［摘 要］ “圖形與幾何”領(lǐng)域是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的重要組成部分。文章以“圓的面積”為例，對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)和診斷分析，發(fā)現(xiàn)超過一半的學(xué)生理解水平較低，原因是不會(huì)轉(zhuǎn)化和求聯(lián)。研究者以“四做一思”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)路徑來進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)：實(shí)驗(yàn)引入，呈現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)性理解；實(shí)驗(yàn)展開，形成關(guān)系化理解；實(shí)驗(yàn)聯(lián)想，完善結(jié)構(gòu)化理解；實(shí)驗(yàn)復(fù)盤，促進(jìn)抽象性理解。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；理解進(jìn)階；前測(cè)診斷；教學(xué)改進(jìn)

“圖形與幾何”領(lǐng)域是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的重要組成部分，不僅對(duì)學(xué)生空間觀念的形成起著重要作用，而且對(duì)學(xué)生思維水平的發(fā)展有直接影響。“圓的面積”是“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”板塊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)圓的面積有哪些已有經(jīng)驗(yàn)與直觀認(rèn)識(shí)？學(xué)生完成圓面積推導(dǎo)任務(wù)的思考路徑與難點(diǎn)是什么？筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行“圓的面積”學(xué)情前測(cè)，根據(jù)理解層次水平對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行診斷分析，真實(shí)、全面、科學(xué)地了解學(xué)生對(duì)圓面積推導(dǎo)的可行性和理解水平，在此基礎(chǔ)上以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為途徑進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)，讓學(xué)生理解進(jìn)階，并幫助學(xué)生積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成空間表象，發(fā)展空間觀念。

一、診斷：基于數(shù)據(jù)分析，暴露初始經(jīng)驗(yàn)

1. 測(cè)試對(duì)象

五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等平面圖形的面積，在執(zhí)教“圓的面積”一課之前，筆者設(shè)計(jì)了研究單，讓學(xué)生獨(dú)立完成研究單上的“我會(huì)實(shí)驗(yàn)”（如圖1），并對(duì)執(zhí)教班級(jí)的40名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。

2. 水平統(tǒng)計(jì)

為了更好地指導(dǎo)、評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行理解上的分層。SOLO分類理論將學(xué)習(xí)結(jié)果分為前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和抽象拓展結(jié)構(gòu)水平五個(gè)層次［１］。本次前測(cè)結(jié)果分析在借鑒SOLO分類理論的基礎(chǔ)上，提煉出指向理解進(jìn)階的理解層次標(biāo)準(zhǔn)，分成五個(gè)水平層次：不理解、經(jīng)驗(yàn)性理解、關(guān)系化理解、結(jié)構(gòu)化理解、抽象性理解（如圖2）。

按數(shù)學(xué)理解五個(gè)水平層次，筆者對(duì)學(xué)生的前測(cè)表現(xiàn)進(jìn)行描述，統(tǒng)計(jì)出每種理解水平的人數(shù)，并附典型圖例加以補(bǔ)充說明（如表1）。

依據(jù)SOLO分類理論的五種思維水平的層次劃分和描述，筆者對(duì)學(xué)生在圓面積推導(dǎo)過程中的思維層次與SOLO分類理論的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平進(jìn)行關(guān)聯(lián)統(tǒng)計(jì)（如圖3）。

3. 結(jié)論分析

前測(cè)數(shù)據(jù)顯示，從水平一到水平四分布成起伏變化，表明學(xué)生思維水平參差不齊。處在無理解水平與經(jīng)驗(yàn)性理解水平的人數(shù)最多，占了本次樣本總?cè)藬?shù)的72.5%，即超過一多半的學(xué)生理解水平較低：其中35%的學(xué)生不會(huì)轉(zhuǎn)化成學(xué)過的平面圖形來推導(dǎo)圓的面積公式；20%的學(xué)生雖然轉(zhuǎn)化成功，但沒有去主動(dòng)尋找轉(zhuǎn)化前后圖形面積及邊之間的聯(lián)系；關(guān)系化理解水平占了12.5%，水平較高的結(jié)構(gòu)化理解水平和抽象性理解水平只占15%，其中抽象性水平占0%。由前測(cè)診斷可知，水平1與水平2 是多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，水平4與水平5則是理解進(jìn)階的目標(biāo)。

學(xué)生理解水平低下，究其主要原因有兩點(diǎn)：

一是不會(huì)轉(zhuǎn)化。能否轉(zhuǎn)化是影響理解進(jìn)階的重要前提。圓面積計(jì)算公式推導(dǎo)需要進(jìn)行化曲為直、有限和無限、近似和精確的轉(zhuǎn)化，從而體現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化以及量變到質(zhì)變的辯證規(guī)律。在這個(gè)過程中，不但要運(yùn)用變換的思想和方法，還要運(yùn)用極限思想和極限方法，這是學(xué)生空間認(rèn)知發(fā)展上的一次飛躍。對(duì)學(xué)生來講，借助多邊形面積推導(dǎo)公式的經(jīng)驗(yàn)來推導(dǎo)圓的面積并不是一件容易的事。

二是不會(huì)求聯(lián)。能否求聯(lián)是影響理解進(jìn)階的重要變量。50%的學(xué)生在轉(zhuǎn)化后不能完整地對(duì)轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系進(jìn)行比較，觀察、發(fā)現(xiàn)和概括能力不強(qiáng)，理解數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)聯(lián)系的能力不強(qiáng)。

二、解構(gòu)：改進(jìn)教學(xué)預(yù)設(shè)，確立學(xué)習(xí)路徑

前測(cè)是教學(xué)之前的測(cè)試，能幫助教師全面了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，為教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)內(nèi)容的取舍、教學(xué)方法的選擇、教學(xué)起點(diǎn)的確定等指明方向，從而有針對(duì)性地改進(jìn)教學(xué)預(yù)設(shè)。

1. 轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

基于前測(cè)數(shù)據(jù)分析，要真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生在圓面積推導(dǎo)過程中理解水平的進(jìn)階，改進(jìn)的關(guān)鍵是采用“做數(shù)學(xué)”的方式，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“做”的過程，以做呈思、以做促思、以做明理，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中更好地完成理解進(jìn)階。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“做數(shù)學(xué)”的一種實(shí)施形態(tài)，是教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和尋找證明方法的一種學(xué)習(xí)方式。本課的教學(xué)教師可以設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、井然有序的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)序列，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中手腦并用，啟思明理，實(shí)現(xiàn)不斷向意義建構(gòu)、理解進(jìn)階、應(yīng)用遷移的方向自主生長(zhǎng)。

2. 定位教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，筆者站在學(xué)科結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的深度，厘清了本節(jié)課的大概念、基本問題、知能目標(biāo)，以更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的進(jìn)階（如表2）。

3. 設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)

怎樣合理設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，既能讓學(xué)生順利推導(dǎo)出圓的面積公式，又能實(shí)現(xiàn)理解能力的進(jìn)階？筆者采取“以終為始”的思路，以表現(xiàn)性評(píng)價(jià)理論為依據(jù)，基于預(yù)期結(jié)果、評(píng)估證據(jù)、學(xué)習(xí)路徑等方面，設(shè)計(jì)了促進(jìn)理解的“圓的面積”表現(xiàn)性任務(wù)（如表3）。

三、改變：踐行“四做一思”，促進(jìn)理解進(jìn)階

本節(jié)課如何基于前測(cè)理解水平分析，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更好地完成理解進(jìn)階呢？筆者嘗試以“四做一思”實(shí)踐路徑來進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)，通過實(shí)驗(yàn)引入、實(shí)驗(yàn)展開、實(shí)驗(yàn)聯(lián)想、實(shí)驗(yàn)復(fù)盤四個(gè)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生建構(gòu)由低水平到高水平的理解序列。其中反思貫穿整個(gè)過程（如圖4）。

1. 實(shí)驗(yàn)引入，呈現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)性理解

實(shí)驗(yàn)引入的首要任務(wù)是充分暴露學(xué)生的已有水平，以便學(xué)生在進(jìn)入課堂時(shí)能精準(zhǔn)找到自己的疑惑點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)。課始教師設(shè)置了兩個(gè)問題：什么叫圓的面積？圓的面積大小與什么有關(guān)？由問題引導(dǎo)學(xué)生從沖突走向思考。從學(xué)生的回答可知他們對(duì)圓的面積定義基本能理解，對(duì)影響圓面積大小的相關(guān)性因素也有認(rèn)識(shí)：有的認(rèn)為與直徑長(zhǎng)短有關(guān)，有的認(rèn)為與半徑長(zhǎng)短有關(guān)。大多數(shù)學(xué)生停留在表象認(rèn)識(shí)上，對(duì)圓與半徑究竟有怎樣的關(guān)系比較模糊。不可否認(rèn)，實(shí)驗(yàn)引入環(huán)節(jié)很好地喚醒了學(xué)生的前概念，為教師后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)提供了方向。

2. 實(shí)驗(yàn)展開，形成關(guān)系化理解

在激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)后，教師要通過層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生深入探究圓面積大小的影響因素及圓面積的推導(dǎo)過程。在這一階段，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，通過“直觀地做”“形象地說”“深入地想”，幫助學(xué)生形成對(duì)圓面積知識(shí)的關(guān)系化理解。

（1）在“估計(jì)猜測(cè)實(shí)驗(yàn)”中確定范圍

教師要引導(dǎo)學(xué)生借助圓的內(nèi)接正方形與外切正方形開展實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生初步感知圓面積比內(nèi)接正方形面積大，比外切正方形面積小，有一個(gè)區(qū)間范圍。學(xué)生通過對(duì)內(nèi)接正方形與外切正方形的估計(jì)、猜測(cè)、觀察、比較后得出結(jié)論，這樣既得出圓面積的取值范圍，又滲透了用逼近思想探究圓面積計(jì)算公式的方法。

（2）在“數(shù)方格實(shí)驗(yàn)”中指明方向

教師要引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)方格實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步體會(huì)圓面積與半徑平方之間的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步明確范圍，為探究圓面積計(jì)算公式指明方向。操作流程如下：①思考“怎樣估算方格圖中圓的面積”？②設(shè)計(jì)方案，小組合作開展實(shí)驗(yàn)，展示交流；③得到“圓面積是它半徑平方的3倍多一些”這一結(jié)論。

（3）在“面積推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)”中躍遷理解

此實(shí)驗(yàn)針對(duì)學(xué)生前測(cè)中的困惑，筆者采用三點(diǎn)策略來進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)。

一是倒退策略：回到原點(diǎn)，建立推導(dǎo)水平提升通道。為了讓學(xué)生能夠順利地推導(dǎo)圓面積公式，很多時(shí)候教師采用倒退策略可以更好地促進(jìn)學(xué)生理解。教師通過引導(dǎo)學(xué)生回憶“以前我們是怎樣推導(dǎo)平行四邊形和三角形的面積公式的，使用了什么策略”，既能喚醒學(xué)生轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)，又能讓學(xué)生深刻體悟“等積變形”的思想。

二是聚焦策略：聚焦難點(diǎn)，強(qiáng)化化曲為直思想。教師要設(shè)置核心問題讓學(xué)生討論“圓是平面上的曲線圖形，能用直邊圖形的經(jīng)驗(yàn)來轉(zhuǎn)化嗎”“你覺得圓轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形，最大的困難在哪里”，引導(dǎo)學(xué)生從沖突走向思考，發(fā)現(xiàn)圓的面積推導(dǎo)可以用直邊圖形面積推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)，感受“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。在學(xué)生成功完成轉(zhuǎn)化后，教師要通過恰當(dāng)?shù)闹庇^性手段，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，充分體驗(yàn)隨著等分次數(shù)的增加，所拼成的圖形越來越接近直邊圖形，感悟“無限逼近”和“等積變形”的含義，滲透極限、守恒等數(shù)學(xué)思想方法。

三是聯(lián)通策略：對(duì)比關(guān)聯(lián)，助推關(guān)系水平形成。將圓轉(zhuǎn)化成近似的平行四邊形或長(zhǎng)方形后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圓面積轉(zhuǎn)化后的各部分名稱與近似長(zhǎng)方形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，完成圓面積公式建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與理解能力的躍升。

3. 實(shí)驗(yàn)聯(lián)想，完善結(jié)構(gòu)化理解

實(shí)驗(yàn)聯(lián)想即在完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，并通過繼續(xù)做一個(gè)或幾個(gè)與其相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，助力思維品質(zhì)的提升，挖掘數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的育人價(jià)值［２］。實(shí)驗(yàn)聯(lián)想能激勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、能力去主動(dòng)探究、思辨，讓思維更有深度，更具創(chuàng)新性，更趨系統(tǒng)性。這是數(shù)學(xué)理解的高階水平。教師可以設(shè)計(jì)核心問題“圓除了可以近似地轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形外，還能近似地轉(zhuǎn)化為其他平面圖形嗎”，引導(dǎo)學(xué)生將得到的扇形密合拼接，得到近似（曲邊）三角形或近似（曲邊）梯形（如圖5）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)分割的等份數(shù)越來越多時(shí)，拼接得到的圖形越來越接近三角形和梯形。

通過實(shí)驗(yàn)聯(lián)想，學(xué)生經(jīng)歷圓轉(zhuǎn)化為其他平面圖形的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步感悟化曲為直的思想，使直觀思維與抽象思維相互融通，感性經(jīng)驗(yàn)不斷豐富，理性經(jīng)驗(yàn)不斷提升，空間想象能力得到訓(xùn)練，空間觀念得以發(fā)展。

4. 實(shí)驗(yàn)復(fù)盤，促進(jìn)抽象性理解

當(dāng)學(xué)生達(dá)到結(jié)構(gòu)化理解水平后，教師應(yīng)倡導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用、遷移圓面積推導(dǎo)公式中所蘊(yùn)含的本質(zhì)意義與基本方法，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)理解進(jìn)入更高水平的抽象概括，凸顯思維的獨(dú)創(chuàng)性和深刻性。

課尾教師提出問題：“我們是怎么將圓轉(zhuǎn)化為學(xué)過的平面圖形的？”讓學(xué)生明確應(yīng)用直邊圖形的類比化歸的方法，可以獲得探索平面圖形面積公式的一般思路。教師進(jìn)一步提問：“在今后學(xué)習(xí)立體圖形的知識(shí)時(shí)，我們是否也能用到轉(zhuǎn)化的思想？”學(xué)生在總結(jié)回顧的基礎(chǔ)上深化了研究平面圖形面積的體驗(yàn)，強(qiáng)化了轉(zhuǎn)化思想、化曲為直、極限思想，為以后研究立體圖形的體積積累了感性經(jīng)驗(yàn)與理性經(jīng)驗(yàn)。

實(shí)踐證明，“四做一思”的改進(jìn)路徑很好地保障了學(xué)生對(duì)圓面積學(xué)習(xí)的有效性。經(jīng)歷這次基于理解分層水平的實(shí)證研究，筆者既看見學(xué)生在圓面積推導(dǎo)過程中的不同理解水平層次，又看見經(jīng)過教學(xué)改進(jìn)后的實(shí)施效果。通過這樣一種指向數(shù)學(xué)理解能力的實(shí)證研究來助推課堂教與學(xué)的深度發(fā)生，能夠助推學(xué)生理解力的不斷進(jìn)階。

參考文獻(xiàn)：

［１］約翰·Ｂ. 彼格斯，凱文·Ｆ. 科利斯. 學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)：ＳＯＬＯ 分類理論（可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)）［Ｍ］. 高凌飚，張洪巖，譯. 北京：人民教育出版社，２０１０.

［２］ 張彥. 實(shí)驗(yàn)聯(lián)想，打開提升思維品質(zhì)的新視窗［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０２０（１８）：３０－３１.