［摘 要］ 研究者以“認(rèn)識幾分之一”教學(xué)為例，借助“等分圓”工具、微視頻等信息技術(shù)對傳統(tǒng)課堂進(jìn)行優(yōu)化，引導(dǎo)學(xué)生對“數(shù)”進(jìn)行“思維圖示→關(guān)聯(lián)對比→縱橫聯(lián)系”逐級抽象，發(fā)展小學(xué)生的數(shù)感和抽象思維。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)感抽象；分?jǐn)?shù)；技術(shù)融合

培育學(xué)生數(shù)感是新課改背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱2011版數(shù)學(xué)課標(biāo)）比較，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)）再次提出并進(jìn)一步明確指出了“數(shù)感”的主要內(nèi)容以及學(xué)生建立數(shù)感的意義，如表1所示。

由此可見，小學(xué)階段是培育數(shù)感的主陣地，是建立抽象思維的關(guān)鍵期。對小學(xué)生來說，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等“數(shù)”本身很抽象，教學(xué)中教師要為學(xué)生提供充分的可感知的生活材料，讓學(xué)生對這些數(shù)概念與它們所表示的實(shí)際含義建立聯(lián)系，建立數(shù)感。但目前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂在培育學(xué)生數(shù)感方面缺乏具體引導(dǎo)，使學(xué)生在認(rèn)識“數(shù)”時過分依賴教師的講解和模仿，無法主動將間接的新知和自己的直接經(jīng)驗(yàn)整合，導(dǎo)致抽象思維難以有效構(gòu)建。

其中分?jǐn)?shù)的數(shù)感培養(yǎng)最為困難，因?yàn)椴煌谡麛?shù)、小數(shù)和負(fù)數(shù)，學(xué)生在日常生活中基本接觸不到分?jǐn)?shù)。但分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，可以說是小學(xué)“數(shù)”學(xué)習(xí)的一個分水嶺。因?yàn)閺恼J(rèn)識分?jǐn)?shù)開始，學(xué)生對“數(shù)”的學(xué)習(xí)開始從具體的數(shù)量擴(kuò)展到關(guān)系和率，從具象慢慢轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄?，其?shù)學(xué)抽象思維開始真正得到孕育。

如何實(shí)現(xiàn)抽象的“數(shù)”的具象化學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感呢？筆者以“認(rèn)識幾分之一”一課教學(xué)為例，結(jié)合具體的教學(xué)片段，探析如何借助適切的信息技術(shù)優(yōu)化數(shù)感課堂教學(xué)路徑，幫助學(xué)生更清楚地認(rèn)識分?jǐn)?shù)，理解數(shù)的意義，完善數(shù)認(rèn)識框架，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和抽象思維。

一、一級抽象：借助情境，建立思維圖示

數(shù)感的主要表現(xiàn)之一就是能夠在真實(shí)情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序。因此發(fā)展數(shù)感要讓學(xué)生在貼近現(xiàn)實(shí)情境的素材中經(jīng)歷由數(shù)量或數(shù)量關(guān)系到數(shù)的抽象過程，建立起這類數(shù)的產(chǎn)生以及數(shù)的意義的思維圖示，進(jìn)而理解和掌握數(shù)概念，形成數(shù)感。

“認(rèn)識幾分之一”是學(xué)生從整數(shù)認(rèn)識跨越到分?jǐn)?shù)認(rèn)識的第一課。整數(shù)是對具體數(shù)量的抽象，而分?jǐn)?shù)不僅是具體數(shù)量的抽象，還反映一種對整體和部分的關(guān)系認(rèn)識的思維方式，分?jǐn)?shù)概念要建立的思維圖示是一種數(shù)量關(guān)系的圖示。這對于三年級學(xué)生而言，抽象思維的要求更高。

為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確而快速地建立分?jǐn)?shù)的思維圖示，筆者在導(dǎo)入環(huán)節(jié)密切聯(lián)系生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的春游野餐分食物的情境，引導(dǎo)學(xué)生在“分蘋果、分礦泉水、分蛋糕”的分物活動中得出一半可以用來表示：先從“一半”抽象出整體和部分的關(guān)系，再抽象出“分?jǐn)?shù)符號”。這樣，以“一半”的生活經(jīng)驗(yàn)為連接點(diǎn)，既溝通分?jǐn)?shù)與生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，又引導(dǎo)學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)和整數(shù)1之間的聯(lián)系。這是分?jǐn)?shù)概念認(rèn)識的第一次抽象，讓學(xué)生經(jīng)歷從具象的生活材料到抽象的數(shù)，使分?jǐn)?shù)的“關(guān)系思維圖示”建立得具體而直觀。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)的讀寫時，教師用一段40秒的微視頻動畫開門見山、形象生動地介紹的讀寫和分?jǐn)?shù)各部分名稱及意義，借助信息技術(shù)優(yōu)勢，讓學(xué)生快速而鮮活地建立起分?jǐn)?shù)的符號圖示。

教學(xué)片段1：創(chuàng)設(shè)情境，引入分?jǐn)?shù)，初建關(guān)系圖示

情境：丁丁和靈靈在春游活動中遇到了一些和數(shù)有關(guān)的問題。

師：（出示4個蘋果、2瓶水、1個蛋糕）你們能幫他們把這些東西分一分嗎？

生1：每人2個蘋果、1瓶水。

師：每份分得同樣多，數(shù)學(xué)上叫作平均分。

師（追問）：蛋糕只有1個了，還能平均分成2份嗎？每人分得多少？一半該用怎樣的數(shù)來表示呢？

師（揭題）：像這樣的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。今天我們就一起來認(rèn)識幾分之一。（板書：幾分之一）

教學(xué)片段2：微視頻教學(xué)，開門見山，構(gòu)建符號圖示

教學(xué)分?jǐn)?shù)的讀寫：二分之一到底長什么樣呢？我們一起來看一個視頻。（播放視頻）

教師示范，學(xué)生書寫、跟讀。

師：這是蛋糕的，那這1份呢？

生（齊聲答）：也是蛋糕的。

師：的意義是指把1個蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一。

師：現(xiàn)在，你們能說說是怎么得到這個蛋糕的二分之一的嗎？

設(shè)計(jì)意圖：把1個蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一，這是學(xué)生要建立的關(guān)于分?jǐn)?shù)的思維圖示。教師先從學(xué)生熟悉的“分物”的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循學(xué)生已有認(rèn)知規(guī)律，建立分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的來源圖示：當(dāng)平均分的結(jié)果無法用整數(shù)來表達(dá)的時候，產(chǎn)生“分?jǐn)?shù)”；然后，以“一半”為連接點(diǎn)，初步建立部分和整體關(guān)系圖示；最后，用微視頻趣味性地介紹分?jǐn)?shù)各部分名稱及讀寫，清晰而形象地建立的符號圖示。整個圖示建立過程全部借助具體情境，既有現(xiàn)實(shí)生活情境，還包括虛擬的視頻動畫情境。教師在建立思維圖示的過程中一步步引導(dǎo)學(xué)生將情境中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系抽象成“分?jǐn)?shù)”，初步發(fā)展學(xué)生數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生深度思考。

二、二級抽象：類推拓展，形成關(guān)聯(lián)對比

從具象到抽象、再從抽象到具象是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的常用路徑。前面的教學(xué)環(huán)節(jié)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了從具體的情境中抽象出這個分?jǐn)?shù)，那么從抽象到具象是什么意思？又該如何實(shí)施？筆者認(rèn)為，要讓抽象的數(shù)回歸到具象的情境中，讓學(xué)生對同一個數(shù)、同一類數(shù)進(jìn)行多元化表征，并在各種表征內(nèi)部和表征之間進(jìn)行關(guān)聯(lián)對比，從而在不同的情境中實(shí)現(xiàn)類推和拓展，抽象出數(shù)的本質(zhì)意義，理解數(shù)概念。在初步建立分?jǐn)?shù)的思維圖示后，教師要讓學(xué)生從具體實(shí)物（如半個蛋糕）表征，進(jìn)一步發(fā)展到能用圖形表征和準(zhǔn)確用語言表征，并嘗試主動推理，能用情境、操作、語言、符號等多元方式表征出、等同類分?jǐn)?shù)，這才是數(shù)感抽象思維的進(jìn)一步發(fā)展。

1. 以形助數(shù)，關(guān)聯(lián)對比

教學(xué)片段3：不同折法表示相同分?jǐn)?shù)

師：這是蛋糕的，老師這兒還有1張長方形紙，它的該怎么表示呢？

活動要求：拿1張長方形紙，先折一折，把它的涂上顏色。

收集學(xué)生作品進(jìn)行展示、評價，如表2所示。

師（小結(jié)）：看來，大家的折法不同。只要平均分成2份，每份就是它的二分之一。

教學(xué)片段4：不同圖形表示相同分?jǐn)?shù)

師：除了二分之一，你們還想認(rèn)識幾分之一呢？你們能不能像剛才折一折那樣，用1張紙表示想認(rèn)識的幾分之一？

活動要求：拿1張紙折一折，用斜線表示出自己想認(rèn)識的幾分之一，拍照提交，并說一說把1個圖形平均分成幾份，每份是它的幾分之一。

收集學(xué)生作品進(jìn)行展示、評價，如表3所示。

師（啟發(fā)抽象）：之前用長方形表示，還只是折法不同，這次連圖形也不一樣了，為什么涂色部分都是它們的呢？

師（小結(jié)）：看來，不同的圖形能表示相同的分?jǐn)?shù)。

設(shè)計(jì)意圖：兩次折紙操作幫助學(xué)生把對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識從實(shí)物的蛋糕抽象到圖形：第一次用實(shí)物長方形紙折出二分之一，通過對比感悟不同折法能表示相同的分?jǐn)?shù)；第二次用不同形狀的紙（長方形紙、正方形紙、圓形紙等）折出學(xué)生想認(rèn)識的幾分之一，通過對比感悟用不同圖形能表示相同的分?jǐn)?shù)。兩次“具象可感”的操作表征和口語表征，兩次不同角度的關(guān)聯(lián)對比，引導(dǎo)學(xué)生從豐富感性的材料中逐步抽象出幾分之一的本質(zhì)含義，幫助學(xué)生進(jìn)一步聚焦分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)，加深對分?jǐn)?shù)的理解。其中，在第二次折紙活動中，由于材料的豐富性和生成資源的多樣性，筆者果斷選用了信息技術(shù)的軟件拍照收集和資源對比功能，讓師生交流更充分、學(xué)生展示更廣泛，讓對比更聚焦，既有效增強(qiáng)了課堂的互動性和學(xué)生成果的可視性，又大大提高了課堂生成資源的利用率。

2. 以形補(bǔ)數(shù)，拓展對比

教學(xué)片段5：趣味拓展，對比辨析

練習(xí)鞏固：如圖1，下面圖形的涂色部分都能表示它們的嗎？請把圖形寶寶送回家。

學(xué)生獨(dú)立判斷，在平板上拖動圖片，把圖形拖到對應(yīng)蘑菇房下面的紅色框內(nèi)。

教師查看練習(xí)數(shù)據(jù)并提問：這4幅圖不是都分成了2份嗎？為什么①和④不能用表示？

生1：①和④沒有平均分，②和③是平均分。

師（小結(jié)）：看來平均分很重要。不管是1個蛋糕、1個長方形，還是1個六邊形或是其他圖形，只要把它平均分成2份，每份就是它的二分之一。

設(shè)計(jì)意圖：在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師利用“尚學(xué)互動平臺”的“圖片拖動控件”讓學(xué)生自主辨析。分類完成后，學(xué)生能實(shí)時得到反饋并糾正、完善認(rèn)識，也幫助教師更快更全面地了解學(xué)生對分?jǐn)?shù)的掌握情況，實(shí)現(xiàn)針對性講評。通過此環(huán)節(jié)進(jìn)行的關(guān)聯(lián)類比，教師充分引導(dǎo)學(xué)生通過觀察比較、分類、辨析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：只有平均分，其中的1份才能用分?jǐn)?shù)來表示，抽象出分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的本質(zhì)；不同圖形、不同物體平均分的份數(shù)相同，表示每份大小的分?jǐn)?shù)也相同，進(jìn)一步抽象出分?jǐn)?shù)的含義。通過正、反例的兩層關(guān)聯(lián)對比，讓學(xué)生經(jīng)歷符號化的過程，進(jìn)而發(fā)展數(shù)感。

教學(xué)片段6：技術(shù)補(bǔ)位，突破局限

師：用不同的圖形能表示相同的分?jǐn)?shù)。那相同的圖形能表示不同的分?jǐn)?shù)嗎？你們還想表示幾分之一？

生2：。

生3：。

生4：。

師（提出疑問）：剛才在折的時候，老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們表示的大部分都是、、，為什么沒人折出、、呢？

師：有一些幾分之一用折紙來表示很困難。不著急，這次老師給大家?guī)砹艘粋€好工具，如圖2所示。想不想試試？

（1）議一議，與同桌商量，2個人要分別表示不同的幾分之一。

（2）點(diǎn)一點(diǎn)，點(diǎn)擊+或-，把圓平均分，并給其中1份涂色。

（3）寫一寫，寫出你表示的分?jǐn)?shù)，截屏上傳。

（4）比一比，與同桌比較，誰表示的分?jǐn)?shù)大？

學(xué)生通過平板學(xué)生端分一分、寫一寫、比一比，教師收集學(xué)生作品進(jìn)行展示、評價，如表4所示。

師（總結(jié)）：像、、，還有前面學(xué)習(xí)的、、等，這些分?jǐn)?shù)就是我們今天要學(xué)習(xí)的幾分之一。

師：怎么比較分?jǐn)?shù)的大小呢？（對比呈現(xiàn)、的圖）比較涂色部分，哪個分?jǐn)?shù)更大？

師（追問）：明明這里2比4小，為什么比大呢？

生5：平均分成2份，每份比平均分成4份要大。

師：呢？（出示的圖）是不是和你們想的一樣？呢？再繼續(xù)往下分呢？你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：平均分的份數(shù)越多，每份就越小。

師（小結(jié)）：同樣的圖形不僅能表示出不同的分?jǐn)?shù)，還能幫我們比較分?jǐn)?shù)的大小呢。

設(shè)計(jì)意圖：傳統(tǒng)的折紙一般學(xué)生只能折出二分之一、四分之一、八分之一這樣分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)，對于第一次認(rèn)識分?jǐn)?shù)的三年級學(xué)生而言，這樣對幾分之一的認(rèn)識是狹隘的。筆者沒有回避這一問題，而是選用適切的技術(shù)適時打破傳統(tǒng)課堂的局限，利用一個小工具“等分圓”功能，讓學(xué)生能創(chuàng)造出像三分之一、五分之一這樣分母是任意數(shù)的幾分之一，及時幫助學(xué)生完善思維、補(bǔ)全認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)無法達(dá)成的效果，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這對學(xué)生數(shù)感的準(zhǔn)確形成是非常關(guān)鍵的。學(xué)生的數(shù)感抽象思維正是在以上一次次的“變”與“辨”中得到邏輯嚴(yán)密的發(fā)展，在一次次多角度的類推拓展、關(guān)聯(lián)對比中越進(jìn)越深、越進(jìn)越趣、越進(jìn)越接近概念本質(zhì)。

三、三級抽象：縱橫聯(lián)系，完善認(rèn)知框架

數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)是相互聯(lián)系的。知識點(diǎn)間的相互聯(lián)系、滲透，能更好地培養(yǎng)學(xué)生對知識的理解能力，進(jìn)而完善思維，使抽象結(jié)果更全面、更立體。因此，關(guān)注數(shù)概念之間的縱橫聯(lián)系、把握數(shù)的一致性，是教師培養(yǎng)和實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)感抽象思維進(jìn)階的教學(xué)必經(jīng)之路。

分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣，都是“數(shù)”，都反映對數(shù)量的抽象。因此筆者基于整數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)結(jié)，進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生先借助長方形直條圖感受整數(shù)“1”和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，然后借助數(shù)軸合理估算分?jǐn)?shù)大小，在感受數(shù)的一致性的同時發(fā)展極限思想，在一步步的抽象中進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)感。

教學(xué)片段7：數(shù)形結(jié)合，感受一致性

師：用同樣的圓可以比分?jǐn)?shù)的大小，那用同樣的長方形能嗎？先看圖（如圖3），估一估，再填上合適的分?jǐn)?shù)。

師：第二個直條的涂色部分是它幾分之一？第三個呢？你們是怎么想的？

師（引導(dǎo)方法）：看來，估計(jì)有時候不能只靠眼睛，還要加上推理，這是一種很重要的思考問題的方法。

師：把整張紙條看作1，平均分成3份，每份就是它的幾分之一？平均分成6份，每份就是它的幾分之一？

師（啟發(fā)）：今天我們學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)和以前學(xué)習(xí)的1有聯(lián)系嗎？

師（追問）：還能往下平均分嗎？再往下分，可能出現(xiàn)幾分之一？

師（進(jìn)一步追問）：當(dāng)平均分的份數(shù)越來越多的時候，表示每1份的分?jǐn)?shù)將越來越??？

師（進(jìn)一步啟發(fā)）：原來像0，1， 2，3這樣的數(shù)，我們都能在數(shù)軸上找到它們。今天學(xué)習(xí)的、這些分?jǐn)?shù)，也能在數(shù)軸上找到它們的“家”嗎？請你上來指一指。

師（追問）：如果繼續(xù)往下分，剛才你們說的、、等，會越來越靠近哪個數(shù)？

生：0。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過將新舊知識——整數(shù)和分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來思考，借助圖形與數(shù)軸這一高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，通過猜想、估計(jì)、比較，完善數(shù)認(rèn)識框架，豐盈數(shù)感，實(shí)現(xiàn)數(shù)的抽象思維的再次進(jìn)階。

四、結(jié)語

史寧中教授認(rèn)為：“在小學(xué)階段的教學(xué)中不可能讓學(xué)生完全理解數(shù)的抽象過程，但是應(yīng)當(dāng)努力創(chuàng)設(shè)出一些情境讓學(xué)生清晰地感悟到抽象過程?！苯柚榫?，教師引導(dǎo)學(xué)生建立“思維圖示→類推拓展”，形成“關(guān)聯(lián)對比→縱橫聯(lián)系”，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在數(shù)認(rèn)識的教學(xué)中，教師要通過這樣層層遞進(jìn)的三級抽象的過程，引導(dǎo)學(xué)生更好地感悟數(shù)的抽象過程，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感，實(shí)現(xiàn)抽象思維的鏈條式發(fā)展、螺旋式上升。