類比推理作為合情推理的重要形式之一，旨在引導(dǎo)學(xué)生在比較的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，這也是認(rèn)識事物的一種方法。在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“體積和容積單位”的教學(xué)中，采用類比推理，探尋計(jì)量單位之間的關(guān)聯(lián)性，可以促進(jìn)知識的深度聯(lián)結(jié)，強(qiáng)化學(xué)生對度量單位的理解和認(rèn)知。

一、教學(xué)基礎(chǔ)

（一）教材分析

“體積和容積單位”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊的內(nèi)容，主要內(nèi)容包括常用的體積單位立方米、立方分米和立方厘米以及容積單位升和毫升。該板塊內(nèi)容是小學(xué)階段“計(jì)量教學(xué)”的最后一塊內(nèi)容，建立在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了長方體的基本特征、體積（容積）的意義、常見的體積單位、長方體和正方體的表面積和體積計(jì)算的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、計(jì)算、比較、分析、想象等數(shù)學(xué)活動，理解運(yùn)用體積和容積單位。

從知識角度來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長度（一維）和面積（二維）的概念及單位，體積（容積）屬于三維層次，從一維、二維到三維是空間觀念的一次飛躍；從方法經(jīng)驗(yàn)來看，都是從日常生活中獲取計(jì)量單位的直觀感受和經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知，然后進(jìn)行歸納推理，進(jìn)而上升到理性層面；從知識結(jié)構(gòu)層面來看，“體積和容積單位”這一塊的教學(xué)分為三個(gè)階段：體積（容積）概念的理解、體積（容積）大小的比較、體積（容積）單位的進(jìn)率。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.理解體積和容積單位的概念、意義及在日常生活中的應(yīng)用。

2.建立1立方厘米、1立方分米、1立方米和1毫升、1升的空間觀念，會進(jìn)行體積單位與容積單位之間的換算。

3.通過類比推理和遷移運(yùn)用，深刻感悟并理解度量的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)變。

二、教學(xué)過程

（一）類比推理，建立體積單位表象

知識遷移理論認(rèn)為：一切有意義的學(xué)習(xí)都是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。長度單位、面積單位和體積單位，從知識體系上看存在一定的聯(lián)系，課堂上可以充分利用學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生類比推理和遷移學(xué)習(xí)。在本節(jié)課開始，筆者從單位入手，從數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的計(jì)數(shù)單位到圖形領(lǐng)域中的度量單位，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用長度單位回顧面積單位，然后通過結(jié)構(gòu)性類比推理和遷移的方式，幫助學(xué)生建立體積單位表象，實(shí)現(xiàn)以長度單位和面積單位構(gòu)建體積單位的目的。

【教學(xué)片段1】

活動1：回顧舊知，建立不同單位之間的聯(lián)系

教師提出問題：本節(jié)課要學(xué)習(xí)“體積單位”，那么，我們就從“單位”談起，說說看到“單位”你都聯(lián)想到了什么。

學(xué)生給出多種答案：體積單位、長度單位、面積單位、時(shí)間單位、重量單位、分?jǐn)?shù)單位……在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中，使用頻繁的單位就是計(jì)數(shù)單位，比如，在學(xué)習(xí)整數(shù)時(shí)，我們認(rèn)識了個(gè)、十、百、千、萬等計(jì)數(shù)單位；在學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)，又認(rèn)識了0.1、0.01、0.001等計(jì)數(shù)單位。

在圖形與幾何領(lǐng)域中，對幾何圖形的測量及度量也同樣需要數(shù)數(shù)，即單位的累加。教師出示課件（見圖1），并提問：在三年級時(shí)我們學(xué)過測量“線的長短”“面積的大小”，你們還記得是怎么測量的嗎？下面線段的長度是多少？你是怎么計(jì)量的？長方形的面積又是怎么測量的？

學(xué)生利用直尺測量、數(shù)方格等形式，給出答案：線段中是以1cm作為標(biāo)準(zhǔn)，有3個(gè)1cm累加，所以是3cm；對于長方形的面積，它是以1cm2為標(biāo)準(zhǔn)，通過數(shù)方格，發(fā)現(xiàn)共有8個(gè)方格，所以面積應(yīng)該是8cm2。

師總結(jié)：如果要計(jì)量一條線段有多長，就利用不同標(biāo)準(zhǔn)長度的線段（長度單位）來進(jìn)行累加；在測量圖形的面積時(shí)，我們利用不同標(biāo)準(zhǔn)大小的正方形（面積單位），通過平鋪進(jìn)行測量。

活動2：類比推理，初步感知體積單位

教師提出問題：在測量圖形的體積時(shí)，應(yīng)該用到什么單位呢？你覺得體積單位會有哪些？

學(xué)生類比長度測量和面積測量進(jìn)行推理，測量圖形體積需要用到體積單位，并結(jié)合課前預(yù)習(xí)猜測：體積單位可能會有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）和立方米（m3），可以利用不同標(biāo)準(zhǔn)大小的正方體（體積單位），通過堆積疊放進(jìn)行測量。

師總結(jié)：測量線段長度的尺子是“線”，度量面積的尺子是“面”，類比推理可知，度量體積的尺子是“體”，從而構(gòu)建長度、面積、體積之間的線、面、體的關(guān)系。

（二）類比推理，體會體積測量方法

在三維空間中，度量一維長度的“線”，可以直接將一維的線進(jìn)行比較，而在另外兩個(gè)維度上可以復(fù)制；度量二維面積大小的“面”，也可以直接進(jìn)行比較。但是度量三維空間上的體積時(shí)，由于被測物體的三維空間都被占據(jù)了，所以無法直接進(jìn)行比較。

【教學(xué)片段2】

活動1：類比遷移，利用已知問題解決未知問題"教師提出問題：如何測量三維空間的體積大小呢？前面同學(xué)們猜測可以采用不同標(biāo)準(zhǔn)大小的正方體通過堆積疊放進(jìn)行測量是否正確呢？

學(xué)生動手操作教具，發(fā)現(xiàn)立體的物體是無法直接進(jìn)行比較的。因?yàn)槿S空間都被占據(jù)，所以想到用一個(gè)中空的物體，可以用小的立方體進(jìn)行填充，一個(gè)物體包含有多少個(gè)體積單位，它的體積就是多少。通過數(shù)體積計(jì)量單位的方法，可以得知這個(gè)量數(shù)，就是物體的體積，進(jìn)而可以得到我們想要測量的體積：長方體的體積=體積單位正方體的塊數(shù)=底層所擺的體積單位正方體的塊數(shù)×層數(shù)=底面所含面積單位正方形的個(gè)數(shù)×高所含的長度單位的個(gè)數(shù)=底面的面積×高=長×寬×高。這與前一節(jié)所學(xué)的長方體的體積公式相吻合，從而可以說明學(xué)生的猜測是正確的。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，充分體現(xiàn)了類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，即通過尋找可測對象和不可測對象之間的關(guān)聯(lián)性，從而將未知的難題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的問題來解決。

教師追問：為什么在測量圖形體積時(shí)，選用正方體作為度量標(biāo)準(zhǔn)，而不用長方體或球體呢？

學(xué)生小組討論交流，討論后匯報(bào)：一方面是由于球體在堆積時(shí)容易產(chǎn)生空隙，這樣就不能準(zhǔn)確地測量長方體的面積；另一方面可以類比思考正方形面積的測量方法，即利用小正方形鋪滿所求圖形的過程可以發(fā)現(xiàn)，無論小正方形如何擺放，最終都只有一種擺放方式，而如果利用長方形來鋪滿圖形時(shí)，會發(fā)現(xiàn)長方形有橫著或豎著兩種不同的擺放方式，這樣在使用時(shí)可能會出現(xiàn)長方形個(gè)數(shù)不唯一的問題，進(jìn)而造成不必要的麻煩。同樣的，在測量圖形體積時(shí)，利用小正方體鋪滿長方體時(shí)，也只有一種擺法，且更容易計(jì)數(shù)。所以在度量體積時(shí)，我們選用小正方體作為度量標(biāo)準(zhǔn)，而不是長方體。

活動2：遷移運(yùn)用，掌握體積測量方法

教師提出問題：下面的長方體和正方體（見圖2），哪個(gè)的體積大？

學(xué)生小組討論，根據(jù)前面掌握的利用小正方體來填充被測對象的方法（見圖3），可以發(fā)現(xiàn)長方體可以用9個(gè)小正方體填充；正方體可以用8個(gè)小正方體填充。所以，據(jù)此可以判斷出長方體的體積比正方體的體積大。

（三）類比推理，理清體積單位進(jìn)率

單位換算也是量感的一個(gè)表現(xiàn)。其中，度量單位的可加和度量單位的多少是掌握單位進(jìn)率的關(guān)鍵要素。然而在常規(guī)課堂的教學(xué)中，部分教師忽視了對單位起源和統(tǒng)一度量單位意義的挖掘和分析，導(dǎo)致各種單位或者單位換算公式難以被學(xué)生接受。因此，為幫助學(xué)生探索和理解常用體積單位間的進(jìn)率，筆者首先讓學(xué)生觀察猜測體積單位間的關(guān)系，然后從學(xué)生熟悉的長度單位、面積單位進(jìn)率入手，引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理得出體積單位的進(jìn)率。

【教學(xué)片段3】

活動1：復(fù)習(xí)回顧，從長度單位到面積單位

教師提出問題：我們常用的長度單位有哪些？

學(xué)生先復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)過的常用的長度單位：人們把1米的長度等分十份，每一份的長度稱為1分米，再把1分米的長度等分十份，每份的長度為1厘米，把1厘米的長度等分十份，每份長度為1毫米等，每相鄰兩個(gè)長度單位間的進(jìn)率是10。

教師繼續(xù)提出問題：人們在一維的長度測量單位基礎(chǔ)上，又是如何創(chuàng)造二維的平面測量單位的？

學(xué)生小組思考，分享交流。由于在長度測量過程中已經(jīng)規(guī)定了長度的單位“米”，據(jù)此人們就規(guī)定了一個(gè)測量面積的標(biāo)準(zhǔn)單位，邊長為1米的正方形面積就是1平方米。以此類推，邊長為1分米的正方形面積就是1平方分米，邊長為1厘米的正方形面積就是1平方厘米。顯而易見，1平方米=1米×1米，1平方分米=1分米×1分米，1平方厘米=1厘米×1厘米。由此可見，兩個(gè)一維長度單位相乘，可以得到一個(gè)測量二維面積單位，所以進(jìn)一步可以推導(dǎo)出相鄰兩個(gè)面積單位之間進(jìn)率為：1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米。

活動2：類比推理，從面積單位到體積單位

教師提出問題：根據(jù)前面的推導(dǎo)過程，你們是否能夠猜到每相鄰兩個(gè)體積單位之間的進(jìn)率是多少？如何驗(yàn)證呢？請?jiān)诒旧袭媹D或者舉例推理。

有學(xué)生認(rèn)為：正方體的體積=底面積×高，棱長為1米的正方體，其體積=1米×1米×1米=1立方米，而1米=10分米，所以，1立方米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米。類比推理可得：1立方分米＝1000立方厘米，所以每相鄰兩個(gè)體積單位之間的進(jìn)率為1000。

有的學(xué)生利用畫圖輔助分析：棱長為1分米的正方體，體積是1立方分米，如果用體積為1立方厘米的小正方體填滿，可以裝1000個(gè)，因此，每行10個(gè)，寬能擺10行，高能擺10層，所以，1立方分米＝1000立方厘米。多種方式表征體積單位之間的進(jìn)率，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和推理能力，落實(shí)核心素養(yǎng)。

教師總結(jié)：將長度單位、面積單位和體積單位及其相鄰單位間的進(jìn)率整理成示意圖，通過對比，可以促進(jìn)知識的系統(tǒng)化。即在初步理解了常見的三個(gè)體積單位間進(jìn)率的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生回憶已經(jīng)學(xué)過的常用面積單位和長度單位間的進(jìn)率，進(jìn)而對這三類度量單位間的進(jìn)率形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

三、教學(xué)小結(jié)

在本節(jié)課教學(xué)中，筆者通過類比推理的方式引導(dǎo)學(xué)生厘清長度、面積、體積等幾何概念，建立度量單位的準(zhǔn)確表象，把握度量本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生深度掌握度量的核心，溝通一維、二維、三維之間的聯(lián)系，使“度量”的知識結(jié)構(gòu)形成體系，促成學(xué)生對幾何學(xué)中度量知識的完整認(rèn)知。

（作者單位：泗陽縣海門實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

編輯：常超波