摘 要：高考解三角形部分注重對(duì)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查.三角形中融入特殊線段問(wèn)題是模擬考試及高考的高頻考點(diǎn)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理處理邊角關(guān)系.這類問(wèn)題的常見(jiàn)類型有：與中線或比例端點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題；與角平分線相關(guān)問(wèn)題；與高線相關(guān)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：中線；角平分線；高線；解三角形

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0030-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：謝新華（1979.8—），男，福建省莆田人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

三角形中的特殊線段問(wèn)題是以三角形為載體，融入中線、角平分線、高線自身的一些性質(zhì)進(jìn)行解題，選填題或解答題的形式都有出現(xiàn)，是學(xué)生的題型盲區(qū).本文圍繞解三角形中遇到中線、角平分線以及高線的相關(guān)題型，歸納常見(jiàn)的一些解題策略，與讀者共享.

1 與中線或比例端點(diǎn)相關(guān)

例1 在△ABC中，AB=22，AC=6，BC邊上的中線AD=5，則△ABC的面積S為（" ）．

A.134" B.34" 392" 53

解法1 如圖1，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，連接CE，又因?yàn)锽D=DC，∠ADB=∠CDE，所以△ABD≌△ECD（SAS）.

所以CE=AB=22，AE=25，△ABC的面積等于△ACE的面積．

在△ACE中，由余弦定理，得

cos∠ACE=AC2+CE2-AE22AC·CE=6+8-202×6×22=-34.

又0lt;∠ACElt;π，則

sin∠ACE=1-316=134.

所以S△ABC=S△ACE=12AC·CEsin∠ACE=12×6×22×134=392［1］．故選C.

解法2 因?yàn)锳D是BC上的中線，

所以AD=12（AB+AC）.

所以|AD|2=14AB2+14AC2+2×14AB·AC.

因?yàn)锳B=22，AC=6，AD=5，

所以4×5=8+6+2×22×6cos∠BAC，

解得cos∠BAC=34 .

因?yàn)椤螧AC∈（0，π），

所以sin∠BAC=1-316=134.

所以S△ABC=12AC·ABsin∠BAC=12×6×

22×134=392．

故選C.

解法3 設(shè)BD=DC=x，在△ABD與△ACD中，由余弦定理可知，

cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=x2-325x，

cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=x2-125x.

因?yàn)椤螦DB+∠ADC=π，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC.

所以x2-325x=-x2-125x，

解得x=2.

所以cos∠ADC=1020.

所以sin∠ADC=39020.

所以S△ABC=2S△ADC=AD·DCsin∠ADC=5×2×39020=392［2］．

求解策略 △ABC中，AD是BC邊上的中線．

策略1 倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等．延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，連接CE，由△ABD≌△ECD可得△ABC面積等于△ACE的面積，利用余弦定理求出cos∠ACE，再求出sin∠ACE，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．

策略2 向量法．因?yàn)锳D=12（AB+AC），兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出cos∠BAC，再求出sin∠BAC，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．

策略3 兩次余弦定理，鄰補(bǔ)角余弦值互為相反數(shù)．由∠ADB+∠ADC=π，

得cos∠ADB=-cos∠ADC，建立方程可求出DC，再分別求出cos∠ADC，sin∠ADC，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．

注 若將條件“AD是BC邊上的中線”改為“BDCD=λ”以上策略也適用．

2 與角平分線相關(guān)

例2 △ABC中，AB=2AC，點(diǎn)D在BC邊上，AD平分∠BAC．

（1）若AD=1，DC=22，求AC的長(zhǎng)；

（2）若AD=AC，且△ABC的面積為7，求BC的長(zhǎng)．

解析 （1）因?yàn)锳D平分∠BAC，

所以BDDC=ABAC=2.

由于DC=22，

所以BD=2.

設(shè)AC=x，則AB=2x.

在△ABD與△ACD中，由余弦定理可知，

cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=3-4x222，

cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=3/2-x22.

因?yàn)椤螦DB+∠ADC=π，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC.

所以3-4x222=-3/2-x22，

解得x=1，即AC=1.

（2）設(shè)∠CAD=θ，AC=t，則

AB=2t，AD=AC=t.

因?yàn)镾△ABC=S△ACD+S△ABD，

所以12·t·2t·sin2θ=12·t·t·sinθ+12·2t·t·sinθ［3］.

所以2sinθcosθ=12sinθ+sinθ.

因?yàn)閟inθ≠0，所以cosθ=34.

所以cos2θ=2cos2θ-1=18.

所以sin2θ=378.

又因?yàn)镾△ABC=12·t·2t·sin2θ=378t2=7，

所以t2=83.

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2=t2+4t2-4t2cos2θ=92×83=12.

所以BC=23．

求解策略 在△ABC中，AD平分∠BAC．

策略1 利用角平分線定理：ABAC=BDDC，可以建立相關(guān)的邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算即可.

策略2 兩次余弦定理，等角余弦值相等或鄰補(bǔ)角余弦值互為相反數(shù)．由∠ADB+∠ADC=π，知cos∠ADB=-cos∠ADC，由余弦定理得到cos∠ADB和cos∠ADC，建立方程求解即可得AC.

策略3 利用兩個(gè)小三角形面積和等于大三角形面積．由S△ABC=S△ACD+S△ABD和△ABC的面積為7，分別求出AC和cos∠BAC，再根據(jù)余弦定理求出BC的值.

3 與高線相關(guān)例3 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，A=π3.

（1）若cosB=277，△ABC的面積為332，求b的值；

（2）若BC邊上的高h(yuǎn)=bc，求5b+2c的最大值．

解析 （1）方法1：因?yàn)閏osB=277，B∈（0，π），

所以sinB=1-cos2B=217.

因?yàn)锳=π3，

所以sinC=sin（A+B）=sin（B+π3）=32114.

由正弦定理，得asinA=bsinB.

所以a=sinAsinB·b=72b.

因?yàn)椤鰽BC的面積為332，

所以S△ABC=332=12absinC=338b2，

解得b=2.

方法2：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)AH=x，因?yàn)锳=π3，所以CH=3x.

因?yàn)閏osB=277，B∈（0，π），

所以sinB=1-cos2B=217.

所以tanB=32.

所以BH=2x.

因?yàn)椤鰽BC的面積為332，

所以S△ABC=332=332x2［4］，

解得x=2.

所以b=2.

（2）依題意可得

12ah=12abc=12bcsinπ3.

則a=32.

則asin（π/3）=bsinB=csin（2π/3-B）=1，

解得b=sinB，c=sin（2π3-B）.

所以5b+2c=5sinB+2sin（2π3-B）

=5sinB+2（32cosB+12sinB）

=6sinB+3cosB

=39sin（B+φ）（sinφ=113）.

因?yàn)閎+cgt;32，

即sinB+sin（2π3-B）gt;32.

故sin（B+π6）gt;12.

所以0lt;Blt;2π3.

即-12lt;cosBlt;1.

當(dāng)B+φ=π2+2kπ（k∈Z），即B=π2-φ+2kπ（k∈Z），即cosB=sinφ=113∈（-12，1）時(shí)，

5b+2c取得最大值，且最大值為39［5］．

求解策略 在△ABC中，AD為BC邊上的高．

策略1 等面積法：AD·BC=AB·AC·sin∠BAC.

策略2 AD=AB·sin∠ABD=AC·sin∠ACD．

策略3 若三角形中已知∠B，∠C，可以作高線得出兩個(gè)小直角三角形的三邊之比．

4 結(jié)束語(yǔ)

三角形中的特殊線段問(wèn)題是命題者關(guān)注的熱點(diǎn).此類問(wèn)題涉及多個(gè)三角形的綜合應(yīng)用，特別是用于中線、角平分線、高線問(wèn)題的多元傳遞，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問(wèn)題.教師可以在教學(xué)中滲透此類問(wèn)題的微專題教學(xué)，以提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)．

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[3] 肖賢偉.概念的有效生成源于探究本質(zhì)：對(duì)“三角形的高、中線與角平分線”教學(xué)的思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016（09）：38-41.

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[5] 謝新華.一道高考題的多解分析［J］.數(shù)理化解題研究，2023（07）：52-55.

［責(zé)任編輯：李 璟］