摘 要：在2024年高考中，新課標(biāo)Ⅰ卷第18題第（3）問、新課標(biāo)Ⅱ卷第16題第（2）問、全國(guó)甲卷（理）第21題第（2）問、新課標(biāo)Ⅱ卷第11題均為“函數(shù)含參討論單調(diào)性”問題.此問題較綜合，學(xué)生往往不能很好地掌握.文章通過化繁為簡(jiǎn)與直觀化的操作，促使學(xué)生輕松掌握.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)含參；單調(diào)性；核心素養(yǎng).

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0087-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：王樹新（1978—），男，福建省泉州人，本科，中級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在高考導(dǎo)數(shù)綜合題中，單調(diào)性是必須討論的問題，因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵[1].“函數(shù)含參討論單調(diào)性”可以考查學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)能力及核心素養(yǎng).

討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性的本質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的正負(fù).而“f ′（x）的正與負(fù)”是解不等式，但在實(shí)操時(shí)，解不等式不如解等式，即令“f ′（x）=0”，然后畫導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的正負(fù)圖，再得到原函數(shù)f（x）的單調(diào)性簡(jiǎn)圖.簡(jiǎn)而言之，教師應(yīng)用“導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)圖”與“原函數(shù)的單調(diào)圖”的直觀性指導(dǎo)解題.

1 “一次型”或“類一次型”

1.1 “一次型”

例1 （2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理第21題）已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx．若f（x）≥0，求a的值.

解析 f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f ′（x）=1-ax=x-ax，且f（1）=0，

①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閒 ′（x）gt;0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則當(dāng)0lt;xlt;1時(shí)，f（x）lt;0，不滿足題意，所以a≤0舍去.

②當(dāng)agt;0時(shí)，令f ′（x）=0，得x=a.

f ′（x）的正負(fù)如圖1所示，f（x）的單調(diào)性如圖2所示.

所以若0lt;xlt;a，則f ′（x）lt;0；若xgt;a，則f ′（x）gt;0.所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），且f（1）=0.

（ⅰ）若alt;1，f（x）在（a，1）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（a，1）時(shí)f（x）lt;f（1）=0，矛盾；

（ⅱ）若agt;1，f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（1，a）時(shí)f（x）lt;f（1）=0，矛盾；

（ⅲ）若a=1，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）≥f（1）=0滿足題意.

綜上所述，a=1.

說明 ①此題為“恒成立問題”，需要求最值，而求最值要先討論函數(shù)的單調(diào)性；

②關(guān)于兩圖要準(zhǔn)確理解：第一個(gè)圖是“導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)圖”，而不是“導(dǎo)函數(shù)的”；第二個(gè)圖是“原函數(shù)的單調(diào)圖”，而不是“原函數(shù)的”.這兩圖僅有“正負(fù)”與“單調(diào)性”是準(zhǔn)確的，也僅取“正負(fù)”及“單調(diào)”，此為“化繁為簡(jiǎn)”與“直觀化”的關(guān)鍵；

③需發(fā)現(xiàn)含參函數(shù)f（x）有f（1）=0，“變”中有“定”；

④解答過程中，“兩圖”可僅在草稿紙中出現(xiàn).

1.2 “類一次型”

例2 （2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷第16題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax-a3．若f（x）有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．

解析 f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f ′（x）=ex-a，且exgt;0恒成立.

①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閒 ′（x）gt;0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值，不

滿足題意，

所以a≤0舍去.

②當(dāng)agt;0時(shí)，令f ′（x）=

0，得x=lna.

f ′（x）=ex-a的正負(fù)等同于y=x-lna的正負(fù)，f ′（x）的正負(fù)如圖3所示，f（x）的單調(diào)性如圖4所示.

圖3 導(dǎo)函數(shù)正負(fù)圖""""""" 圖4 原函數(shù)單調(diào)圖

所以若xlt;lna，則f ′（x）lt;0；

若xgt;lna，則f ′（x）gt;0.

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞）.

所以f（x）的極小值為f（lna）=a-alna-a3，無極大值.

依題意得f（lna）=a-alna-a3lt;0，且agt;0，則a2+lna-1gt;0.

令g（a）=a2+lna-1（agt;0），

則g′（a）=2a+1agt;0恒成立.

所以g（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（1）=0.

不等式a2+lna-1gt;0g（a）gt;g（1）.

所以agt;1.

說明 ①欲回答函數(shù)的極值問題，先討論函數(shù)的單調(diào)性；

②導(dǎo)函數(shù)y=ex-a的正負(fù)等同于函數(shù)y=x-lna的正負(fù)，本著“化繁為簡(jiǎn)”及“直觀化”原則，畫y=x-lna的正負(fù)圖，因此把“y=ex-a”稱為“類一次型”；

③須知，在g（a）=a2+lna-1中，g（1）=0.

1.3 可因式分解的“類一次型”

例3 （2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理第21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．討論f（x）的單調(diào)性.解析 f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1），因?yàn)?/p>

2ex+1gt;0，所以f ′（x）=（aex-1）（2ex+1）的符號(hào)等同于y=aex-1的符號(hào)，且exgt;0恒成立.

①當(dāng)a≤0時(shí)，f ′（x）lt;0，f（x）在R上單調(diào)遞減；

②當(dāng)agt;0時(shí)，令f ′（x）=0，得x=-lna.f ′（x）的正負(fù)等同于y=x+lna的正負(fù)，

f ′（x）的正負(fù)如圖5所示，f（x）的單調(diào)性如圖6所示.

所以若xlt;-lna，則f ′（x）lt;0；

若xgt;-lna，則f ′（x）gt;0.

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（-lna，+∞）.

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)agt;0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（-lna，+∞）.

說明 ①把導(dǎo)函數(shù)因式分解成f ′（x）=（aex-1）（2ex+1）是第一難點(diǎn)[2]；

②f ′（x）的正負(fù)等同于“y=aex-1”的正負(fù)；

③注意到f ′（x）=aex-1中的agt;0，其正負(fù)等同于“y=x+lna”的正負(fù)，屬于“類一次型”.

2 “二次型”或“類二次型”

2.1 不可因式分解的“二次型”

例4 （2015年高考數(shù)學(xué)山東理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R．討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.

解析 因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），f ′（x）=1x+1+2ax-a=2ax2+ax+（1-a）x+1.

①當(dāng)a=0時(shí)，f ′（x）=1x+1gt;0恒成立，

所以f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值.

②當(dāng)a≠0時(shí)，記g（x）=2ax2+ax+（1-a），

△=a2-8a（1-a）=a（9a-8），

（?。┊?dāng)△≤0，即0≤a≤89且a≠0.

即0lt;a≤89時(shí)，g（x）≥0，則f ′（x）≥0.

所以f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）無極值點(diǎn).

（ⅱ）當(dāng)agt;89時(shí)，△gt;0，且x∈（-1，+∞），g（-1）=1（g（x）過點(diǎn)（-1，1）），記2ax2+ax+（1-a）=0的兩根為x1，x2（x1lt;x2），因?yàn)間（x）的對(duì)稱軸為x=-14，

所以-1lt;x1lt;-14，x2gt;-14.

f ′（x）的正負(fù)如圖7所示，f（x）的單調(diào)性如圖8所示.

所以若-1lt;xlt;x1或xgt;x2，則f ′（x）gt;0；若x1lt;xlt;x2時(shí)，f ′（x）lt;0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，x1）與（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x1，x2），

所以f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn).

（ⅲ）當(dāng)alt;0時(shí)，△gt;0，且x∈（-1，+∞），

g（-1）=1（g（x）過點(diǎn)（-1，1）），由韋達(dá)定理，x1x2=1-a2alt;0（兩根異號(hào)），且g（x）開口向下，所以x1lt;-1，x2gt;0，f ′（x）的正負(fù)如圖9所示，f（x）的單調(diào)性如圖10所示.

所以若-1lt;xlt;x2，則f ′（x）gt;0；

若xgt;x2時(shí)，f ′（x）lt;0，

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，x2），單調(diào)遞減區(qū)間為（x2，+∞），

所以f（x）有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)alt;0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有

且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0≤a≤89時(shí)，f（x）在（-1，+∞）

上無極值點(diǎn)；當(dāng)agt;89時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn).

說明 ①欲求函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，需討論f（x）在定義域（-1，+∞）上的單調(diào)性；

②導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的正負(fù)等同于g（x）=2ax2+ax+（1-a）在（-1，+∞）的正負(fù)；

③對(duì)于函數(shù)g（x）=2ax2+ax+（1-a），需要討論其函數(shù)類型（一次或二次）；

④若函數(shù)g（x）為二次函數(shù)，是不可分解的情況，則討論其對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)及分布；

⑤須知g（x）=2ax2+ax+（1-a）過定點(diǎn)（-1，1）.

2.2 可因式分解的“類二次型”

例5 （2016年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文）已知函數(shù)

f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.討論f（x）的單調(diào)性；

解析 因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，f ′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a），且ex恒正，

①當(dāng)a≥0時(shí)，ex+2agt;0，令f ′（x）=0，得x=1，f ′（x）的正負(fù)如圖11，f（x）的單調(diào)性如圖12.

所以若xlt;1，則f ′（x）lt;0；若xgt;1，則f ′（x）gt;0.

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），

②當(dāng)alt;0時(shí)，令f ′（x）=0，得x1=1，x2=ln（-2a），

f ′（x）=（x-1）（ex+2a）的符號(hào)等同于y=（x-1）［x-ln（-2a）］.

（?。┊?dāng)x1=x2時(shí)，即1=ln（-2a），即a=-e2，

f ′（x）的正負(fù)如圖13，f（x）的單調(diào)性如圖14.

若x∈R，則f ′（x）≥0.則f（x）在R上單調(diào)遞增.

（ⅱ）當(dāng)x1lt;x2，即1lt;ln（-2a）且alt;0，即alt;-e2時(shí)，f ′（x）的正負(fù)如圖15所示，f（x）的單調(diào)性如圖16所示.

所以若xlt;1或xgt;ln（-2a），則f ′（x）gt;0；

若1lt;xlt;ln（-2a），則f ′（x）lt;0.

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）與（ln（-2a），+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，ln（-2a））.

（ⅲ）當(dāng)x1gt;x2，即1gt;ln（-2a）且alt;0，即-e2lt;alt;0時(shí)，

f ′（x）的正負(fù)如圖17所示，f（x）的單調(diào)性如圖18所示.

所以若xlt;ln（-2a）或xgt;1，則f ′（x）gt;0；

若ln（-2a）lt;xlt;1，則f ′（x）lt;0.

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，ln（-2a））與（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（ln（-2a），1）.

綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；

當(dāng)-e2lt;alt;0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，ln（-2a）），

（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（ln（-2a），1）；當(dāng)a=-e2時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)alt;-e2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（ln（-2a），+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，

ln（-2a））.

說明 當(dāng)a≥0時(shí)，本質(zhì)是“一次型”；當(dāng)alt;0時(shí)，是可分解的“類二次型”，須進(jìn)一步討論兩根的“大，小，等”三種情況.

3 結(jié)束語“函數(shù)含參討論單調(diào)性”的步驟如下：首先，要定義域優(yōu)先考慮；其次，求導(dǎo)是關(guān)鍵，導(dǎo)數(shù)式中有分式要通分，能因式分解要盡量分解；然后，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)規(guī)律是“（類）一次型”或“（類）二次型”，并且畫出兩圖（導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)圖，原函數(shù)的單調(diào)圖）；最后，再根據(jù)兩圖寫出導(dǎo)函數(shù)的正與負(fù)的范圍及對(duì)應(yīng)的原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

當(dāng)然，“函數(shù)含參討論單調(diào)性”不僅僅只有“（類）一次型”與“（類）二次型”，可能有“（類）三次型”“（類）四次型”等，同樣可以用“化繁為簡(jiǎn)直觀化”的方法來解決.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 柏慶昆，李思念.一道導(dǎo)數(shù)壓軸題的“溯源”與“深延”改編[J].數(shù)學(xué)通訊，2019（16）：42-44.

［責(zé)任編輯：李 璟］