［摘 要］ 文章以“尺規(guī)作圖”教學(xué)為例，分析幾何作圖意義及幾何作圖教學(xué)的策略，發(fā)展學(xué)生的幾何素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 尺規(guī)作圖；幾何體驗(yàn)；空間觀念

一、緣起

圖形與幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)習(xí)圖形與幾何是學(xué)生發(fā)展幾何直觀和空間觀念的重要路徑［１］?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)》）將空間觀念和幾何直觀作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，并強(qiáng)調(diào)其重要的價值。可見，讓學(xué)生形成良好的空間觀念是圖形與幾何教學(xué)的重要目標(biāo)。

在日常教學(xué)中，幾何的抽象性以及操作的復(fù)雜性，使其成為教師難教、學(xué)生難學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)課堂中，部分教師缺乏從高觀點(diǎn)、高視野的角度培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的能力，開展幾何教學(xué)時追求形式化結(jié)果；過于重視幾何計(jì)算教學(xué)，忽視了幾何概念的抽象性，導(dǎo)致學(xué)生無法在頭腦中建立圖形與幾何的知識結(jié)構(gòu)表象。比如五年級學(xué)生仍然將周長和面積概念混淆，在運(yùn)用圖形轉(zhuǎn)化時對表面積和體積的知識構(gòu)建無法形成表象等?？梢?，“泛泛而學(xué)”沒有給學(xué)生的空間感增量，反而窄化了學(xué)生空間觀念的發(fā)展路徑。

那么，如何解決以上的問題呢？筆者認(rèn)為，作圖作為一種簡單易行的直觀手段，對發(fā)展學(xué)生空間觀念的作用不言而喻。

二、作圖為空間觀念的發(fā)展建構(gòu)橋梁

學(xué)生的空間觀念不是憑空產(chǎn)生的，要借助觀察和操作來培養(yǎng)。曹培英在《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究》中提出：應(yīng)該在小學(xué)階段通過探索性畫圖活動，讓學(xué)生積累感性認(rèn)識，進(jìn)而在發(fā)展學(xué)生空間觀念的同時，切實(shí)改善、強(qiáng)化中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接［２］。

1. 操作與想象的嫁接，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

作圖是“做中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)”的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生利用作圖工具，通過動手操作研究、驗(yàn)證、思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)，能將抽象的、符號化的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成具體的操作。整個活動過程是理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合，是直觀操作與抽象想法有效結(jié)合，操作是“腳手架”，通過“腳手架”能把深奧的幾何問題變得可視化、簡單化和現(xiàn)實(shí)化。

2. 猜想與推理的合一，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界

學(xué)生在作圖時，先要確定作圖對象和進(jìn)行初步的構(gòu)思，然后對作圖步驟進(jìn)行推敲和有條理地表現(xiàn)作圖的過程，最后思考結(jié)論是否合理。在作圖中學(xué)生經(jīng)歷“動手操作→積極想象→分析推理→驗(yàn)證知識”的構(gòu)建過程，從“眼見為實(shí)”的具象操作到直觀想象，再到有理有據(jù)的推理思考，對幾何本質(zhì)進(jìn)行更有深度的體驗(yàn)，對幾何的理解更加深刻、全面，自身的推理意識也在作圖過程中逐步形成。

3. 圖形與語言的轉(zhuǎn)化，會用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界

在尺規(guī)作圖中，學(xué)生在理解、完成了幾何語言、作圖語言和符號語言的轉(zhuǎn)化后，如何描述和交流是重點(diǎn)過程，它是學(xué)生幾何知識建構(gòu)的重要環(huán)節(jié)。在描述和交流的過程中，學(xué)生能夠更加直觀地感知幾何概念，這既有助于進(jìn)一步思考幾何的本源問題，也有助于在相互探討中一起探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，達(dá)到學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題的目的。

三、作圖的教學(xué)策略

史寧中教授指出：作圖教學(xué)，要教想法，要教想象力，而非作圖技巧。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷積累操作經(jīng)驗(yàn)的過程，在幾何學(xué)習(xí)中進(jìn)行深度體驗(yàn)。

1. 本質(zhì)解讀，以明確性方向創(chuàng)造作圖空間

教學(xué)中教師對幾何教學(xué)的認(rèn)識，對學(xué)生發(fā)展空間觀念和幾何直觀形成有直接影響，個人教學(xué)理念的更新程度也會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。其中，教師對幾何教學(xué)理解淺表化是造成幾何教學(xué)流于形式的根本原因。比如，部分教師用“教師操作，學(xué)生觀察”替代“學(xué)生操作”，并認(rèn)為這“無關(guān)緊要”［３］。教師這樣的認(rèn)識直接剝奪了學(xué)生動手操作的權(quán)利，學(xué)生學(xué)到的只是表象，“知其然卻不知其所以然”，即使會操作也只是暫時的記憶，沒過幾天就會忘記。因此，教師對教材進(jìn)行本質(zhì)解讀，顯得尤為重要。

（1）完善幾何教學(xué)理念，提升教學(xué)專業(yè)素養(yǎng)

教師要對圖形與幾何的內(nèi)容進(jìn)行充分的研究，認(rèn)識內(nèi)容的價值和意義。教師可以通過閱讀新課標(biāo)，感悟新課標(biāo)對圖形與幾何的高度重視，可以通過參加幾何主題的教學(xué)研討活動來開闊自己的視野，可以通過觀看其他優(yōu)秀教師的教學(xué)課堂或者實(shí)錄借鑒優(yōu)秀的做法。更重要的是，教師要在長期的圖形與幾何教學(xué)中不斷進(jìn)行反思，在教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積淀中突破對圖形與幾何教學(xué)的認(rèn)識障礙。

比如，在教學(xué)“用尺規(guī)畫等長線段”時，筆者感悟到直觀操作的重要性，為學(xué)生認(rèn)識圓規(guī)設(shè)計(jì)了實(shí)踐教學(xué)。

師：自己來玩一玩圓規(guī)，試著在本子上畫一畫。

學(xué)生進(jìn)行操作，初“玩”圓規(guī)。

師：第一次用圓規(guī)，你們有什么感受呢？

生1：我感覺圓規(guī)好神奇，跟尺子不同，可以畫出曲線來。

生2：與其他作圖工具相比，我認(rèn)為圓規(guī)的構(gòu)造比較特別、復(fù)雜，每個部件都是有用處的。

生3：我用來畫了彎彎的線，還畫出了很多大小不一樣的圓形。

生4：我看別人畫的時候很方便，一轉(zhuǎn)就可以，但是我自己有點(diǎn)難轉(zhuǎn)動，跟我想的很不一樣。

學(xué)生第一次拿到圓規(guī)后對圓規(guī)的興趣超出了筆者的想象，他們拿起圓規(guī)在紙上一遍遍嘗試，直到畫出圓。通過學(xué)生的反饋來看，筆者深刻認(rèn)識到動手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何時不可替代的內(nèi)容。教師只有完善這一理念，才能在此基礎(chǔ)上掌握幾何教學(xué)的本質(zhì)，挖掘幾何教學(xué)的多維價值，保證幾何概念教學(xué)的正確方向。

（2）多維度設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)多元發(fā)展

幾何的深度體驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生要充分感受幾何學(xué)習(xí)的深度、廣度和知識的關(guān)聯(lián)度。在教學(xué)目標(biāo)設(shè)定時，教師要從多重視角出發(fā)，深挖幾何的學(xué)習(xí)價值，深層促進(jìn)學(xué)生多元發(fā)展。幾何的深度體驗(yàn)對學(xué)生的學(xué)習(xí)層次的豐富性提出了要求，幾何作圖教學(xué)不能只關(guān)注知識技能，要超越符號表征記憶與理解的淺表化教學(xué)層面，教師在關(guān)注學(xué)生知識學(xué)習(xí)的同時要關(guān)注情感、技能、數(shù)學(xué)思考等多元發(fā)展。

比如在教學(xué)尺規(guī)作圖“探索三角形的三邊關(guān)系”一課時，筆者設(shè)計(jì)了教學(xué)目標(biāo)：通過用尺規(guī)作三角形，體會“兩短邊之和大于第三邊能作出三角形”及其道理，感悟給定三邊三角形的形狀和大小的唯一性；經(jīng)歷想象、操作、驗(yàn)證、反思、說理等過程，發(fā)展幾何直觀和推理意識；在尺規(guī)作圖的過程中，感受尺規(guī)作圖的價值。

以上目標(biāo)，可以看出通過對三角形三邊關(guān)系的探索，學(xué)生進(jìn)入了構(gòu)思與想象、操作與驗(yàn)證、推理與表達(dá)、反思與調(diào)整的幾何世界，知道“兩短邊之和大于第三邊能作出三角形”并不是唯一重點(diǎn)。在設(shè)定目標(biāo)時，學(xué)生一定要有操作、有體會、有想象、有發(fā)現(xiàn)、有推理、有語言。

2. 深度體驗(yàn)，以高階性思維探尋作圖空間

幾何作圖的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷具體到抽象的過程，這一過程的深度體驗(yàn)有助于學(xué)生直觀形象地理解抽象復(fù)雜的幾何思維，有助于學(xué)生以高階性思維探尋作圖空間，促進(jìn)幾何直觀的形成。

（1）借助直觀操作，支撐學(xué)生概念抽象

小學(xué)生的形象思維占主體地位，需要通過操作活動積累經(jīng)驗(yàn)，形成獨(dú)特的感受。學(xué)生經(jīng)歷從形象到半具象、再到抽象的過程，從而形成概念。動手操作在學(xué)生形成抽象的數(shù)學(xué)概念過程中有支撐作用［４］。

在教學(xué)“對于探索三角形的三邊關(guān)系”時，教師一般利用小棒進(jìn)行操作觀察，但小棒易產(chǎn)生誤差，固定的小棒長度限制了學(xué)生自主探索的思維，導(dǎo)致學(xué)生缺乏對三角形關(guān)系本質(zhì)的感悟。因此，筆者設(shè)計(jì)了直觀操作活動：如圖1，判斷線段c中的哪一條線段可以與線段a和線段b圍城一個三角形？要求作圖操作，并保留作圖痕跡。

把尺規(guī)作為操作工具，學(xué)生可以通過畫弧構(gòu)建符合給定長度的運(yùn)動軌跡，觀察弧是否有相交點(diǎn)及相交點(diǎn)的位置來判斷是否能夠圍成三角形（如圖2）。

在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了想象、嘗試、分析、思考、驗(yàn)證等思維過程，作圖痕跡是其思維的直觀體現(xiàn)。這樣的過程充滿著數(shù)學(xué)魅力，激發(fā)了學(xué)生探索知識的興趣，鍛煉了學(xué)生的動手操作能力和想象力。在運(yùn)用尺規(guī)助力探索的過程中，不同層次和水平的學(xué)生都得到了不同的發(fā)展。

（2）有效利用過程資源，促進(jìn)學(xué)生深度思考

當(dāng)前，教師在幾何作圖教學(xué)中普遍存在的問題是忽視課堂教學(xué)中學(xué)生的生成性資源。特別是在作圖時，部分教師急于進(jìn)行方法講授，很大程度上降低了思維難度，減少了給學(xué)生思考的時間和空間。因此，教師要有效利用過程資源，引導(dǎo)學(xué)生基于課堂中的生成性資源開展深入思考，在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

比如，在“給定三邊作三角形”中，學(xué)生在不斷的嘗試中暴露了困惑——想湊上第三個頂點(diǎn)很困難。筆者聚焦這個困難，并利用這一資源推動和深化學(xué)生的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會從兩條線段“湊不上”到一次次調(diào)整后“湊上”，再到通過畫弧線找交點(diǎn)的方法來確定頂點(diǎn)，體現(xiàn)了圓規(guī)畫弧的價值，并因?yàn)樽鲌D中的困難引發(fā)了學(xué)生思考“為什么兩條弧的交點(diǎn)就是三角形的第三個頂點(diǎn)”。

學(xué)生在尺規(guī)作圖中不僅需要會操作，更需要會思考，要不斷想象、思考、操作、反思，激發(fā)思考的動力和探索的欲望，從而豐盈深度思考的空間。

3. 優(yōu)化評價，以過程性體驗(yàn)發(fā)展空間思維

新課標(biāo)提出：“評價不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程……采用多元的評價主體和多樣的評價方式，鼓勵學(xué)生自我監(jiān)控學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果?！保郏担萏貏e是對于圖形與幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生的過程性體驗(yàn)尤為重要。

（1）設(shè)置過程評價標(biāo)準(zhǔn)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效能感

學(xué)生在情感方面得到滿足才能構(gòu)建起核心素養(yǎng)。因此，教師在幾何教學(xué)中不能只靠學(xué)習(xí)結(jié)果來開展教學(xué)，要注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生自我效能感的提升。教師可以通過評價對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，比如評價學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)思維等。

比如，在“尺規(guī)作圖”的教學(xué)中，教師對學(xué)生的課堂評價不能只是作圖正確是否，還要從是否細(xì)心等態(tài)度和習(xí)慣方面進(jìn)行評價，并評價學(xué)生的作圖先后順序、作圖技巧等內(nèi)容（如表1）。此外，教師在課堂中要對不同的學(xué)生做出具體的評價，這樣不同層次的學(xué)生才能意識到自己的不足之處，才能提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。

尺規(guī)作圖的教學(xué)不單是技能的習(xí)得，教師要鼓勵學(xué)生嘗試、探索和反思，讓學(xué)生會想象、會思考、會操作、會表達(dá)，并引導(dǎo)他們在全方位參與學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)上開展深層次的探究與學(xué)習(xí)活動，獲得豐富的學(xué)習(xí)感悟與情感體驗(yàn)，從而在一節(jié)課之中真正有所得、有所悟、有所生成和發(fā)展。

（2）完成多元評價，營造良好學(xué)習(xí)氛圍

教師在幾何教學(xué)中及時有效的課堂評價是促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何概念深度教學(xué)的重要途徑。師生“兩位一體”共同參與的評價方式改變了以前教師主體評價的單一模式，呈現(xiàn)為教師評價、生生互評、自我評價、小組評價、全班評價等多種形式、多元主體的交互評價。對學(xué)生來說，學(xué)生在自評和互評的過程中收獲的不僅是知識，更是一種課堂主人翁的歸屬感。

比如，在尺規(guī)作圖中“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生分小組學(xué)習(xí)、討論，將師評和生評有效結(jié)合。在小組之間進(jìn)行評價的環(huán)節(jié)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在展示學(xué)習(xí)成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合自身在操作活動中獲得的經(jīng)驗(yàn)對操作活動的過程與結(jié)果展開多方面的評價。全部匯報(bào)結(jié)束以后教師對所有小組進(jìn)行總結(jié)，并引入師評。在這個過程中，學(xué)生和教師的評價是共存的，提高了課堂效率，促進(jìn)了學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)，促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

在尺規(guī)作圖教學(xué)中，教師要發(fā)展學(xué)生動手操作能力、想象力和推理意識，要充分利用直觀操作把學(xué)生隱性的思維通過顯性的表征表現(xiàn)出來，從而發(fā)展學(xué)生的幾何素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 陶家友. 關(guān)聯(lián)調(diào)用核心知識 理性構(gòu)建基本圖形——一道尺規(guī)作圖題的解法探究賞析及教學(xué)價值導(dǎo)向［Ｊ］． 數(shù)學(xué)通報(bào)，２０２２，６１（０３）：４１－４６．

［２］ 曹培英. 跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究［Ｍ］. 上海：上海教育出版社，２０１７.

［３］ 金楊建，范秋彤．第１４講尺規(guī)作圖［Ｊ］． 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，２０２２（０８）：２４－２８.

［４］ 方運(yùn)加. 數(shù)學(xué)教學(xué)基本功——畫幾何直觀圖［Ｊ］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），２０２０（０５）：５－７.

［５］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，２０２２.