［摘 要］ “證據(jù)”是教師循證教學的重要依托，它能助推教師的教學創(chuàng)新。循證教學是一種基于“證據(jù)”的教學，具有科學性、合理性、指向性、高效性等特質，能讓學生的數(shù)學學習真正發(fā)生、深度發(fā)生、持續(xù)發(fā)生。

［關鍵詞］ 小學數(shù)學；循證教學；學習發(fā)生

學生的數(shù)學學習如何真正發(fā)生？學生的數(shù)學學習如何深度發(fā)生？學生的數(shù)學學習如何持續(xù)發(fā)生？這三個問題是一個必須回答和有現(xiàn)實緊迫感的問題。在提升學生學習力、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的背景下，這三個問題的意義和價值更加凸顯出來。筆者認為，一切的教學只有基于學生的“最近發(fā)展區(qū)”才是有效的教學。循證教學是一種基于“證據(jù)”的教學，是一種具有科學性、現(xiàn)實性品質的教學。教師只有不斷地發(fā)掘、收集、管理、應用“證據(jù)”，才能讓學生數(shù)學學習走向自然、走向深度、走向高效?！白C據(jù)”是教師教學的“導航儀”“方向盤”，是學生數(shù)學學習的“腳手架”“發(fā)動機”，是教學診斷的“聽診器”“溫度計”。實踐證明，基于“證據(jù)”的循證教學，能精準定位學生“學的目標”、優(yōu)化學生“學的方式”、精確點擊“學的反饋”。

一、循證教學：讓學生的數(shù)學學習真正發(fā)生

學生的數(shù)學學習真正發(fā)生的一個重要前提是：學生的數(shù)學學習是內生的而不是外塑的。換言之，學生的數(shù)學學習是一種自主的、自發(fā)的、自能的學習過程?；凇白C據(jù)”的循證教學時，教師要充分發(fā)現(xiàn)“證據(jù)”、發(fā)掘“證據(jù)”、收集“證據(jù)”等，進而能設計切入學生數(shù)學學習“最近發(fā)展區(qū)”的預案?？梢赃@樣說，教師設計的預案其背后的“證據(jù)”越豐富，預案的針對性、實效性就越強，預案也就越能切入學生數(shù)學學習的“最近發(fā)展區(qū)”。為此，教師要舒展自我多種感官，用眼睛去看學生的課堂表現(xiàn)、課后作業(yè)；用耳朵去聽學生的課堂發(fā)現(xiàn)、課后交流；用頭腦去判別、判定學生的錯誤成因、障礙、困惑等。只有這樣，教師才能獲得關于學生數(shù)學學習的第一手的“現(xiàn)場資料”。這些來自學生的直接的現(xiàn)場資料，就是教師教學的最有力、最有效的“證據(jù)”。

基于“證據(jù)”的數(shù)學教學，超越了傳統(tǒng)的經(jīng)驗性教學，更不是那種主觀臆測性的教學。在循證教學中，“證據(jù)”是載體、媒介，“證據(jù)”是驅動引擎?！白C據(jù)”從來源上可以分為學科性“證據(jù)”和學情性“證據(jù)”；從屬性上可以分為顯性“證據(jù)”和隱性“證據(jù)”；從特質上可以分為定性“證據(jù)”和定量“證據(jù)”；從功能上可以分為直接“證據(jù)”和間接“證據(jù)”。

比如教學“分數(shù)的初步認識（一）”這一部分內容時，筆者借助問卷調查法對學生的分數(shù)前概念等進行調查。結果發(fā)現(xiàn)，學生對分數(shù)的認識不是“一張白紙”：有的學生知道“一半”這樣的一個概念，有的學生知道“半個”這樣的概念，還有的學生知道“一半的一半”這樣的概念等?；谶@樣的“證據(jù)”，筆者在教學中就充分應用學生的“前概念”“前理解”，引導學生自主建構“分數(shù)”的概念，從“一半”“半個”等“前概念”引導學生建構“”這個分數(shù)，尤其是引導學生建立“一個物體的一半是半個”這樣的一種科學性的分數(shù)概念。這樣的分數(shù)概念建構能為學生后續(xù)學習“一個物體的幾分之幾”以及“許多物體組成的整體的幾分之一”等相關知識奠定堅實基礎。在引導學生借助已有知識經(jīng)驗、生活經(jīng)驗建構分數(shù)“”之后，筆者引導學生建構“一半的一半”“半個的半個（學生的說法）”所對應的分數(shù)“”。這種基于“證據(jù)”的數(shù)學教學順應了學生的認知經(jīng)驗、認知傾向、認知風格，讓學生的數(shù)學學習自然發(fā)生、真正發(fā)生。

循證教學要求教師在教學中積極地發(fā)掘、收集“證據(jù)”?；凇白C據(jù)”開展的循證教學，讓學生的數(shù)學學習成為一個內生性的過程，讓學生的數(shù)學學習從傳統(tǒng)的“要我學”轉向“我要學”。學生的學習動機是內生的，學生的學習動力是自發(fā)的，學生的學習方式是自主的，學生的學習狀態(tài)是自由的。在循證教學中，正如美國教育心理學家奧蘇貝爾所說：“如果將全部的教育心理學歸為一句話，我一言以蔽之，就是要把握學生已經(jīng)知道了什么，并據(jù)此開展教學。”

二、循證教學：讓學生的數(shù)學學習深度發(fā)生

基于“證據(jù)”的循證教學，要讓教師有“證”可依、有“證”必依、用“證”必嚴（嚴格）、違“證”必糾（糾正錯誤等）。這就要求教師在教學中不僅要發(fā)掘“證據(jù)”、收集“證據(jù)”，還要精心篩選、遴選“證據(jù)”，豐富、完善“證據(jù)”，讓“證據(jù)”經(jīng)得住審視、經(jīng)得住拷問、經(jīng)得住衡量。只有“證據(jù)”有力、“證據(jù)”有效、“證據(jù)”科學、“證據(jù)”合理，學生的數(shù)學學習才能深度發(fā)生。

基于“證據(jù)”的循證教學，教師要積極尋找感性“證據(jù)”、現(xiàn)象“證據(jù)”，尋找理性“證據(jù)”、本質“證據(jù)”，要從“證據(jù)”的表層潛入“證據(jù)”的內里，從現(xiàn)象“證據(jù)”過渡到本質“證據(jù)”。只有這樣，“證據(jù)”才能成為學生數(shù)學學習有力、有效的支撐。

比如教學“平行四邊形的面積”這一部分內容時，筆者借助訪談法了解學生對“平行四邊形的面積”的一些原始性的認識、想法：有的學生認為平行四邊形的面積等于底乘高，有的學生認為平行四邊形的面積等于底乘斜邊，有的學生認為平行四邊形的面積等于底和斜邊的和，有的學生認為平行四邊形的面積等于平行四邊形四條邊的長度和等。筆者還了解學生對平行四邊形的面積推導的一些原始性的認識、想法：有的學生認為可以將平行四邊形放置到方格紙中，用數(shù)方格的方法來進行測量；有的學生認為可以將平行四邊形推拉成長方形，借助于長方形的面積來推導平行四邊形的面積；有的學生認為可以將平行四邊形沿著高剪拼成長方形，借助于長方形的面積來推導平行四邊形的面積等。這樣的一些“原始材料”是學生數(shù)學原初觀念、思考的呈現(xiàn)，是學生的內隱思維、認知的可視化。這樣的“證據(jù)”對于教師的教學設計具有重要的意義和價值，是教師教學設計首先要思考、研究的問題。針對學生可能會出現(xiàn)的諸種關于平行四邊形的面積、平行四邊形的面積推導的猜想，教師應針對性、多樣性地設計出與之相匹配的教學預案。比如，引導學生辨析、比較平行四邊形的周長和平行四邊形的面積；引導學生觀察平行四邊形推拉成長方形的過程，進而讓學生發(fā)現(xiàn)平行四邊形推拉成長方形或長方形推拉成平行四邊形時面積發(fā)生變化而周長不變的特性；引導學生沿著平行四邊形的高剪開，將平行四邊形分成兩個直角梯形或一個直角三角形和一個直角梯形，然后拼成長方形等。多樣性的教學預案讓教師的教學與學生的學習能“對鉚”，讓教師的教學更具有針對性、實效性，讓學生的數(shù)學學習能深度發(fā)生。

循證教學是一種“看得見”“摸得著”的教學，是一種“有根有由”“有理有據(jù)”的教學。小學數(shù)學循證教學不僅要注重學生數(shù)學學習的顯性“證據(jù)”，更要注重學生數(shù)學學習的隱性“證據(jù)”；不僅要注重現(xiàn)象“證據(jù)”，更要注重本質“證據(jù)”；不僅要注重質性“證據(jù)”，更要注重量化“證據(jù)”等。只有讓“證據(jù)”從淺表走向本質，才能讓學生的數(shù)學學習深度發(fā)生。教師要不斷地豐富“證據(jù)”、完善“證據(jù)”，讓“證據(jù)”會說話、能說話，要充分發(fā)揮“證據(jù)”的育人功能，彰顯“證據(jù)”的育人價值，讓“證據(jù)”不僅成為教學的起點、依據(jù)、條件，還成為教學的載體、媒介。

三、循證教學：讓學生的數(shù)學學習持續(xù)發(fā)生

循證教學中的“證據(jù)”不是一成不變的，而是動態(tài)發(fā)展生成著的。教師要跟進“證據(jù)”、跟蹤“證據(jù)”，對“證據(jù)”進行應用、評價。只有跟進“證據(jù)”，才能讓學生的數(shù)學學習持續(xù)發(fā)生。在小學數(shù)學循證教學中，教師要善于將“證據(jù)”串接、并聯(lián)、混聯(lián)起來，從而深化學生的認知、理解。教學中，教師還要及時補充相關“證據(jù)”，讓“證據(jù)”成為“證據(jù)”鏈、“證據(jù)”塊、“證據(jù)”群，讓“證據(jù)”彼此之間相互支撐、相互支持、相互促進、相互映射，讓“證據(jù)”形成一種規(guī)模效應。循證教學是一種“以終為始”的教學方式，是一種“逆向教學”方式，是一種“追求理解的教學設計”。

“循證”這一術語原本發(fā)端于20世紀90年代的醫(yī)學領域。當時的“循證醫(yī)學”旨在通過系列性技術手段來獲得對病人的最優(yōu)診斷、臨床決策依據(jù)等。因此，將“循證”這一術語、思想和方法引入數(shù)學學科教學時，就是要消除教師教學的主觀臆斷、臆測，消除那些偽化教學、虛化教學等，讓教學更具有科學性、合理性、持久性的品質、品性。在循證教學中，好的“證據(jù)”不僅能讓教師把握學生的認知水平，還能對學生數(shù)學學習形成有效預測。比如教學“三角形的高”這一部分內容時，通過對以往學生數(shù)學學習問題、障礙、困惑的記載，筆者發(fā)現(xiàn)學生容易畫出銳角三角形的高，而對于鈍角三角形的高尤其是在三角形外部的高，學生不容易理解。

基于此，筆者在教學中將“高”的內涵、定義作為教學的重點，引導學生將“垂直”概念作為教學的先行組織者，讓學生過一點作已知直線的垂線。此外，筆者引出多種變式，讓學生過一點畫不同方向直線的垂線，讓學生從直線外不同方向的點向直線引垂線等。這樣的先行組織為學生學習“三角形的高”等相關知識奠定了堅實的基礎。學生在畫三角形高的過程中，能夠深刻認識到三角形的底和高的對應關系，認識到每一個三角形都有三條與之相對應的高等。“三角形的高”的循證教學能為學生后續(xù)學習“平行四邊形的高”“梯形的高”等相關知識等奠定堅實基礎?？梢赃@樣說，從“垂直”中的“點到直線的距離”“直線與直線之間的距離”到“畫高”中的“三角形的高”（點到直線的距離）與“平行四邊形的高”“梯形的高”（兩條直線之間的距離）等，學生的數(shù)學學習是持續(xù)發(fā)生的。持續(xù)發(fā)生的數(shù)學學習不僅能讓學生把握“畫三角形的高”和“畫平行四邊形的高”“畫梯形的高”的區(qū)別，還能讓學生認識“垂直”“距離”“高”等相關概念的一致性。循證教學讓教師的教學決策更優(yōu)化，讓學生的數(shù)學思維、認知顯性化，讓學生的數(shù)學學習持續(xù)發(fā)生。

小學數(shù)學循證教學以“證據(jù)”診斷結果等為依據(jù)，改變了教師教學的機械性、盲目性狀態(tài)。循證教學開辟了學生數(shù)學學習更多的、更大的可能，賦予了學生充分的自主性、自能性學習的時空，讓學生的數(shù)學學習走向了深刻、深度。高質量的數(shù)學課堂教學需要教師的循證思維，需要依靠教師的循證認知。唯有如此，數(shù)學循證教學才具有科學性、合理性，才具有指向性、高效性。

循證教學要求教師在教學中不斷收集、整理“證據(jù)”，不斷豐富、完善“證據(jù)”，不斷補充、拓展“證據(jù)”；要求教師精準聚焦“證據(jù)”，有效跟蹤“證據(jù)”，靈活應用“證據(jù)”?！白C據(jù)”是教師循證教學的重要依托，它能助推教師的教學創(chuàng)新。教師要在循證教學中牢固樹立實證性的思維，形成循證性的認知。實踐證明，循證教學能助推學生的數(shù)學學習真正發(fā)生，也能助推學生的數(shù)學學習深度發(fā)生、持續(xù)發(fā)生。