周紅亞

［摘? 要］ “鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)與生活中有著重要的應(yīng)用，具有廣泛的研究?jī)r(jià)值. 研究者以生長(zhǎng)數(shù)學(xué)理念為指引，結(jié)合教學(xué)實(shí)際精心設(shè)計(jì)指向深度學(xué)習(xí)的問題鏈，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下自主建構(gòu)“鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型，并提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生靈活應(yīng)用該模型解決不同背景的實(shí)際問題，促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 問題鏈；思維生長(zhǎng)；深度學(xué)習(xí)；鉛垂高

教學(xué)立意

1. 價(jià)值立意

“鉛垂高”這一概念雖然在教材中沒有出現(xiàn)，但是其在解決問題的過程中經(jīng)常出現(xiàn)，是解決某些數(shù)學(xué)問題的重要工具，具有一定的探究意義. 在教學(xué)中，教師若僅將“鉛垂高”作為數(shù)學(xué)模型讓學(xué)生簡(jiǎn)單套用，則學(xué)生的學(xué)只能停留于模仿和套用上，很難體現(xiàn)其教學(xué)價(jià)值，難以引發(fā)有深度的學(xué)習(xí). 為了改變這一局面，教師應(yīng)設(shè)計(jì)有效的問題情境，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)構(gòu)建“鉛垂高”這一實(shí)用型工具，以此讓學(xué)生通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，深化對(duì)知識(shí)的理解，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用水平，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

為了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，教師應(yīng)設(shè)計(jì)生長(zhǎng)路徑明顯的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生深入理解這一數(shù)學(xué)模型的基本特征及現(xiàn)實(shí)意義，同時(shí)通過多場(chǎng)景、多角度、多層次的探索幫助學(xué)生了解不同問題的區(qū)別與聯(lián)系，揭示問題的本質(zhì). 另外，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)一些獨(dú)立思考和合作交流的時(shí)間和空間，幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、拓展問題、感悟問題，運(yùn)用問題促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)，提升學(xué)生的綜合學(xué)力.

2. 教學(xué)方法

對(duì)于“鉛垂高”，其最初形態(tài)為“絕對(duì)值”，然后是“平面直角坐標(biāo)系”，其廣泛應(yīng)用于解斜三角形面積的問題中. 在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，讓學(xué)生在知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和應(yīng)用過程中深刻理解知識(shí)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力. 基于以上內(nèi)容的邏輯分析，教學(xué)中可以專題的方式展開，讓學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)思考、主動(dòng)交流、主動(dòng)建構(gòu)，通過運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動(dòng)、分析討論等多種“以生為主”的教學(xué)活動(dòng)的開展，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

教學(xué)過程

1. 專題復(fù)習(xí)，建立邏輯關(guān)聯(lián)

例1? 如圖1，請(qǐng)指出A，B，C，D各點(diǎn)分別表示的數(shù)，計(jì)算兩點(diǎn)間的距離，并說一說你的計(jì)算過程.

例2? 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？請(qǐng)分別求出線段AB，CD，AD，BC的長(zhǎng)度，并說一說你的計(jì)算過程.

師生活動(dòng)：例題給出后，教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后點(diǎn)名讓基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生呈現(xiàn)計(jì)算結(jié)果及解題過程. 從學(xué)生反饋來看，學(xué)生能夠靈活運(yùn)用絕對(duì)值和平面直角坐標(biāo)系中平行于坐標(biāo)軸的兩點(diǎn)之間距離的表示方式寫出兩點(diǎn)之間的距離.

設(shè)計(jì)意圖? 通過上述兩個(gè)例題的設(shè)計(jì)，了解學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的掌握情況，并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際反饋進(jìn)行有效的指導(dǎo)，以此掃清知識(shí)障礙，感悟知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，為接下來探究“鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型做鋪墊.

2. 問題變式，深化“鉛垂高”的理解

問題場(chǎng)景：已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）.

問題1? 如圖3，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且僅在直線BC的上方運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求線段PD的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）.

問題2? 如圖4，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且僅在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求線段PD的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）.

問題3? 點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求線段PD的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）.

師生活動(dòng)：上述三個(gè)問題難度不大，教師先讓學(xué)生獨(dú)立完成，然后以小組為單位讓學(xué)生交流探究結(jié)果，最后對(duì)學(xué)生的探究結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、歸納. 當(dāng)然，一些基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生面對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)容易產(chǎn)生畏難情緒，基于此，教師要及時(shí)啟發(fā)和指導(dǎo)，并鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流，以此通過相互啟發(fā)、相互幫扶消除學(xué)生的畏難情緒，提高學(xué)生學(xué)習(xí)信心.

設(shè)計(jì)意圖? 上述三個(gè)問題構(gòu)成了一個(gè)變式題組，審視題目不難看出，點(diǎn)P的位置雖然不同，但是其結(jié)構(gòu)相同，以此通過“變與不變”加深對(duì)“鉛垂高”表示方法的理解. 三個(gè)問題逐層呈現(xiàn)，逐層遞進(jìn)，讓學(xué)生在探究中體會(huì)“鉛垂高”表示上的細(xì)微區(qū)別，使學(xué)生的思維自然生長(zhǎng)，為接下來引出三角形面積問題做好鋪墊.

3. 問題驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)思維生長(zhǎng)

問題4? 通過前面問題的探究，大家對(duì)“鉛垂高”這一模型已經(jīng)有了一定的了解，你能說一說“鉛垂高”可以解決哪些問題嗎？

問題5? 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)幾個(gè)利用“鉛垂高”求三角形面積的問題.

結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)易知，“鉛垂高”是解決三角形面積問題的重要工具. 在教學(xué)中，教師沒有直接呈現(xiàn)相關(guān)的三角形面積問題讓學(xué)生求解，而是將題目設(shè)計(jì)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生以上述問題場(chǎng)景為背景，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的求三角形面積的問題，讓學(xué)生在設(shè)計(jì)問題的過程中體會(huì)“鉛垂高”的工具意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，在原有問題的基礎(chǔ)上學(xué)生設(shè)計(jì)了如下對(duì)應(yīng)的三角形面積問題.

問題6? 如圖5，點(diǎn)P為拋物線y= -x2+2x+3上一動(dòng)點(diǎn)，且僅在直線BC的上方運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，連接PC，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求△PBC的面積（用含m的代數(shù)式表示）.

問題7? 如圖6，點(diǎn)P為拋物線y= -x2+2x+3上一動(dòng)點(diǎn)，且僅在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，連接PC，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求△PBC的面積（用含m的代數(shù)式表示）.

問題8? 已知點(diǎn)P為拋物線y=-x2+2x+3上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，連接PC，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求△PBC的面積（用含m的代數(shù)式表示）.

師生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生改編原有問題——將求線段的問題改編為求三角形面積的問題. 教師整理并投影展示上述三個(gè)問題，然后預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生以小組合作的方式解決問題. 在解題過程中，有些小組遇到了障礙，教師啟發(fā)學(xué)生將一個(gè)三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積的和或差，這樣各個(gè)小組便順利地解決了問題. 解題后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)而揭示問題的本質(zhì)，讓學(xué)生掌握解決此類問題的通法.

設(shè)計(jì)意圖? 此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生將線段問題轉(zhuǎn)化為三角形面積問題，使數(shù)形結(jié)合更加緊密. 對(duì)于上述三個(gè)問題（問題6、問題7、問題8），無論點(diǎn)P在何位置，△PBC的面積最終都可以轉(zhuǎn)化為線段OB與線段PD的乘積的一半，而這里的OB為定值，因此解題關(guān)鍵就是求線段PD的長(zhǎng). 分析至此，問題迎刃可解. 這樣以不同背景為依托，讓學(xué)生感受“鉛垂高”在解決此類斜三角形問題中的妙用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.

問題9? 以上各題所研究的均為過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，然后用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)來表示PD的長(zhǎng). 如果將問題“變一變”，如圖7，過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，那么此時(shí)線段PE的長(zhǎng)是否依然可以用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)來表示呢？

問題10? 在問題9的基礎(chǔ)上，用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)還可以表示什么呢？能否表示△PDE的周長(zhǎng)和面積呢？

設(shè)計(jì)意圖? 通過以上問題的解決，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“斜高”與“鉛垂高”同根而生，緊密聯(lián)系. 這樣由平行到垂直，引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)知識(shí)進(jìn)行合理的串聯(lián)，拓寬學(xué)生的視野.

問題11? 如圖8，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，交線段BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求（用含m的代數(shù)式表示）.

問題12? 如圖9，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，交線段BC于點(diǎn)Q，連接PC，記△PCQ的面積為S，△OCQ的面積為S，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求（用含m的代數(shù)式表示）.

設(shè)計(jì)意圖? 上述兩個(gè)問題有一定難度，教師可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想相似三角形和“等高”模型，引導(dǎo)學(xué)生用線段PD加以 表示，讓學(xué)生進(jìn)一步感知“鉛垂高”在解決三角形面積問題中的價(jià)值. 解題后，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解題過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述問題雖然形式不同，但是其求解方法前后一致，以此在深化知識(shí)理解的同時(shí)，提高學(xué)生舉一反三的能力.

在教學(xué)過程中，教師可以根據(jù)實(shí)際學(xué)情確定是否繼續(xù)進(jìn)行拓展延伸. 若學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作交流能夠順利解決以上問題，教師還可以繼續(xù)拓展，延伸出定值，如問題1到問題3，若PD=2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；又如問題6到問題8，若△PBC的面積為定值2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；抑或在問題9的基礎(chǔ)上，給出PE的長(zhǎng)為2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；對(duì)于問題11，不妨給出=1，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 當(dāng)然還可以將問題推廣為求最值的問題，如點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD，S，PE，，是否存在最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 這樣引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析與探究問題本質(zhì)，既有利于知識(shí)的深化，又能幫助學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng).

4. 體驗(yàn)感悟，促進(jìn)知識(shí)的升華

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若想讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，僅僅靠講授和練習(xí)是不夠的，還要預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行反思與感悟. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生實(shí)際學(xué)情設(shè)計(jì)問題鏈，使學(xué)生在問題鏈的驅(qū)動(dòng)下掌握了核心的基礎(chǔ)知識(shí)，鍛煉了學(xué)生的解題技能. 同時(shí)通過有效的歸納總結(jié)讓學(xué)生體會(huì)許多看似不同的問題，其解題方法卻有異曲同工之妙，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性. 在歸納總結(jié)環(huán)節(jié)中，教師又設(shè)計(jì)了如下問題引導(dǎo)學(xué)生回頭看.

（1）本節(jié)課我們主要復(fù)習(xí)了哪些內(nèi)容？

（2）通過以上問題的解決，你有何發(fā)現(xiàn)？問題最后落在了何處？

（3）解決問題的過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法和策略？

設(shè)計(jì)意圖? 反思與回顧是課堂教學(xué)的重要一環(huán)，是完善認(rèn)知、內(nèi)化能力的主要途徑. 該環(huán)節(jié)若僅預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生總結(jié)歸納而不進(jìn)行有效的指導(dǎo)，可能難以達(dá)到預(yù)期. 基于此，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下積極思考、積極交流，以此理清知識(shí)的來龍去脈，逐步建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升分析和解決問題的能力.

教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課不僅要讓學(xué)生知道知識(shí)和方法從哪里來，還要讓學(xué)生知道知識(shí)和方法到哪里去，在腦海中形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)，以便學(xué)生能夠靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師精心設(shè)計(jì)問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生回顧“絕對(duì)值”和“平面直角坐標(biāo)系”相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生感悟知識(shí)間的邏輯聯(lián)系. 在此基礎(chǔ)上引出“鉛垂高”的應(yīng)用，以此通過對(duì)問題的深入探究建構(gòu)起知識(shí)與方法的“前世今生”，逐步形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)重視合理地引入問題鏈，充分發(fā)揮問題在誘發(fā)學(xué)生思考，啟迪學(xué)生智慧，優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面的價(jià)值，提高復(fù)習(xí)教學(xué)有效性. 為了充分發(fā)揮問題鏈的積極作用，教師在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)應(yīng)重視以下幾點(diǎn).

1. 問題設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)生長(zhǎng)

在傳統(tǒng)復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了實(shí)現(xiàn)“多講多練”的教學(xué)目標(biāo)，部分教師在復(fù)習(xí)課堂的選題上呈現(xiàn)出一定的隨意性，使課堂上出現(xiàn)了一些重復(fù)題或無太大關(guān)聯(lián)的問題，而重復(fù)的練習(xí)容易造成思維疲勞，而關(guān)聯(lián)不大的問題會(huì)影響思維的自然生長(zhǎng)，這樣的復(fù)習(xí)課堂看似豐富多彩，其實(shí)學(xué)生的收獲甚微，影響復(fù)習(xí)效果. 因此，教師在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，應(yīng)注意問題的梯度性和生長(zhǎng)性，使學(xué)生的思維潛移默化地發(fā)散和生長(zhǎng). 在本節(jié)課教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示“鉛垂高”PD后，還可以讓學(xué)生思考若PD為確定值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步延伸，讓學(xué)生思考“鉛垂高”是否存在最值，以此通過有效的拓展延伸，讓學(xué)生的思維自然生長(zhǎng).

2. 問題設(shè)計(jì)應(yīng)回歸本原

在本節(jié)課教學(xué)中，教師從不同角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生利用不同方法解決問題，以此通過多角度分析和全方位探討讓學(xué)生對(duì)如何應(yīng)用“鉛垂高”處理三角形面積問題了然于心. 如求PD的長(zhǎng)和△PBC的面積，點(diǎn)P的位置雖然不同，但是其構(gòu)造方式相同，解題思路相同，應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法也相同，這樣通過全方位探討讓學(xué)生對(duì)“鉛垂高”的理解更加透徹，促進(jìn)學(xué)生深入思考，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

總之，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)精心選題，合理設(shè)置問題鏈，有意識(shí)地呈現(xiàn)知識(shí)的“前世今生”，以此讓學(xué)生全方位地理解知識(shí)，建構(gòu)完善的知識(shí)體系，提高課堂教學(xué)有效性.