［摘 要］ 數(shù)學(xué)解決問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)量關(guān)系的探索、分析和應(yīng)用。研究者從學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生學(xué)習(xí)需要的角度分析和統(tǒng)整數(shù)量關(guān)系主題的相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)行有關(guān)聯(lián)的、結(jié)構(gòu)化的教學(xué)實(shí)踐，避免學(xué)生孤立、碎片化地學(xué)習(xí)知識(shí)和方法，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)與方法的遷移，形成與發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)量關(guān)系；結(jié)構(gòu)化；核心素養(yǎng)

數(shù)量關(guān)系是提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題能力以及培養(yǎng)模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的重要載體?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)新課標(biāo)）將“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容整合為“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題，第一次明確提出數(shù)量關(guān)系主題教學(xué)，并特別提出要設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容。新課標(biāo)在內(nèi)容組織上呈現(xiàn)明顯的結(jié)構(gòu)化特點(diǎn)，學(xué)科一致性也得到體現(xiàn)，要求教師對(duì)“數(shù)量關(guān)系”內(nèi)容進(jìn)行整體建構(gòu)和進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系，發(fā)展學(xué)生思維能力和核心素養(yǎng)。

一、高段學(xué)生對(duì)“數(shù)量關(guān)系”理解情況調(diào)查

為了了解高段學(xué)生對(duì)“數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識(shí)和理解，筆者對(duì)本校六年級(jí)50名學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情調(diào)查，調(diào)查情況見(jiàn)表1。

通過(guò)以上調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在“數(shù)量關(guān)系”的學(xué)習(xí)上存在一些問(wèn)題。

1. 數(shù)量關(guān)系理解片面化

原有教材除了在四年級(jí)“常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系”教學(xué)中和五年級(jí)方程教學(xué)中明確提出“數(shù)量關(guān)系”，其他時(shí)候只是在個(gè)別習(xí)題中提出過(guò)。部分教師和學(xué)生以為只有某幾e977b5d38da7fcc795e276f1067f334b類(lèi)例題（如天平、方程、正反比例等）才存在數(shù)量關(guān)系，將數(shù)量關(guān)系作為一種特殊題型的專(zhuān)題訓(xùn)練，缺乏在一般問(wèn)題中分析數(shù)量關(guān)系的習(xí)慣。

2. 數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)碎片化

學(xué)生的思維仍處于算術(shù)思維或不穩(wěn)定的代數(shù)思維階段。解決不同問(wèn)題時(shí)，學(xué)生喜歡將問(wèn)題中的未知數(shù)作為數(shù)量關(guān)系式的結(jié)果，比如求速度時(shí)使用數(shù)量關(guān)系式“路程÷時(shí)間=速度”，求時(shí)間時(shí)使用數(shù)量關(guān)系式“路程÷速度=時(shí)間”等。這種“程序性知識(shí)點(diǎn)”加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，說(shuō)明他們?nèi)狈Y(jié)構(gòu)性的數(shù)量關(guān)系表達(dá)和分析能力。

3. 數(shù)量關(guān)系應(yīng)用淺顯化

高段問(wèn)題包含較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法，特別是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系模型及其拓展模型去分析和解決。大部分學(xué)生在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)雖然能找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，但是不會(huì)用合適的方式表達(dá)，如文字、畫(huà)圖、表格、關(guān)系式、字母式等，缺乏深入的應(yīng)用和拓展能力，這是他們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

二、建構(gòu)數(shù)量關(guān)系體系，提升解決問(wèn)題的能力

在數(shù)量關(guān)系主題內(nèi)容教學(xué)時(shí)，教師要將其作為一個(gè)整體來(lái)理解，以模型作為數(shù)量關(guān)系的核心概念，以建立各學(xué)段不同內(nèi)容之間的聯(lián)系。

1. 知識(shí)系統(tǒng)化，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系整體認(rèn)知

吳正憲在《“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容結(jié)構(gòu)化問(wèn)題分析與教學(xué)實(shí)踐》中提出以“數(shù)量關(guān)系”為核心的問(wèn)題解決可以分為三個(gè)階段：運(yùn)算意義、建立模型、用字母表示關(guān)系或規(guī)律。

要實(shí)現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)化，教師既要對(duì)教材知識(shí)體系進(jìn)行梳理，還要發(fā)現(xiàn)并揭示其內(nèi)在的邏輯與關(guān)聯(lián)。比如，第一學(xué)段，學(xué)生需要在理解加、減、乘、除四則運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷看圖、分與合、畫(huà)一畫(huà)、擺一擺或說(shuō)一說(shuō)的過(guò)程，初步感悟數(shù)量關(guān)系。此時(shí)，教學(xué)的要點(diǎn)不是要求學(xué)生寫(xiě)出相應(yīng)的“數(shù)量關(guān)系式”，而是要體驗(yàn)和感受分量與總量之間的關(guān)系；第二學(xué)段，學(xué)生在理解四則運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上建立模型和解決問(wèn)題，感悟速度、單價(jià)是用兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系來(lái)描述事物的屬性，加法模型和乘法模型是解決問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)模型；第三學(xué)段，教學(xué)的重點(diǎn)是數(shù)量關(guān)系模型的拓展應(yīng)用，重點(diǎn)是學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析與判斷。教師可以把數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)與運(yùn)算本身的結(jié)構(gòu)相整合，進(jìn)而厘清數(shù)量關(guān)系的主體脈絡(luò)（如圖1）。

隨著數(shù)的認(rèn)識(shí)擴(kuò)展到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，則兩個(gè)量的非整數(shù)倍就可以用小數(shù)、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）或比來(lái)表示（如圖2）。

這樣的內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系雖然無(wú)法全面覆蓋所有小學(xué)的數(shù)量關(guān)系（如正、反比例關(guān)系以及兩積之和關(guān)系等），但是知識(shí)結(jié)構(gòu)化有助于教師更關(guān)注知識(shí)層面上的全景建構(gòu)，讓學(xué)生充分感受和體驗(yàn)“數(shù)量關(guān)系”的意義，把握知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2. 教學(xué)結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)數(shù)量關(guān)系分析意識(shí)

學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常直接列式計(jì)算，缺乏分析數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，導(dǎo)致求解復(fù)雜問(wèn)題時(shí)錯(cuò)誤百出。比如，數(shù)量關(guān)系“多與少”的學(xué)習(xí)，對(duì)于問(wèn)題“小明有15個(gè)蘋(píng)果，比小紅少3個(gè)，小紅有幾個(gè)蘋(píng)果”，學(xué)生錯(cuò)誤率經(jīng)常過(guò)半。這些“已知比較量，求標(biāo)準(zhǔn)量”的逆運(yùn)算模型是學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱點(diǎn)，產(chǎn)生了“單位‘1’已知就用乘法算式，單位‘1’未知就用除法算式”這樣不科學(xué)的思維模式。

學(xué)生在列式解決問(wèn)題前一定要養(yǎng)成數(shù)量關(guān)系分析的過(guò)程，如圖3。為培養(yǎng)數(shù)量關(guān)系分析意識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。

（1）無(wú)問(wèn)題式的數(shù)學(xué)信息加工訓(xùn)練

教師出示沒(méi)有問(wèn)題的數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生關(guān)注信息加工過(guò)程。比如，“小明比小紅多3個(gè)”→誰(shuí)是標(biāo)準(zhǔn)量、誰(shuí)多→畫(huà)線段圖（建議先畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)量，再畫(huà)比較量）→列數(shù)量關(guān)系式：小紅蘋(píng)果數(shù)+3=小明蘋(píng)果數(shù)。

比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)呈現(xiàn)的思維路徑：“小明蘋(píng)果數(shù)比小紅蘋(píng)果數(shù)多”→誰(shuí)是單位“1”，把什么平均分成4份，另一個(gè)量是幾份→畫(huà)線段圖（建議：先畫(huà)單位“1”）→列數(shù)量關(guān)系式：小紅蘋(píng)果數(shù)×（1+）=小明蘋(píng)果數(shù)。

（2）靈活運(yùn)用加法模型和乘法模型

四則運(yùn)算的意義是分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，但是學(xué)生的順向思維多于逆向思維。為遵循學(xué)生的思維特點(diǎn)，在教學(xué)解決問(wèn)題時(shí)教師可以把信息中的“數(shù)量關(guān)系”統(tǒng)一用加法和乘法模型表示出來(lái)，降低學(xué)生從具體情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的難度，讓學(xué)生利用四則運(yùn)算的意義來(lái)思考解法。比如學(xué)情測(cè)試的分?jǐn)?shù)問(wèn)題可以用同一條數(shù)量關(guān)系式來(lái)統(tǒng)整，再利用四則運(yùn)算的意義找出解法，如圖4。

在統(tǒng)一的數(shù)量關(guān)系模型之下，為這些不同方法之間建立一座橋梁，讓學(xué)生可以在更高層次的視角下關(guān)注問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)解決問(wèn)題的一般模型，開(kāi)放性地發(fā)展算術(shù)思維和代數(shù)思維。當(dāng)然，這種結(jié)構(gòu)性的方法適合復(fù)習(xí)教學(xué)或六年級(jí)教學(xué)，避免學(xué)生因未學(xué)習(xí)四則運(yùn)算和方程的意義而混淆這些不同的思路。

（3）模型的拓展應(yīng)用

數(shù)量關(guān)系不僅包括問(wèn)題解決中的關(guān)系，也包括探索規(guī)律中的關(guān)系。數(shù)量關(guān)系不僅要找關(guān)系，還要能用含有符號(hào)的式子表達(dá)關(guān)系。這是新課標(biāo)增加的內(nèi)容，實(shí)際上是對(duì)數(shù)量關(guān)系的符號(hào)表達(dá)，是數(shù)學(xué)的跨領(lǐng)域應(yīng)用和內(nèi)部發(fā)展的關(guān)鍵。但多數(shù)情況下學(xué)生不習(xí)慣用字母式，只能粗略地表達(dá)變化規(guī)律。這需要教師在日常教學(xué)中因材施教，讓學(xué)生適時(shí)進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)化表示的優(yōu)勢(shì)。

比如，在三角形找規(guī)律的練習(xí)中，教師可以適時(shí)追問(wèn)若是四邊形會(huì)怎樣？在學(xué)生能夠迅速解決問(wèn)題且興趣正濃時(shí)，教師追問(wèn)五邊形、六邊形、七邊形……n邊形情況下小棒數(shù)量和圖形數(shù)量之間的關(guān)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用字母式比用語(yǔ)言、文字或圖畫(huà)表示的規(guī)律更加簡(jiǎn)潔清晰：x個(gè)n邊形的小棒數(shù)量=（n-1）x+1。學(xué)生經(jīng)歷這一研究過(guò)程后，能快速求解“已知小棒數(shù)量，求能拼成幾個(gè)n邊形”的問(wèn)題。

在日常教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)情適時(shí)地用字母式來(lái)開(kāi)展教學(xué)。比如，在圓柱體積教學(xué)中，讓學(xué)生利用字母式清晰表示變化情況并預(yù)測(cè)結(jié)果：圓柱的底面半徑擴(kuò)大2倍，體積會(huì)如何變化？V=πr2h和V=π（2r）2h。以此讓學(xué)生充分經(jīng)歷字母式建構(gòu)過(guò)程，習(xí)慣用字母式表示并解決問(wèn)題，感受字母式的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)與推理意識(shí)。

3. 評(píng)價(jià)一致化，提升數(shù)量關(guān)系應(yīng)用能力

在解決問(wèn)題的評(píng)價(jià)中，教師大多對(duì)列式計(jì)算進(jìn)行結(jié)果性導(dǎo)向評(píng)價(jià)，很少對(duì)數(shù)量關(guān)系分析進(jìn)行過(guò)程性評(píng)價(jià)，導(dǎo)致高段學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用不充分。在結(jié)構(gòu)化教學(xué)過(guò)程中，教師要通過(guò)評(píng)價(jià)來(lái)關(guān)注落實(shí)情況，讓學(xué)生養(yǎng)成分析數(shù)量關(guān)系的習(xí)慣。

（1）評(píng)價(jià)層次量表

筆者根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)了數(shù)量關(guān)系理解程度的評(píng)價(jià)層次量表，如表2。

（2）“說(shuō)”出數(shù)量關(guān)系

“算”具有明顯的結(jié)果導(dǎo)向，“說(shuō)”更側(cè)重于過(guò)程導(dǎo)向。教師可以從“說(shuō)”的角度來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生上臺(tái)說(shuō)題，利用視頻記錄和教師點(diǎn)評(píng)的方式讓學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步。

（3）“寫(xiě)”出數(shù)量關(guān)系。

評(píng)價(jià)數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)情況的題型可以多樣化，如畫(huà)圖、連線、選擇等形式（如表3），以此讓學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系不陌生。

三、回顧與反思

總之，在數(shù)量關(guān)系主題的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生立足真實(shí)問(wèn)題情境，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程，用數(shù)和符號(hào)來(lái)表達(dá)實(shí)際情境中的數(shù)量關(guān)系，并建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)從四則運(yùn)算意義的理解到模型建立，以及解決問(wèn)題從個(gè)別化到一般化，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。