［摘 要］ 為了借助數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)算理一致性，文章以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”一課為例，在教學(xué)中設(shè)計(jì)了三個(gè)環(huán)節(jié)：開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直接探究計(jì)算方法；層層追問(wèn)，體現(xiàn)乘法算理一致性；提問(wèn)質(zhì)疑，深化乘法算理和算法。借助數(shù)形結(jié)合不僅能幫助學(xué)生掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的算理和算法，還能讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想在乘法計(jì)算中的應(yīng)用。

［關(guān)鍵詞］ 算理一致性；筆算乘法；數(shù)形結(jié)合

學(xué)生在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”之前已經(jīng)接觸了表內(nèi)乘法、兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法等內(nèi)容，已經(jīng)具有探究乘法算理和算法的經(jīng)驗(yàn)，本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容是對(duì)兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法的知識(shí)遷移。課始，教師出示生活情境中的乘法例題，讓學(xué)生嘗試解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法；然后，全班學(xué)生一起交流筆算乘法的計(jì)算方法，并比較不同方法之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和算理一致性；最后，全班學(xué)生一起提問(wèn)質(zhì)疑，解決更多與兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法相關(guān)的問(wèn)題。

一、開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直接探究計(jì)算方法

師：（出示例題：學(xué)校要在花壇里擺一些盆花，每行14盆，有12行，一共有多少盆花？）同學(xué)們，這節(jié)課我們來(lái)研究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”，你們能用不同的方法來(lái)探究14×12可以怎么計(jì)算嗎？請(qǐng)你們先在點(diǎn)子圖中圈一圈，再列式算一算。

生1：（邊說(shuō)邊指圖1）我把12分成6和6，先算上面的6個(gè)14，算式是6×14=84；再算下面的6個(gè)14，算式是6×14=84；最后把上面和下面加起來(lái)，算式是84＋84=168。

生2：（邊說(shuō)邊指圖2）我把12分成2和10，先算上面的2個(gè)14，算式是2×14=28；再算下面的10個(gè)14，算式10×14=140；最后把這兩部分加起來(lái)，算式是28＋140=168。

生3：（邊說(shuō)邊指圖3）我是用列豎式的方法計(jì)算的，先用14乘12個(gè)位上的“2”，算式是14×2=28；再用14乘12十位上的“10”，算式是14×10=140；最后把28和140相加，算式是28＋140=168。

生4：（邊說(shuō)邊指圖4）我把14分成10和4，先算左邊的10個(gè)12，算式是10×12=120；再算右邊的4個(gè)12，算式是4×12=48；最后把120和48加起來(lái)，算式是120＋48=168。

生5：（邊說(shuō)邊指圖5）我把14分成7和7，先算左邊的7個(gè)12，算式是7×12=84；再算右邊的7個(gè)12，算式是7×12=84；最后把左邊和右邊兩部分加起來(lái)，算式是84＋84=168。

評(píng)析：在新課導(dǎo)入和探究環(huán)節(jié)中，教師去除了過(guò)多的干擾因素，直接出示例題讓學(xué)生探究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的計(jì)算方法。從學(xué)生“拆數(shù)”的角度看，有的學(xué)生把14拆成兩個(gè)相同的數(shù)，有的學(xué)生把14拆成10和4，有的學(xué)生把12拆成兩個(gè)相同的數(shù)，還有的學(xué)生把12拆成10和2；從學(xué)生探究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的書(shū)寫(xiě)形式看，有的學(xué)生用三個(gè)算式來(lái)表示計(jì)算過(guò)程，有的學(xué)生用列豎式的方式來(lái)表示計(jì)算過(guò)程。

二、層層追問(wèn)，體現(xiàn)乘法算理一致性

1. 溝通計(jì)算方法之間的聯(lián)系

師：剛才同學(xué)們想到這五種方法來(lái)計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，我們一起來(lái)看這五種計(jì)算方法，你們能在點(diǎn)子圖中找到算式中的這些數(shù)嗎？（學(xué)生在點(diǎn)子圖中分別指出算式中的數(shù)）

師：我們通過(guò)點(diǎn)子圖得到這些算式的方法，在數(shù)學(xué)上叫作數(shù)形結(jié)合。這種數(shù)學(xué)思想方法幫助我們根據(jù)直觀的點(diǎn)子圖寫(xiě)出抽象的算式，而且圈出來(lái)的部分和算式是一一對(duì)應(yīng)的。同學(xué)們，我們觀察這五種計(jì)算方法，它們有什么共同點(diǎn)？

生1：這五種計(jì)算方法都是把一個(gè)數(shù)拆成10和幾或者兩個(gè)相同的數(shù)。

生2：這五種計(jì)算方法都是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法，再把兩個(gè)算式的結(jié)果加起來(lái)。

師：如果我們把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法看作新問(wèn)題，把兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法看作舊知識(shí)，就是先把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)，再利用推理的方法解決新問(wèn)題。

2. 溝通不同乘法的計(jì)算方法

師：同學(xué)們，轉(zhuǎn)化的方法在表內(nèi)乘法、兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法中都有體現(xiàn)，你們找到了嗎？

生3：我們?cè)谟?jì)算表內(nèi)乘法的時(shí)候，是把表內(nèi)乘法轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相同加數(shù)的和來(lái)計(jì)算。比如5×9，我們就是用加法5＋5＋5＋5＋5＋5＋5＋5＋5=45或者9＋9＋9＋9＋9=45來(lái)計(jì)算的。

生4：我有補(bǔ)充，我們計(jì)算表內(nèi)乘法的時(shí)候可以把要計(jì)算的乘法口訣轉(zhuǎn)化為已經(jīng)知道的乘法口訣。比如要計(jì)算5×9，如果我們知道4×9=36，可以利用“4個(gè)9加1個(gè)9等于5個(gè)9”得到5×9=36＋9=45；如果我們知道3×9=27，可以利用“3個(gè)9加2個(gè)9等于5個(gè)9”得到5×9=27＋2×9=45。

生5：我們?cè)谟?jì)算兩位數(shù)乘一位數(shù)的時(shí)候，先拆分一個(gè)兩位數(shù)，然后用表內(nèi)乘法和整十?dāng)?shù)乘法來(lái)計(jì)算。比如14×3，我們可以把14分成10和4，利用表內(nèi)乘法3×4和整十?dāng)?shù)乘法10×3來(lái)計(jì)算。

師：我們?cè)谟?jì)算乘法的時(shí)候，都用到了轉(zhuǎn)化法。我們把表內(nèi)乘法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的相同加數(shù)的加法，把兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的表內(nèi)乘法和整十?dāng)?shù)乘法，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法和整十?dāng)?shù)乘法。如果要計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，你們會(huì)怎么轉(zhuǎn)化呢？

生6：我們可以把三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法和整十?dāng)?shù)的乘法。

評(píng)析：為了幫助學(xué)生體會(huì)乘法算理的一致性，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)任務(wù)：第一個(gè)任務(wù)是溝通計(jì)算方法之間的聯(lián)系，先引導(dǎo)學(xué)生比較點(diǎn)子圖與算式，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法；再引導(dǎo)學(xué)生比較五種方法之間的聯(lián)系，引出轉(zhuǎn)化思想；第二個(gè)任務(wù)是溝通不同乘法的計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)來(lái)看待表內(nèi)除法、兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法和三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法等，促使學(xué)生在比較中感受算理一致性。

三、提問(wèn)質(zhì)疑，深化乘法算理和算法

師：同學(xué)們，我們知道了兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的計(jì)算方法，你們還有什么疑問(wèn)嗎？四人小組先交流一下。

師：（投影展示學(xué)生的問(wèn)題）剛才老師收集了同學(xué)們的一些問(wèn)題：第一個(gè)問(wèn)題是交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，積是否會(huì)變化？第二個(gè)問(wèn)題是加法的計(jì)算方法是相同數(shù)位相加，乘法的計(jì)算方法為什么不能相同數(shù)位相乘呢？第三個(gè)問(wèn)題是怎么快速判斷兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法的積到底是幾位數(shù)？同學(xué)們，請(qǐng)先在小組里想一想這三個(gè)問(wèn)題，你們能解決這些問(wèn)題嗎？

生1：我們小組解決了第一個(gè)問(wèn)題，認(rèn)為交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，積不會(huì)變化。比如兩位數(shù)乘兩位數(shù)23×12=276，交換兩個(gè)乘數(shù)的位置就是12×23=276，所以它們的積是不變的。

生2：我們小組解決了第二個(gè)問(wèn)題，認(rèn)為乘法的計(jì)算方法是不能用相同數(shù)位相乘的。比如兩位數(shù)乘兩位數(shù)45×19=855，如果是相同數(shù)位相乘就是十位乘十位40×10=400，個(gè)位乘個(gè)位5×9=45，這樣45×19=400＋45=445，計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的。

生3：我們小組解決了第三個(gè)問(wèn)題，認(rèn)為可以通過(guò)估算快速判斷兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法的積。比如，65×53肯定是四位數(shù)，我們可以把65估計(jì)成60，把53估計(jì)成50，兩個(gè)數(shù)都小估后是60×50=3000，所以這個(gè)算式的積肯定比3000要大，一定是四位數(shù)；28×29的積肯定是三位數(shù)，我們可以把28估計(jì)成30，把29估計(jì)成30，兩個(gè)數(shù)都大估后是30×30=900，所以這個(gè)算式的積肯定比900小，一定是三位數(shù)；37×29的積不能判斷，我們可以把37估計(jì)成40，把29估計(jì)成30，兩個(gè)數(shù)都大估后是40×30=1200，所以不能判斷這個(gè)算式的積是三位數(shù)還是四位數(shù)。

評(píng)析：俗話(huà)說(shuō)：“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)。”這句話(huà)告訴人們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要不斷反思學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)結(jié)果，從而不斷質(zhì)疑學(xué)習(xí)過(guò)程并提出新的問(wèn)題，再尋找新問(wèn)題的解決方案，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度學(xué)習(xí)。本節(jié)課中教師巧妙地安排了提問(wèn)質(zhì)疑的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”這個(gè)主題提出新問(wèn)題并解決這些問(wèn)題，幫助學(xué)生深刻地理解和掌握筆算乘法。

總之，在運(yùn)算教學(xué)中教師不僅要教學(xué)計(jì)算方法和算理，還要幫助學(xué)生溝通前后相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)到算理一致性。比如，乘法計(jì)算都可以利用數(shù)形結(jié)合思想讓抽象的豎式與直觀的圖示進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，計(jì)算過(guò)程都是通過(guò)拆分一個(gè)數(shù)把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)。