［摘 要］ 特級(jí)教師牛獻(xiàn)禮在“認(rèn)識(shí)周長”一課教學(xué)中利用“形”和“數(shù)”結(jié)合幫助學(xué)生建構(gòu)周長概念，通過指和說幫助學(xué)生理解周長的內(nèi)涵，通過測(cè)量幫助學(xué)生計(jì)算圖形的周長，通過“一分為二”策略幫助學(xué)生辨析圖形周長。

［關(guān)鍵詞］ 認(rèn)識(shí)周長；教學(xué)片段；數(shù)學(xué)概念

周長即“一周”的長度：“一周”存在于封閉圖形的邊沿上，“長度”需要學(xué)習(xí)者用直尺等測(cè)量工具去度量。因此，“一周”是度量的對(duì)象，“長度”是度量的結(jié)果。在特級(jí)教師牛獻(xiàn)禮的“認(rèn)識(shí)周長”數(shù)學(xué)公開課上，全班學(xué)生在他的循循善誘下從封閉圖形的“面”上剝離出周長的“形”，通過明確度量對(duì)象“邊線”的方式理解了周長的“量”和周長的數(shù)學(xué)本質(zhì)［１］。

一、在指和說中理解周長的內(nèi)涵

1. 在“三指”中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課本的周長

師：今天我們要學(xué)周長，同學(xué)們之前聽說過嗎？你們認(rèn)為周長是什么意思？

生1：我認(rèn)為周長就是一個(gè)圖形，為四條線的長度，如果圖形有缺口就不是周長。

生2：我覺得周長并不是只指一個(gè)圖形，它是指所有的封閉圖形。只要是封閉圖形，都可以算出它的周長。

師：什么叫封閉圖形？

生2：沒有開口的圖形就叫封閉圖形。

生3：周長是指一個(gè)圖形邊緣一共的長度，即使是凹凸形狀、封閉的圖形也叫周長。

師：摸一摸數(shù)學(xué)書的封面，你們能指出這個(gè)封面的一周在哪里嗎？

生4（邊指邊說）：從數(shù)學(xué)課本的這里開始，然后一直往下到這里就拐過來，最后回到起點(diǎn)，正好重合了。

師：拿起你的數(shù)學(xué)書找一個(gè)起點(diǎn)，指一指這個(gè)封面的一周，邊指邊說從哪里到哪里。（學(xué)生動(dòng)手指封面的一周）

師：必須從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)嗎？從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)到這個(gè)點(diǎn)是一周嗎？老師把數(shù)學(xué)課本的封面圖片放到電腦屏幕上，觀察從這個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，正好繞了一圈，用數(shù)學(xué)的語言表述就叫一周。這一周中紅色邊線的長度叫作周長。（板書：封閉圖形一周的長度叫它的周長）

師：同學(xué)們，我們?cè)倌闷疬@本數(shù)學(xué)書，先仔細(xì)地摸一摸這本數(shù)學(xué)書的封面，再指一指這個(gè)封面的一周，邊指邊說它是什么。（學(xué)生動(dòng)手指封面的一周）

2. 在辨析中理解面和周的區(qū)別

師：我們把數(shù)學(xué)書封面的字、顏色、花紋都去掉，你們覺得“面”和“一周”有區(qū)別嗎？區(qū)別在哪兒？

生5：我覺得周長是它的一周，是指紅色的線段；面是它的面積，是指藍(lán)色部分這一塊。

生6：我覺得一周是空心的，不包括里面部分；面是實(shí)心的，是指里面部分。

生7：我覺得可以把“面”假設(shè)為一塊土地，這一塊土地的大小就叫它的面積；外面的紅線，我假設(shè)它是土地旁邊的一條線，這條線的長度叫一周。

師：這個(gè)比喻很形象，把“面”比作一塊土地，外面的線就好像是土地外面圍的柵欄。

生8：一周就好像外面的一個(gè)保護(hù)線，面就是指里面的犯罪現(xiàn)場。

生9：如果沒有這個(gè)面，就沒有它的一周長度。

3. 在比畫中尋找量角器的周長

師：老師還帶了一個(gè)量角器，它的形狀是半個(gè)圓，誰能指出量角器正面的一周在哪兒？

生10（邊指邊說）：先從量角器的起點(diǎn)出發(fā)，沿著直的線，再向上彎回到起點(diǎn)。

師：老師把量角器的字、顏色、花紋都去掉，數(shù)學(xué)書封面的一周和量角器的一周有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生11：它們都有一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)。

生12：相同點(diǎn)為它們的一周都是空心的，它們的面都是實(shí)心的。不同點(diǎn)為數(shù)學(xué)書是直的，量角器有一個(gè)地方是彎的。

賞析：在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，牛老師從“形”的角度幫助學(xué)生理解“什么是一周”，讓學(xué)生能用自己的語言正確描述或指出一個(gè)平面圖形的周長。牛老師通過對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)：（1）學(xué)生對(duì)“周長”的認(rèn)知并不全面，他們對(duì)周長概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)存在偏差。比如有的學(xué)生認(rèn)為“一周”就是指一星期有7天，有的學(xué)生認(rèn)為曲線無法測(cè)量等。（2）學(xué)生在觀察一個(gè)圖形時(shí)對(duì)“面”和“周”容易混淆，他們對(duì)“周長的本質(zhì)是線段長度”的認(rèn)知也有困難。（3）學(xué)生對(duì)“周長是圖形所有邊長的總和”這個(gè)認(rèn)識(shí)有困難，有的學(xué)生認(rèn)為圖形的曲線不是邊，因此認(rèn)為圓形等圖形沒有周長。為了突破“認(rèn)識(shí)周長”教學(xué)中的重難點(diǎn)，牛老師先借助學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)課本，讓他們?nèi)芜呏高呎f數(shù)學(xué)課本的周長，加深他們對(duì)“封閉圖形一周的長度叫作周長”這個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解；再從具體的生活實(shí)物中抽離出邊線的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生辨析“面”和“一周”的區(qū)別，發(fā)現(xiàn)“一周”是存在于面上的線段，為后面測(cè)量和計(jì)算圖形的周長做好鋪墊；最后，牛老師通過讓學(xué)生找量角器的周長，幫助學(xué)生理解封閉圖形的一周，讓學(xué)生看到彎彎的曲邊也是有長度的，因此量角器是有周長的。

二、在測(cè)量中計(jì)算圖形的周長

1. 計(jì)算直邊圖形的周長

師：如圖1，任選一個(gè)圖形先量一量它的邊長（取整厘米數(shù)），再列式計(jì)算它的周長。什么叫整厘米數(shù)？

生1：整厘米數(shù)指的是整數(shù)。比如，量的時(shí)候會(huì)有誤差，如果量得比2厘米多一點(diǎn)，就把它看成2厘米；如果量得比3厘米少一點(diǎn)，就把它看成3厘米，把測(cè)量結(jié)果看成與它接近的那個(gè)整數(shù)。

師：老師教你一招，可以在邊的旁邊寫上長度，這樣就不會(huì)忘記。誰來說一說計(jì)算了哪些圖形的周長？

生2：我算了平行四邊形的周長，先量出每條邊的長度，上下兩條邊的長度都是3厘米，左右兩條邊的長度都是2厘米，所以周長是（2＋3）×2=10（厘米）。大家有問題嗎？

生3：你量過一條線段后，怎么知道對(duì)面的一條線與它一樣長？

生4：我覺得它們是對(duì)稱的，再量一量就知道了。

生5：我用直尺量出每條邊的長度分別是2厘米、3厘米、2厘米、3厘米，周長是2＋3＋2＋3=10（厘米）。

生6：我計(jì)算了六邊形的周長，先量出一條邊是1厘米，六邊形的每一條邊都是一樣長，所以1×6=6（厘米）。大家還有問題嗎？

生7：你為什么敢確定它們是一樣長的？如果下面的兩條邊稍微長一點(diǎn)點(diǎn)，你就算錯(cuò)了。

生8：我們?cè)倭恳涣烤涂梢粤恕?/p>

2. 計(jì)算曲邊圖形的周長

生9：我算了半圓形的周長，先量出這個(gè)弧形的一半，差不多是2厘米，所以整個(gè)弧形是4厘米；再量出下面一條橫線是3厘米，周長是4＋3=7（厘米）。大家有問題嗎？

生10：你剛才量的是這個(gè)半圓形的半徑，怎么知道那條弧線的長一定是4厘米？

師：她雖然量得不對(duì)，但是這個(gè)錯(cuò)例給了我們啟示，不能用直尺量出弧線的長。對(duì)此，同學(xué)們有好辦法嗎？

生11：我們可以用軟尺量出弧線的長。

生12：如果你有一根毛線的話，可以先在弧線上固定一個(gè)點(diǎn)，把這根毛線沿著弧線繞完整個(gè)半圓形；再用直尺量出這段毛線兩個(gè)點(diǎn)之間的長度。

賞析：在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，牛老師從“量”的角度幫助學(xué)生掌握“一周有多長”，讓學(xué)生能根據(jù)周長的意義通過測(cè)量和計(jì)算等基本方法求出一個(gè)平面圖形的周長。周長存在于封閉圖形的面上，它是一個(gè)“形”；它是指封閉圖形一周的長度，也是一個(gè)“量”［２］。因此，牛老師在教學(xué)周長計(jì)算時(shí)分為兩個(gè)層次：第一個(gè)層次是直邊圖形的周長，學(xué)生在計(jì)算平行四邊形和正六邊形的周長過程中，發(fā)現(xiàn)圖形的周長是把圖形一周的每一條邊的長度相加。這時(shí)，牛老師引導(dǎo)學(xué)生提問“怎么知道對(duì)面的一條線與它一樣長”，培養(yǎng)了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維。第二個(gè)層次是曲邊圖形的周長，這是學(xué)生認(rèn)知過程中的難點(diǎn)。牛老師通過讓學(xué)生計(jì)算半圓形的周長，引導(dǎo)學(xué)生暴露錯(cuò)誤思考，讓學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)可以用軟尺或毛線測(cè)量半圓形的曲邊，同時(shí)讓他們發(fā)現(xiàn)在計(jì)算半圓形周長時(shí)還要加上一條直直的邊。通過計(jì)算這兩類圖形的周長，學(xué)生對(duì)“周長是封閉圖形一周所有邊線的長度總和”有了清晰的認(rèn)知。

三、在“一分為二”中辨析圖形周長

師：畫一畫，在下面的長方形里畫一條線，把長方形分成兩個(gè)圖形，使分成的兩個(gè)圖形的周長相等，可以怎樣畫？同學(xué)們能想出幾種不同的畫法？老師給你提供了四個(gè)長方形，結(jié)果有可能比四種少，也有可能比四種多。如果長方形不夠了，自己可以在旁邊添加長方形，然后畫出來。

生1：第一種，沿著寬的中點(diǎn)橫著畫一條線；第二種，沿著長的中點(diǎn)豎著畫一條線；第三種，沿著左上到右下畫一條對(duì)角線；第四種，沿著右上到左下畫一條對(duì)角線。

生2：我有補(bǔ)充，在左上角頂點(diǎn)向右邊和右下角頂點(diǎn)向左邊取相同長度的兩個(gè)點(diǎn)，把這兩個(gè)點(diǎn)連起來。

師：老師受到這位同學(xué)的啟發(fā)，畫了一條彎曲的線。如圖2，把長方形分成了A和B兩部分。這兩部分的周長一樣嗎？

生3：它們的周長是一樣的。A的周長是一橫一豎一彎，B的周長也是一橫一豎一彎。一橫一豎是一樣長，一彎是相同的，所以A和B的周長是一樣的。

賞析：在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，牛老師從培養(yǎng)能力和發(fā)展素養(yǎng)的角度引導(dǎo)學(xué)生探索“把長方形一分為二”，讓學(xué)生能應(yīng)用周長的含義進(jìn)行較復(fù)雜圖形的判斷和推理，并解決數(shù)學(xué)問題［３］?！鞍验L方形一分為二”，這是一個(gè)低起點(diǎn)的開放題，既能讓不同水平的學(xué)生都參與到這道數(shù)學(xué)題的思考過程中，也能讓學(xué)有余力的學(xué)生創(chuàng)造出更多的不同畫法。在匯報(bào)交流中，學(xué)生一開始想到的是沿著寬的中點(diǎn)畫、沿著長的中點(diǎn)畫、沿著對(duì)角線畫等常規(guī)畫法，在不斷深入思考中發(fā)現(xiàn)從上邊和下邊取長度相同、從左邊和右邊取長度相同、任意曲線連接對(duì)角線等創(chuàng)意畫法，由此得出這道開放題有無數(shù)種做法的結(jié)論。同時(shí)，牛老師引導(dǎo)學(xué)生從周長的角度比較A和B這兩部分周長相等的原因，又一次加深了學(xué)生對(duì)“周長是封閉圖形一周所有邊線的長度總和”這個(gè)周長的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

總之，在概念教學(xué)中教師不僅要讓學(xué)生知道概念的含義，還要讓學(xué)生具有理解概念的能力，并在具體情境中運(yùn)用這個(gè)概念解決實(shí)際問題。這個(gè)學(xué)習(xí)過程是讓學(xué)生從原來的知識(shí)識(shí)記到創(chuàng)造應(yīng)用的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的過程［４］。牛老師精心設(shè)計(jì)的“認(rèn)識(shí)周長”一課，讓學(xué)生經(jīng)歷了回憶與再現(xiàn)、問題解決與應(yīng)用、思維遷移與創(chuàng)造等過程。這個(gè)教學(xué)過程蘊(yùn)藏著大量的數(shù)學(xué)思維，教師要通過一次次激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生從“形”和“數(shù)”的角度建構(gòu)起周長的數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生區(qū)分“周長”和“面積”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 殷如意，劉文，楊傳達(dá). 基于問題學(xué)習(xí) 發(fā)展核心素養(yǎng)——以“圓的周長”教學(xué)設(shè)計(jì)為例［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０２２（１２）：１２－１３，２０.

［２］ 湯倩. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)魅力——《圓的周長》教學(xué)片斷與賞析［Ｊ］. 小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，２０２２（２３）：６２－６４.

［３］ 周婷婷. 浸潤數(shù)學(xué)文化課堂，汲取學(xué)科核心素養(yǎng)——《圓的周長》教學(xué)實(shí)踐與思考［Ｊ］. 數(shù)學(xué)之友，２０２２，３６（１５）：４１－４３，４７.

［４］ 解海霞. 問題重組 融會(huì)貫通——“圓的周長”教學(xué)實(shí)踐與反思［Ｊ］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），２０２２（０９）：３７－３９.