí)路徑較好地體現(xiàn)了概念的發(fā)生發(fā)展過程，但仍存在需要完善的地方。例如，在任務(wù)3-2中，教師帶領(lǐng)學(xué)生得到圓錐Dandelin雙球模型后，只取了一個點(diǎn)P來證明截面是否為橢圓。盡管學(xué)生在課堂中表現(xiàn)良好，但在課時后測中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對該證明過程的理解并不深刻（課時后測的第二題）。以下是一些典型的錯誤案例（如圖10）。

從圖10（a）可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生錯將Q1和Q2視為球心，而實際上定值規(guī)律的獲得源于切線長定理，即利用的是從點(diǎn)P出發(fā)的兩條切線。從圖10（b）可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能夠清楚球與截面會形成兩個切點(diǎn)，與圓錐面會形成兩個切點(diǎn)，但并不清楚該如何利用這些點(diǎn)的位置特征。從圖10（c）可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對課堂中的證明過程產(chǎn)生了思維定式，認(rèn)為球與圓錐面的切點(diǎn)必須在某一條母線上。而從圖10（d）可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生仍不清楚點(diǎn)P的含義。整體而言，學(xué)生對橢圓上點(diǎn)的幾何特征的探究過程是模糊的，處于一知半解的狀態(tài)。

因此，專家團(tuán)隊認(rèn)為，教師在證明定值規(guī)律時可以在曲線上多取幾個點(diǎn)（如圖11），避免學(xué)生形成思維定式，讓學(xué)生了解PQ1和PQ2必須在同一條母線上，而點(diǎn)P是曲線上一點(diǎn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，Q1Q2始終是圓臺的母線，所以保持不變。

（二）實驗班教學(xué)效果

如前所述，本研究在A、B班均開展了教學(xué)實驗，其中B班所實施的學(xué)習(xí)路徑彌補(bǔ)了在A班教學(xué)時的不足，B班充分聽取了專家團(tuán)隊的意見，以及參考了A班學(xué)生后測問卷情況。因此，本研究通過對A、B班的后測問卷進(jìn)行定量分析，以此驗證“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)路徑的有效性（見表3）。

通過分析實驗班的后測數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，B班達(dá)到水平三的百分比均高于A班，這表明“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)路徑在實驗教學(xué)的過程中得到了一定程度的優(yōu)化，有助于學(xué)生加深對橢圓概念的理解，在一定程度上解釋了“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)路徑的有效性。

四、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

為促進(jìn)學(xué)生對橢圓概念的理解并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，本研究開展了“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)路徑的研究，并最終得到了完善的學(xué)習(xí)路徑。研究認(rèn)為，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的發(fā)生發(fā)展過程，即發(fā)現(xiàn)橢圓截線定義—探索橢圓焦半徑性質(zhì)—感知橢圓生成過程—表達(dá)橢圓軌跡定義—推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。整個過程既體現(xiàn)解析幾何研究的核心思想，也有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

與此同時，通過對實驗班后測數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析，認(rèn)為該學(xué)習(xí)路徑經(jīng)過調(diào)整得到了一定程度的優(yōu)化，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生建立圓和橢圓的聯(lián)系，從幾何、代數(shù)兩個方面對橢圓概念有更深刻的認(rèn)識，還能幫助學(xué)生在感悟數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想的過程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（二）建議

1.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)應(yīng)聚焦核心問題

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)的關(guān)鍵是帶領(lǐng)學(xué)生探究曲線上點(diǎn)的幾何特征，這是后續(xù)總結(jié)軌跡定義、推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)。因此，學(xué)生在課堂初始就應(yīng)當(dāng)清楚本節(jié)課要解決的主要問題是什么，即清楚橢圓上的點(diǎn)應(yīng)該滿足怎樣的幾何特征。

2.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)可以將Dandelin雙球模型貫穿始終

Dandelin雙球模型在其幾何特征的探索過程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，教師可以充分利用Dandelin雙球模型，并將其貫穿課堂始終。但需要注意的是，Dandelin雙球模型的出現(xiàn)應(yīng)該是循序漸進(jìn)的。因此，教師可以以太陽光照射情境引入，先帶領(lǐng)學(xué)生初步抽象出圓柱Dandelin雙球模型，再過渡到圓錐Dandelin雙球模型，有效降低學(xué)生的認(rèn)知難度，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷由易到難的思維提升過程。

3.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷橢圓上點(diǎn)的幾何特征的探究過程

橢圓的探究過程可以考慮加入動手操作環(huán)節(jié)，教師帶領(lǐng)學(xué)生尋找平面上的定值規(guī)律，接著化平為曲，發(fā)現(xiàn)空間中的定值規(guī)律，即橢圓上點(diǎn)的幾何特征。此外，從平行光源到點(diǎn)光源的轉(zhuǎn)化不僅有效鞏固了學(xué)生對橢圓上點(diǎn)的幾何特征的認(rèn)識，也為學(xué)生探究雙曲線上點(diǎn)的幾何特征做好鋪墊。

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（責(zé)任編輯：羅小熒）