摘 要：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，在學(xué)生學(xué)習(xí)完初中階段的函數(shù)內(nèi)容后，有必要安排一次“回顧與展望”。因此，設(shè)計(jì)和實(shí)施《函數(shù)大觀》一課，選編“用繩子圍矩形”的經(jīng)典問題情境，“一境多用”，變式追問，帶領(lǐng)學(xué)生梳理已學(xué)函數(shù)知識(shí)，感悟函數(shù)學(xué)習(xí)路徑；精選數(shù)學(xué)史話，開展數(shù)學(xué)欣賞，同時(shí)從中抽象出新的函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生展望后續(xù)函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，促進(jìn)初高中銜接的方法積累與思維提升。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；“用繩子圍矩形”；一境多用；數(shù)學(xué)欣賞；初高銜接

2023年10月中旬，江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)在西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué)舉行，筆者有幸在活動(dòng)中執(zhí)教了一節(jié)九年級(jí)公開課：《函數(shù)大觀》。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，在學(xué)生學(xué)習(xí)完初中階段的函數(shù)內(nèi)容（包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的內(nèi)容）后，有必要安排一次“回顧與展望”。因此，這節(jié)課不是單純的復(fù)習(xí)課，而是以函數(shù)為主題回顧初中階段已學(xué)的函數(shù)內(nèi)容，并展望后續(xù)要學(xué)的函數(shù)內(nèi)容。其教學(xué)目標(biāo)為：（1） 在以函數(shù)視角解決“用繩子圍矩形”問題的過程中，對(duì)初中所學(xué)的函數(shù)內(nèi)容形成知識(shí)結(jié)構(gòu)、感悟?qū)W習(xí)路徑；（2） 回顧函數(shù)學(xué)習(xí)的過程，感受數(shù)學(xué)思想，如模型思想、變量思想、數(shù)形結(jié)合等，初步體會(huì)函數(shù)“大觀”的含義；（3） 結(jié)合開普勒第三定律、懸鏈線方程、對(duì)勾函數(shù)等陌生的函數(shù)問題，展望后續(xù)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)方向，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。下面先給出這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，再進(jìn)一步解讀相應(yīng)的教學(xué)立意，供同行研討。

一、 《函數(shù)大觀》教學(xué)設(shè)計(jì)與立意解讀

（一） 建立一次函數(shù)、反比例函數(shù)模型，解決“用繩子圍矩形”問題，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

問題 如圖1，計(jì)劃利用長(zhǎng)為12米的繩子圍一個(gè)矩形圍欄，其中一邊是墻（長(zhǎng)度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平行的邊的長(zhǎng)度為x米，與墻垂直的一邊長(zhǎng)為y米，y是x的函數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)學(xué)生對(duì)照有關(guān)概念，確認(rèn)y是x的函數(shù)，且是一次函數(shù)。

追問 （1） 求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若圍成矩形的長(zhǎng)和寬相等，求此時(shí)矩形的面積。

預(yù)設(shè)學(xué)生順利解答。

變式1 如圖2，計(jì)劃利用繩子圍一個(gè)面積為18 平方米的矩形圍欄，其中一邊是墻（長(zhǎng)度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平行的邊的長(zhǎng)度為x米，與墻垂直的一邊長(zhǎng)為y米，y是x的函數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，且是反比例函數(shù)。

追問 （1） 求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;（2） 若圍成矩形的長(zhǎng)和寬相等，求使用繩子的長(zhǎng)度。

建議學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖像加以分析。

［設(shè)計(jì)意圖：借助“用繩子圍矩形”問題的變式與追問，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)概念、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的概念。在解決實(shí)際問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型，并結(jié)合函數(shù)圖像直觀分析。］

（二） 建立二次函數(shù)模型，解決“用繩子圍矩形”問題，感悟?qū)W習(xí)路徑

變式2 如圖3，計(jì)劃利用長(zhǎng)為12 米的繩子圍一個(gè)矩形圍欄，其中一邊是墻（長(zhǎng)度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平行的邊的長(zhǎng)度為x米，圍成矩形的面積y平方米，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。

預(yù)設(shè)學(xué)生得出二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝-1/2x2＋6x（注意引導(dǎo)學(xué)生整理為一般式）。

任務(wù) 以二次函數(shù)y＝-1/2x2＋6x為例，分類梳理二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

學(xué)生小組合作回顧梳理二次函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑，再派小組代表匯報(bào)梳理成果。教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生的梳理成果，課件漸次呈現(xiàn)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑（包括圖像特征、函數(shù)性質(zhì)、與二次方程的關(guān)系、解決實(shí)際問題等方面），然后引導(dǎo)學(xué)生回到變式2，求出圍成矩形面積的最大值。

［設(shè)計(jì)意圖：借助“用繩子圍矩形”問題的進(jìn)一步變式與追問，引導(dǎo)學(xué)生全面回顧梳理函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑，促進(jìn)學(xué)生感悟函數(shù)學(xué)習(xí)過程中體現(xiàn)的模型思想、變量思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。］

（三） 通過數(shù)學(xué)史話開展數(shù)學(xué)欣賞，展望變量規(guī)律

【數(shù)學(xué)欣賞1】結(jié)合PPT，展示開普勒研究第三定律的相關(guān)史話，簡(jiǎn)介開普勒第三定律，并出示下頁(yè)表1。

考慮到學(xué)情特點(diǎn)，將R3/T2=1變形為T=R3，進(jìn)而組織學(xué)生研究函數(shù)T=R3

的圖像和性質(zhì)，課件漸次呈現(xiàn)圖4。

【數(shù)學(xué)欣賞2】結(jié)合PPT，介紹懸鏈線方程的相關(guān)史話，并出示圖5。

變式3 如圖6，計(jì)劃利用繩子圍一個(gè)面積為18 平方米的矩形圍欄，其中一邊是墻（長(zhǎng)度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平

行的邊的長(zhǎng)度為x米，使用繩子的長(zhǎng)度為y米，分析繩長(zhǎng)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并借助函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)初步分析變量之間的規(guī)律。

學(xué)生得出函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x＋36/x后，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)的研究路徑，展望變量之間的關(guān)系，初步梳理出函數(shù)的圖像和性質(zhì)，課件漸次呈現(xiàn)圖7。

［設(shè)計(jì)意圖：借助開普勒第三定律、懸鏈線方程、對(duì)勾函數(shù)等有挑戰(zhàn)性的問題情境，引領(lǐng)學(xué)生利用已有函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，展望后續(xù)函數(shù)學(xué)習(xí)方向，并開展數(shù)學(xué)欣賞，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。］

（四） 課堂小結(jié)，完善結(jié)構(gòu)化板書

教師提問：本節(jié)課我們回顧了哪些初中階段學(xué)過的函數(shù)？還展望了哪些新的函數(shù)？你對(duì)哪類函數(shù)問題留下了較深的印象？學(xué)生小組交流小結(jié)，然后選派小組代表發(fā)言。發(fā)言學(xué)生可

以上臺(tái)對(duì)照板書小結(jié)，如本課回顧了幾種初中階段常見的函數(shù)，函數(shù)學(xué)習(xí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、研究路徑等。教師對(duì)板書內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化完善，補(bǔ)全“關(guān)聯(lián)線”或“備注箭頭”等，最終形成如圖8所示的結(jié)構(gòu)化板書。最后建議學(xué)生課后對(duì)本課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理，對(duì)尚未解決的問題進(jìn)一步探究。

二、 教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一） 注重一境多用，驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)程

李善良教授曾就“問題情境設(shè)計(jì)”提醒教師：“應(yīng)著眼于學(xué)生思維的發(fā)展這個(gè)核心進(jìn)行，關(guān)注學(xué)生從情境中自主、主動(dòng)地提出問題，并在不斷解決問題的過程中完成對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。”并特別提出：“要注重一境多用，讓學(xué)生形成整體的認(rèn)識(shí)，防止出現(xiàn)一個(gè)內(nèi)容一個(gè)情境、情境遍地開花的現(xiàn)象?！保?］本節(jié)課，我們選編了“用繩子圍矩形”的經(jīng)典問題情境，并開展“一境多用”，避免了“情境遍地開花的現(xiàn)象”。特別是，圍繞該問題情境進(jìn)行變式與追問，利用初始問題和變式1得出具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)，促進(jìn)學(xué)生回顧初中階段所學(xué)的函數(shù)概念以及一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)；借助變式2得出具體的二次函數(shù)，組織學(xué)生圍繞該二次函數(shù)梳理出函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑；課堂的最后，讓學(xué)生回到開課的問題情境，通過變式3拓展得到對(duì)勾函數(shù)。這樣使得全課前后圍繞一個(gè)問題情境漸次展開、層層遞進(jìn)，有效驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)程。可以發(fā)現(xiàn)，整節(jié)課通過“問題串”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用，“引導(dǎo)學(xué)生更深入地思考，并超出具體知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)上升到更高的層面”［2］。

（二） 開展數(shù)學(xué)欣賞，指向初高銜接

我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生早在2010年就提出要在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞的觀點(diǎn)，他指出：“數(shù)學(xué)欣賞，古已有之，中外皆然。數(shù)學(xué)美的論述多多，如和諧美、簡(jiǎn)約美、對(duì)稱美等。不過，在日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞，似乎還是未開墾的處女地，值得研究?！保?］十多年過去了，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中切實(shí)開展的數(shù)學(xué)欣賞研究，仍然沒有太大的進(jìn)展（似乎只有任念兵老師發(fā)表過一系列文章）。本節(jié)課，我們?nèi)谌肓藬?shù)學(xué)欣賞的教學(xué)活動(dòng)，通過精選開普勒第三定律、懸鏈線方程等數(shù)學(xué)史話，在開展數(shù)學(xué)欣賞的同時(shí)，提取、抽象出這些問題中的函數(shù)知識(shí)，讓學(xué)生在愉快的審美體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)和理解函數(shù)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣。這樣的教學(xué)便指向了初高中數(shù)學(xué)的銜接。

實(shí)際上，本節(jié)課指向初高銜接的做法還不止于此。課題“函數(shù)大觀”的立意源自李尚志教授的《數(shù)學(xué)大觀》一書，李教授在該書的前言中寫道：“課程命名為‘?dāng)?shù)學(xué)大觀’，是希望從總體上讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思想方法有所體會(huì)，而不是傳授具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和算法?！保?］本節(jié)課，我們?cè)谇懊娴幕仡櫴崂憝h(huán)節(jié)，重視學(xué)生對(duì)函數(shù)研究方法的感悟和積累；在后續(xù)的“數(shù)學(xué)欣賞”活動(dòng)中，抽象出一些陌生的函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生就能夠“即時(shí)調(diào)用”函數(shù)研究經(jīng)驗(yàn)，順利地猜想出一些新函數(shù)的大致圖像和性質(zhì)。此外，上文中表1和圖4、圖7、圖8等的教學(xué)預(yù)設(shè)和漸次呈現(xiàn)，也對(duì)研究函數(shù)問題的路徑做了一種較好的示范，即讓研究路徑有序展開，包括知識(shí)或方法的結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)。也即，作為對(duì)初中階段函數(shù)內(nèi)容的回顧與展望，本節(jié)課不但從知識(shí)層面上進(jìn)行了回顧梳理，更重要的是從研究方法、數(shù)學(xué)思維的層面開展了銜接教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

［1］李善良．高中數(shù)學(xué)課程改革：探索與實(shí)踐［M］．南京：江蘇教育出版社，2012：84．

［2］鄭毓信．從“問題解決”到“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”——國(guó)際視野下的中國(guó)數(shù)學(xué)教育（1）［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2024（1）：1-4+9．

［3］張奠宙．談?wù)n堂教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（10）：1-2+8.

［4］李尚志．?dāng)?shù)學(xué)大觀［M］．北京：高等教育出版社，2015：前言1.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃特色項(xiàng)目研究所專項(xiàng)課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下‘三學(xué)’立人的實(shí)踐研究”（編號(hào)：TSXM/2021/06）的階段性研究成果。文中課例《函數(shù)大觀》，從課題策劃、試教打磨到成文解讀等環(huán)節(jié)都得到了江蘇省教育科學(xué)研究院初中數(shù)學(xué)教研員徐德同老師的關(guān)心、支持與指導(dǎo)，特此致謝！