陸曉松

[ 摘 要 ]最近發(fā)展區(qū)理論、社會(huì)建構(gòu)主義理論、認(rèn)知建構(gòu)主義理論是“支架式”教學(xué)模式的理論基礎(chǔ).研究者以“因式分解”的教學(xué)為例，從“做數(shù)學(xué)”的角度出發(fā)，分別從“設(shè)計(jì)組塊支架，揭露概念的發(fā)生與還原過程”“設(shè)計(jì)補(bǔ)償支架，體驗(yàn)概念的同化與順應(yīng)過程”“設(shè)計(jì)共變支架，領(lǐng)悟概念的沖突與統(tǒng)一關(guān)系”三方面展開教學(xué)與思考.

[ 關(guān)鍵詞 ]“支架式”教學(xué)；最近發(fā)展區(qū)；教學(xué)

支架式教學(xué)模式是基于最近發(fā)展區(qū)理論發(fā)展而來的一種教學(xué)方式，它強(qiáng)調(diào)主動(dòng)建構(gòu)的重要性，而教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥與引導(dǎo)就是為學(xué)生提供支架的過程，當(dāng)學(xué)生獲得自主解決問題的能力后，教師再將支架撤銷.本文以“因式分解”的概念教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中借助實(shí)驗(yàn)設(shè)置支架，以提高教學(xué)效率，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)能力.

理論基礎(chǔ)

1.最近發(fā)展區(qū)理論

維果斯基認(rèn)為人的認(rèn)知實(shí)際發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平之間存在一個(gè)區(qū)域?yàn)椤白罱l(fā)展區(qū)”.這就好比登山的起點(diǎn)與山頂之間的區(qū)域，想要從起點(diǎn)出發(fā)到達(dá)山頂，需要付出很大的努力.本文所提到的支架就如同陪跑者的攙扶，讓登山的過程更加順暢.如圖1，教師通過對(duì)學(xué)生已有認(rèn)知水平的研究，確定其潛在發(fā)展水平，再以各種手段為學(xué)生搭建合適的支架幫助學(xué)生突破困難，完成學(xué)習(xí)任務(wù).

2.社會(huì)建構(gòu)主義理論

該理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是個(gè)體與同伴之間的互動(dòng)過程，學(xué)習(xí)主體在文化支架的輔助下積極參與實(shí)踐活動(dòng)，并學(xué)會(huì)應(yīng)用相關(guān)工具習(xí)得新知.同時(shí)，該理論強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合理的情境，為學(xué)生提供豐富的教學(xué)素材、工具與引導(dǎo)等，以更好地幫助學(xué)生建構(gòu)新知.支架式教學(xué)就是在這種理論基礎(chǔ)上形成與發(fā)展而來的，它可以更好地幫助學(xué)生掌握并建構(gòu)新知.

3.認(rèn)知建構(gòu)主義理論

該理論認(rèn)為當(dāng)新知進(jìn)入學(xué)習(xí)主體的認(rèn)知范疇時(shí)，學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知之間會(huì)形成一種不平衡的沖突狀態(tài)，人腦則會(huì)想方設(shè)法地將新知與已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)勾連起來，通過同化或順應(yīng)，將新知納入原有的知識(shí)體系中，擴(kuò)充知識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到新的認(rèn)知平衡.學(xué)生的認(rèn)知就在這種循環(huán)往復(fù)中不斷發(fā)展、推進(jìn).支架式教學(xué)就是基于此基礎(chǔ)，以支架作為新舊認(rèn)知之間的橋梁，構(gòu)建新的知識(shí)體系.

教學(xué)實(shí)踐

1.設(shè)計(jì)組塊支架，揭露概念的發(fā)生與還原過程

組塊是指人腦將一些類似的物體感知為一個(gè)組塊的能力，如常見的“問題反映塊”就屬于組塊的范疇.從人腦組織結(jié)構(gòu)的角度來分析，我們的左腦擅長(zhǎng)概念、語言、細(xì)節(jié)、邏輯思維、計(jì)算或抽象思維等常規(guī)思維，右腦則對(duì)形象思維、音樂欣賞、圖像認(rèn)知與三維空間等有著直接影響.從左右腦的分工來看，右腦承載著數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的功能.

基于以上分析，我們?cè)谠O(shè)計(jì)認(rèn)知支架時(shí)，可結(jié)合大腦分工特點(diǎn)進(jìn)行創(chuàng)設(shè)，從不同角度培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)造意識(shí).設(shè)計(jì)時(shí)，教師需思考如下問題：①設(shè)計(jì)的支架要便于知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”；②設(shè)計(jì)的思維組塊可將學(xué)生置于問題中，促進(jìn)常規(guī)思維與創(chuàng)新思維的互換；③通過解決問題讓學(xué)生親歷概念的發(fā)生與還原過程，落實(shí)教學(xué)目標(biāo).

教學(xué)活動(dòng)一

（1）如圖2，要求學(xué)生以實(shí)驗(yàn)的方式，用2張B型紙與1張C型紙拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形，計(jì)算拼接而成的圖形的面積，并寫出等式.

（2）將1張B型紙全部覆蓋于C型紙上，求未被覆蓋部分的面積，并寫出等式.

第一步 分別準(zhǔn)備2張B型紙與1張C型紙，學(xué)生自主拼圖形成圖3①.結(jié)合圖示，從局部出發(fā)可知大長(zhǎng)方形的面積為a2+2ab；而從宏觀的角度來分析，長(zhǎng)方形的面積為a（a+2b）.從這兩種計(jì)算方法可以看出左右腦呈現(xiàn)出來的思維差別.將兩種計(jì)算方法結(jié)合在一起就組成等式：a2+2ab=a（a+2b），此為一般化思維的過程，是學(xué)習(xí)的一種常見模式.

第二步 學(xué)生自主將1張B型紙全部覆蓋于C型紙上，大部分學(xué)生呈現(xiàn)的結(jié)果如圖3②所示.從局部的角度分析，未被覆蓋部分的面積為a2-ab；而從整體的角度來看，未被覆蓋部分的面積為a（a-b），此為右腦認(rèn)知在發(fā)揮具體的作用.從不同的角度來觀察會(huì)獲得不同的思維，結(jié)合以上分析，可得等式：a2-ab= a（a-b）.此為一種數(shù)學(xué)常規(guī)現(xiàn)象，屬于將“合情”上升至“合理”，屬于概念的有序抽象.

第三步 從算理內(nèi)部關(guān)系出發(fā)，驗(yàn)證以上新發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)等式是否合理.此過程中，以“單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘”的方法即可確定其科學(xué)性，如計(jì)算a（a+2b）與a（a-b），就能揭露整式乘法和因式分解的互逆關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)以實(shí)驗(yàn)組塊模式為主，意在引導(dǎo)學(xué)生從直觀的視覺中感知因式分解的內(nèi)涵與本質(zhì).學(xué)生在探索過程中，如果把拼長(zhǎng)方形的活動(dòng)視為“組塊支架”，那么活動(dòng)過程中的拼圖、算圖以及抽象而來的結(jié)論則是將“新異”轉(zhuǎn)化成一種數(shù)學(xué)常規(guī)并抽象出相應(yīng)概念的過程，屬于認(rèn)知的一般方式.同時(shí)，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘知識(shí)的應(yīng)用，可幫助學(xué)生還原概念的發(fā)生過程，讓學(xué)生從真正意義上理解因式分解的概念與內(nèi)涵.

2.設(shè)計(jì)補(bǔ)償支架，體驗(yàn)概念的同化與順應(yīng)過程

補(bǔ)償支架一般以“做數(shù)學(xué)”的方式植入逆向思維，幫助學(xué)生建立概念與概念的關(guān)系體系，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有重要意義.常見的方法是帶領(lǐng)學(xué)生從不同的視角來觀察與分析問題或通過一題多解發(fā)散思維.如結(jié)合圖示來描述因式分解的概念時(shí)，就可應(yīng)用“像這樣……，稱為……”的表述模式體現(xiàn)概念的關(guān)系，這屬于感性思維的補(bǔ)償.

由于“拼圖”活動(dòng)的開展，學(xué)生的思維從感性轉(zhuǎn)化為理性，并在操作與思考中初步發(fā)現(xiàn)概念的存在.“變形”過程主要體現(xiàn)在將因式分解和整式乘法建立逆向關(guān)系上，這是對(duì)概念進(jìn)行系統(tǒng)表達(dá)的基礎(chǔ)，能幫助學(xué)生更好地抽象與補(bǔ)償概念的屬性（等號(hào)右側(cè)為幾個(gè)整式的積）.

從認(rèn)知建構(gòu)心理學(xué)出發(fā)，學(xué)生建構(gòu)概念必須經(jīng)過同化與順應(yīng)兩個(gè)過程.課堂上，對(duì)因式分解概念的同化主要通過拼圖法來暴露“整式乘法”的算理；對(duì)概念的順應(yīng)則于“變式拼圖”的基礎(chǔ)上，通過變形思想的應(yīng)用將因式分解的內(nèi)部關(guān)系暴露出來，以擴(kuò)大學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用范圍，促使學(xué)生更好地理解因式分解.

教學(xué)活動(dòng)二

（1）取圖2所示的A，B，C型紙各1張、3張、2張拼接成長(zhǎng)方形，從不同角度對(duì)所拼圖形的面積進(jìn)行計(jì)算，將不同算法列成等式.

（2）借助拼圖來因式分解二次三項(xiàng)式a2+4ab+3b2.

第一步 學(xué)生自主拼圖（圖4①），從整體與局部?jī)蓚€(gè)維度出發(fā)，針對(duì)拼接而來的長(zhǎng)方形的面積可列出式子2a2+ 3ab + b2與（a + b）（2a + b），第一個(gè)式子是大腦枕葉的視覺思維發(fā)揮了作用，學(xué)生從可視化的圖中發(fā)現(xiàn)二次三項(xiàng)式的系數(shù)實(shí)則為各種規(guī)格紙張的數(shù)量.經(jīng)探索，列出等式：（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+ b2，此為概念的同化過程.

第二步 如圖4②，通過拼圖分解因式a2+4ab+3b2（二次三項(xiàng)式）.將該式轉(zhuǎn)化成紙片的張數(shù)為概念的補(bǔ)償和變式，而拼圖的過程則屬于分解因式的過程，即a2+4ab+ 3b2=（a+b）（a+3b）為概念的順應(yīng).此過程顯然擴(kuò)大了經(jīng)驗(yàn)的適用范圍，也就是把“整式乘法”擴(kuò)展到“因式分解”，充分豐富了學(xué)生的腦認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).

設(shè)計(jì)意圖 補(bǔ)償支架的設(shè)置，讓學(xué)生在算圖思維的參與下學(xué)會(huì)按張或按式拼圖建構(gòu)概念關(guān)系.由此，使得學(xué)生對(duì)因式分解的內(nèi)涵有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).若將“拼圖與算圖”理解為概念的同化，則“張”與“式”間的變式就是概念的順應(yīng)，此過程凸顯了數(shù)學(xué)思維的可逆性與補(bǔ)償性，有效促進(jìn)了概念關(guān)系的建立.

3.設(shè)計(jì)共變支架，領(lǐng)悟概念的沖突與統(tǒng)一關(guān)系

“共變”本為哲學(xué)領(lǐng)域常用的一個(gè)詞，是一種變量思想，揭示變量運(yùn)動(dòng)變化的共同趨勢(shì)，應(yīng)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域則具備抽象與普遍性特征.如我們所熟悉的“舉一反三”“道生無限”等，就屬于共變的常規(guī)形式.共變支架模式的設(shè)計(jì)，可從“不確定”的角度出發(fā)，如半開放、開放、反觀開放與條件性開放等都屬于“不確定”共變支架的類型，常見的有“請(qǐng)舉例描述你對(duì)某個(gè)概念的理解”“請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)類似的實(shí)驗(yàn)”等.

從數(shù)學(xué)層面上來說，一些不確定性往往預(yù)示著創(chuàng)新的開始，對(duì)促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展有積極的意義.教師可在此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)一些具有相關(guān)性的問題，讓學(xué)生身處與之類似的情境中，逐漸完善對(duì)單個(gè)概念、單元概念以及系統(tǒng)概念的關(guān)聯(lián)認(rèn)識(shí).如利用“a×a，b×b，a×b（a > b）”規(guī)格的紙張進(jìn)行拼接長(zhǎng)方形的實(shí)驗(yàn)，教師可結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)具有一定層次的實(shí)驗(yàn)組塊，從任意拼圖寫關(guān)系式出發(fā)，到從拼接而來的圖形關(guān)系式著手，再到固定紙張數(shù)量拼圖及關(guān)系式的書寫等，這些都屬于共變支架的應(yīng)用.此過程中，用不確定的紙張數(shù)量來拼圖最容易引起學(xué)生的思維沖突，能促進(jìn)學(xué)生形成概念的共識(shí)，而算理推演和證悟的參與可有效化解學(xué)生的認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生形成概念的統(tǒng)一.此為共變支架應(yīng)用的主要意義，對(duì)提升學(xué)生的領(lǐng)悟能力具有重要作用.

教學(xué)活動(dòng)三

問題 嘗試用圖2中不同類型的紙張拼成面積為a2+4ab+b2的長(zhǎng)方形，若不好拼，思考該如何添加紙張，以拼成相應(yīng)的圖形.

第一步 按照問題條件所給的關(guān)系式a2+4ab+b2進(jìn)行任意長(zhǎng)方形的拼接，通過手腦協(xié)作初步感知能否完成這個(gè)任務(wù)，從拼圖的過程來判斷該式是否可以因式分解，并說出判定依據(jù).

第二步 與學(xué)生積極互動(dòng)，適當(dāng)點(diǎn)撥學(xué)生在拼圖過程中通過添加紙片的方式解決問題，這是改變式子中單項(xiàng)式系數(shù)的做法，即把原式轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的二次三項(xiàng)式，使得由新的式子可以順利拼出長(zhǎng)方形.多項(xiàng)式a2+3ab+2b2與a2+4ab+4b2為大部分學(xué)生研究的內(nèi)容，如圖5，拼接而成的長(zhǎng)方形與正方形關(guān)系式分別為a2+3ab+2b2=（a+b）（a+ 2b）與a2+4ab+4b2=（a+2b）2.

設(shè)計(jì)意圖 該活動(dòng)的設(shè)計(jì)意在通過式子引發(fā)學(xué)生的拼圖認(rèn)知沖突，讓學(xué)生從拼圖中感知并不是所有的二次三項(xiàng)式都具備可因式分解的特征，這是外顯因式分解本質(zhì)的過程.而紙張的調(diào)整則直接將多項(xiàng)式中各單項(xiàng)式的系數(shù)問題暴露在學(xué)生面前，讓學(xué)生通過不斷地嘗試拼長(zhǎng)方形，以化解原來不好拼圖的認(rèn)知沖突，從真正意義上實(shí)現(xiàn)概念的共變與證悟，發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)與逆向思維.

總之，支架式教學(xué)的價(jià)值并不僅僅局限于概念的探索，還體現(xiàn)在學(xué)生“做數(shù)學(xué)”過程中產(chǎn)生的興趣、好奇等.事實(shí)證明，組塊支架、補(bǔ)償支架與共變支架等可將一些“新異”知識(shí)轉(zhuǎn)化為“常規(guī)”內(nèi)容，這是促使左右腦協(xié)調(diào)的過程，對(duì)同化與順應(yīng)概念、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力具有重要意義.因此，這是一種發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)模式，值得每一位教育工作者去研究與探索.