收稿日期：2021-11-11""" 修回日期：2022-04-07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助項(xiàng)目（No.51775427）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（No.2019JQ-796）

通信作者：?jiǎn)绦闹?，副教授。E-mail：qiaoxinzhou@xust.edu.cn

引用格式：

喬心州，裴金星，劉鵬，等.多維平行六面體模型非概率可靠性靈敏度分析［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，

2024，41（3）：575-584.

QIAO Xinzhou，PEI Jinxing，LIU Peng，et al.Non-probabilistic reliability sensitivity analysis based on a multidimensional parallelepiped model［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：575-584.

文章編號(hào)：1000-4939（2024）03-0575-10

摘" 要：可靠性靈敏度能夠反映基本變量分布參數(shù)對(duì)可靠度的影響程度，為可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。提出了一種基于多維平行六面體模型的非概率可靠性靈敏度分析方法。首先，給出基本變量域完全位于安全域時(shí)采用非概率可靠性指標(biāo)，而基本變量域與安全域有交集時(shí)采用非概率失效度作為可靠性度量的原因。其次，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)線性系統(tǒng)的可靠性靈敏度解析式，并進(jìn)一步探討所提方法對(duì)結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的適應(yīng)性問題。最后，通過3個(gè)工程算例驗(yàn)證文中方法有效可行。

關(guān)鍵詞：非概率可靠性；靈敏度分析；多維平行六面體模型；可靠性指標(biāo)；失效度

中圖分類號(hào)：TB114.3" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.010

Non-probabilistic reliability sensitivity analysis based ona multidimensional parallelepiped model

QIAO Xinzhou，PEI Jinxing，LIU Peng，F(xiàn)ANG Xiurong

（College of Mechanical Engineering，Xian University of Science and Technology，710054 Xian，China）

Abstract：Reliability sensitivity can reflect the influence of the distribution parameter of basic variable on reliability and guide reliability analysis and reliability-based optimization，a non-probabilistic reliability sensitivity analysis method is proposed based on a multidimensional parallelepiped model.The explanation is first given that the non-probabilistic reliability index and the non-probabilistic failure degree are respectively used as the reliability measure of structures when the basic variable domain is entirely within and overlaps with the safe domain.The analytical expressions of reliability sensitivity of a linear system is then derived，and their application in nonlinear system is further discussed.Three numerical examples are finally provided to demonstrate the feasibility and effectiveness of the proposed method.

Key words：non-probabilistic reliability；sensitivity analysis；multidimensional parallelepiped model；reliability index；failure degree

可靠性靈敏度能夠給出結(jié)構(gòu)可靠度變化與基本變量分布參數(shù)變化的內(nèi)在聯(lián)系，為可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)［1-2］。傳統(tǒng)的可靠性靈敏度分析方法如一次二階矩法［3］、二次二階矩法［4］、基于樣本的數(shù)值模擬方法［5-6］、響應(yīng)面法［7］等均是基于概率模型的。使用概率模型的前提是需要有不確定變量的大量精確的樣本信息，而這在許多實(shí)際工程問題中通常難以獲得。在上述背景下，眾多研究者提出非概率凸模型如區(qū)間模型［8-9］、橢球模型［10-11］、多維平行六面體模型［12-13］來(lái)有效處理未知但有界的小樣本信息。

近年來(lái)，作為非概率模型的應(yīng)用領(lǐng)域之一，結(jié)構(gòu)非概率可靠性靈敏度分析取得了一定的進(jìn)展。李貴杰等［14］提出一種基于區(qū)間模型的非概率可靠性靈敏度分析方法，針對(duì)線性和非線性功能函數(shù)，該方法可分別給出準(zhǔn)確和近似的分析結(jié)果。然而，該方法沒有考慮區(qū)間變量之間的相關(guān)性。XIAO等［15］采用等式和不等式約束反映區(qū)間變量的相關(guān)性，提出一種新的區(qū)間模型非概率可靠性靈敏度分析方法。ZHANG等［16］提出一種基于橢球模型的非概率可靠性靈敏度分析方法，但該方法僅給出非概率可靠性指標(biāo)對(duì)變量中點(diǎn)和半徑的靈敏度信息，無(wú)法提供可靠性變化與變量相關(guān)性變化的內(nèi)在聯(lián)系。喬心州等［17］采用相關(guān)系數(shù)反映變量之間的相關(guān)性，提出一種新的橢球模型非概率可靠性靈敏度分析方法。概而言之，非概率可靠性靈敏度理論仍處于有待發(fā)展完善階段。

本研究基于以下情況進(jìn)行。首先，目前的非概率可靠性靈敏度分析方法是基于區(qū)間模型或橢球模型，理論上只能分別處理獨(dú)立變量或相關(guān)變量。然而，許多工程結(jié)構(gòu)通常涉及獨(dú)立變量和相關(guān)變量共存的多源不確定性問題，因此亟待發(fā)展一種同時(shí)考慮這兩種變量共存的非概率可靠性靈敏度分析方法。其次，現(xiàn)有非概率可靠性靈敏度分析方法均是采用非概率可靠性指標(biāo)作為可靠性度量。目前，非概率可靠性度量主要有非概率可靠性指標(biāo)和非概率失效度［18-19］，且兩種度量有各自特點(diǎn)、適用情況不盡相同。因此有必要發(fā)展針對(duì)兩種可靠性度量的非概率可靠性靈敏度分析方法。

本研究采用多維平行六面體模型描述多源不確定性變量，提出一種非概率可靠性靈敏度分析方法。首先，介紹多維平行六面體模型，給出在不同情況下分別采用非概率可靠性指標(biāo)和失效度作為可靠性度量的原因；其次，給出基于非概率可靠性指標(biāo)和失效度的結(jié)構(gòu)線性系統(tǒng)可靠性靈敏度解析式，并討論所提方法對(duì)結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的適用性；然后，通過3個(gè)工程算例驗(yàn)證本研究所提方法的有效性和可行性；最后，對(duì)本研究進(jìn)行總結(jié)和展望。

1" 基于多維平行六面體模型的非概率可靠性度量

1.1" 多維平行六面體模型

多維平行六面體模型采用多維平行六面體對(duì)結(jié)構(gòu)不確定向量X=X1，X2，…，XnT的不確定域Γ進(jìn)行描述，數(shù)學(xué)上可表示為［13］

Γ=XC－1X－Xc≤e（1）

式中：·表示矩陣中元素均取絕對(duì)值；Xc=［Xc1，Xc2，…，Xcn］T是平行六面體的中點(diǎn)；e為n×1的單位向量；C為平行六面體的形狀矩陣，其表達(dá)式為

C=ρ11Xr1∑nj=1ρ1jρ12Xr1∑nj=1ρ1j…ρ1nXr1∑nj=1ρ1jρ21Xr2∑nj=1ρ2jρ22Xr2∑nj=1ρ2j…ρ2nXr2∑nj=1ρ2jρn1Xrn∑nj=1ρnjρn2Xrn∑nj=1ρnj…ρnnXrn∑nj=1ρnj（2）

式中，ρij（i，j=1，2，…，n）表示的是區(qū)間變量Xi和Xj的相關(guān)系數(shù)，且滿足ρii=ρjj=1和－1≤ρij=ρji≤1，Xri為變量Xi的區(qū)間半徑。圖1給出了平行六面體模型的二維情形，其相關(guān)系數(shù)為ρij=b－ab+a，b和a分別為平行四邊形的兩個(gè)對(duì)角線半軸。

1.2" 基于多維平行六面體模型的結(jié)構(gòu)非概率可靠性度量

為便于對(duì)多維平行六面體模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性度量，引入以下線性變換

δ=C－1ΔX（3）

式中，ΔX=X－Xc。圖2給出了二維情況下的線性變換，通過上述變換，多維平行六面體模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)中心在原點(diǎn)、區(qū)間半徑為1的標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間模型。顯然上述處理不會(huì)改變點(diǎn)、直線和平面的相對(duì)位置，因此可在標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間變量空間內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性進(jìn)行定義。

考慮結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g（X），變量X的不確定域由式（1）確定，通過式（3）所示線性變換可得其標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間變量空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)G（δ）。按照結(jié)構(gòu)可靠性理論，失效面G（δ）=0將結(jié)構(gòu)狀態(tài)分為失效（G（δ）lt;0）和安全（G（δ）≥0）兩種不同狀態(tài)。借鑒區(qū)間模型非概率可靠性指標(biāo)［7］和非概率失效度［20］定義，多維平行六面體模型非概率可靠性指標(biāo)β和非概率失效度f(wàn)可分別表示為

β=minδ‖δ‖SymboleB@=minδmaxδ1，δ2，…，δn

s.t.Gδ=0

（4）

f=VfV（5）

式中：‖·‖SymboleB@為無(wú)窮范數(shù)；Vf為基本變量域（整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間變量構(gòu)成的區(qū)域）落入失效域的體積；V為基本變量域的體積。

本研究對(duì)于結(jié)構(gòu)處于完全安全狀態(tài)時(shí)，采用非概率可靠性指標(biāo)；結(jié)構(gòu)可能安全可能失效時(shí)，則采用非概率失效度作為結(jié)構(gòu)可靠性度量。以下結(jié)合圖3予以解釋說明，考慮到可靠性靈敏度反映的是可靠性變化與基本變量分布參數(shù)變化的關(guān)系，因此可靠性度量應(yīng)能夠反映結(jié)構(gòu)安全程度變化。對(duì)于圖3（a）所示的結(jié)構(gòu)完全安全狀態(tài)，顯然可靠性指標(biāo)能夠反映基本變量域與失效面相對(duì)位置變化，而失效度恒為零未能反映該變化；對(duì)于圖3（b）所示的結(jié)構(gòu)可能安全可能失效狀態(tài)，兩者均能反映基本變量域與失效面相對(duì)位置變化，相比而言失效度能更為準(zhǔn)確反映其變化。如圖3（b）中所示兩個(gè)結(jié)構(gòu)線性功能函數(shù)，顯然兩者可靠性指標(biāo)相同，但失效度不同，表明此時(shí)采用失效度能夠給出更精準(zhǔn)的可靠性度量；對(duì)于圖3（c）所示的結(jié)構(gòu)完全失效狀態(tài)，可得出與圖3（a）類似結(jié)論，需要指出的是此狀態(tài)討論更具有概念性而非實(shí)踐性，原因在于完全失效的結(jié)構(gòu)在工程設(shè)計(jì)中是不被接受的。此外，上述非概率可靠性指標(biāo)和失效度之間不存在確定函數(shù)關(guān)系，這也意味著兩者相應(yīng)的可靠性靈敏度可能存在實(shí)質(zhì)差異，這與概率可靠性靈敏度中存在的現(xiàn)象（概率可靠性指標(biāo)和失效概率存在確定函數(shù)關(guān)系，因此兩者的可靠性靈敏度存在確定聯(lián)系）是不一致的。

2" 線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非概率可靠性靈敏度分析

2.1" 基于非概率可靠性指標(biāo)的靈敏度分析

根據(jù)1.2節(jié)分析，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于完全安全狀態(tài)時(shí)，應(yīng)采用非概率可靠性指標(biāo)作為可靠性度量?？紤]如下基本變量X=X1，X2，…，XnT的線性功能函數(shù)gX

gX=a0+∑ni=1aiXi（6）

通過式（3）所示線性變換，得到標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間變量空間下的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

Gδ=a0+∑ni=1aiXci+∑ni=1aiXri∑nj=1ρijδj∑nj=1ρij（7）

式中：aii=0，1，…，n表示常數(shù)；δ=［δ1，δ2，…，δn］T為標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間變量空間的不確定向量。

則該線性功能函數(shù)的非概率可靠性指標(biāo)［7］為

β=min‖δ‖SymboleB@=a0+∑ni=1aiXci∑nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij（8）

與概率可靠性靈敏度定義類似，可將非概率可靠性靈敏度定義為非概率可靠性指標(biāo)對(duì)不確定變量的中點(diǎn)、區(qū)間半徑和相關(guān)系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，其解析式分別為

βXci=ai∑nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij（9）

βXri=－aia0+∑ni=1aiXci∑nk=1sign∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijρik∑nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij2∑nj=1ρij（10）

βρij=－2sign∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijaiXria0+∑ni=1aiXci∑nj=1ρij－ρij∑nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij2∑nj=1ρij2， ρij≥0

－2sign∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijaiXria0+∑ni=1aiXci∑nj=1ρij∑nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij2∑nj=1ρij2， ρijlt;0（11）

式中：sign（·）為符號(hào)函數(shù)；當(dāng)·分別取正、零和負(fù)值時(shí)，函數(shù)值為1、0和－1。

2.2" 基于非概率失效度的靈敏度分析

當(dāng)結(jié)構(gòu)處于可能安全可能失效狀態(tài)時(shí)，宜采用非概率失效度作為可靠性度量。必須指出，即便對(duì)于結(jié)構(gòu)線性功能函數(shù)，其基本變量域落入失效域的區(qū)域體積計(jì)算也是相當(dāng)復(fù)雜的，如對(duì)于二維問題，其區(qū)域形狀可能為三、四或五邊形?？紤]到工程實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求均是較小失效度問題，這也意味著該區(qū)域形狀有較大可能為一個(gè)僅包含超立方體的，一個(gè)頂點(diǎn)且通過該點(diǎn)的棱兩兩垂直的多維直角三棱錐，文獻(xiàn)［21］給出上述情況下的該區(qū)域體積的解析解。對(duì)于結(jié)構(gòu)線性功能函數(shù)gX=a0+∑ni=1aiXi，其非概率失效度為

f=∑nk=1∑ni=1aiXri∑nj=1ρik∑nj=1ρij－a0+∑ni=1aiXcin2nn！∏nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij（12）

式（12）的詳細(xì)推導(dǎo)過程可參見附錄A。

同樣借鑒傳統(tǒng)概率可靠性靈敏度的定義，將非概率可靠度靈敏度定義為非概率失效度對(duì)不確定變量均值、區(qū)間半徑和相關(guān)系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。失效度f(wàn)對(duì)均值Xci的可靠性靈敏度為

fXci=－ai∑nk=1∑ni=1aiXri∑nj=1ρik∑nj=1ρij－a0+∑ni=1aiXcin－12n（n－1）！∏nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij

（13）

為方便表述失效度f(wàn)對(duì)區(qū)間半徑Xri和相關(guān)系數(shù)ρij的可靠性靈敏度，引入以下變量代換

∑nk=1∑ni=1aiXri∑nj=1ρik∑nj=1ρij－a0+∑ni=1aiXci=A∏nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij=B（14）

式（14）中A、B分別表示代換量。

則上述兩個(gè)可靠性靈敏度指標(biāo)分別為

fXri=aiAn－1∑nk=1sign∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij∑nj=1ρij2nn－1！B∑nj=1ρij－An∑nk=1sign∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijB∑ni=1aiXriρki∑nj=1ρijaiρik∑nj=1ρij2nn！B2（15）

fρij=An－1∑ni=1sign∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijaiXri∑nj=1ρij－signρij∑nj=1ρij∑nj=1ρij22nn－1！B+

An∑nk=1sign∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijB∑ni=1aiXriρki∑nj=1ρijsignρijaiXriρik∑nj=1ρij22nn！B2（16）

2.3" 所提方法對(duì)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的適用性

在實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)功能函數(shù)通常為非線性函數(shù)，因此有必要討論本研究方法對(duì)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的適用性問題。通過2.1和2.2節(jié)分析，可以看出非概率可靠性靈敏度實(shí)際上是非概率可靠性分析的副產(chǎn)品，可為其提供理論指導(dǎo)。因此，非概率可靠性靈敏度的精度對(duì)非概率可靠性分析具有較強(qiáng)依賴性，即可靠性分析的精度直接反映和影響可靠性靈敏度的精度。眾所周知，對(duì)于非線性功能函數(shù)，可采用在設(shè)計(jì)點(diǎn)（標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量空間內(nèi)失效面上到原點(diǎn)距離最短的點(diǎn)，距離采用無(wú)窮范數(shù)度量）進(jìn)行一階泰勒展開的近似線性化技術(shù)對(duì)其進(jìn)行近似可靠性分析。圖4給出了二維情況下結(jié)構(gòu)功能函數(shù)線性近似示意圖，其中設(shè)計(jì)點(diǎn)δ可由式（4）通過優(yōu)化方法確定。顯然，對(duì)于弱非線性問題，可靠性分析及相應(yīng)可靠性靈敏度分析均能保證足夠的近似精度。對(duì)于強(qiáng)非線性功能函數(shù)，如果用傳統(tǒng)的近似線性化方法求解，由于強(qiáng)非線性效應(yīng)，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果誤差明顯增加，本研究方法的精度也值得商榷。

3" 算例討論

以下給出3個(gè)工程結(jié)構(gòu)算例對(duì)文中方法進(jìn)行討論，其中，前2個(gè)算例涉及結(jié)構(gòu)線性功能函數(shù)，第3個(gè)算例涉及結(jié)構(gòu)非線性功能函數(shù)。為檢驗(yàn)文中方法對(duì)結(jié)構(gòu)非線性功能函數(shù)的適用性，以有限差分法的結(jié)果作為參考解進(jìn)行了對(duì)比。

3.1" 懸臂梁算例

考慮圖5所示懸臂梁［21］，其在距離固定端b1=2m、b2=3m和b3=4m處分別承受3個(gè)集中力F1、F2和F3。F1∈［4.4，5.5］kN、F2∈［1.8，2.2］kN和F3∈［0.7，1.3］kN為不確定性變量，變量間相關(guān)系數(shù)為ρF1F2=0.2、ρF1F3=－0.1和ρF2F3=0.3。當(dāng)懸臂梁的力矩超過許用值mcr時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生失效，則相應(yīng)的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

G（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3）=mcr－b1F1－b2F2－b3F3（17）

不確定變量的不確定域可表示為

－e≤0.50000.1000－0.0500.02670.1333

0.0400－0.0250.07500.2500－1F1－Fc1F2－Fc2F3－Fc3≤e（18）

為驗(yàn)證本研究方法，分別考慮mcr=22kN·m和mcr=24kN·m兩種情況，其中，第一種情況時(shí)可靠性指標(biāo)β=0.8205，采用失效度度量可靠性，同時(shí)給出可靠性指標(biāo)的靈敏度分析結(jié)果用于對(duì)比；第二種情況時(shí)可靠性指標(biāo)β=1.60198，采用可靠性指標(biāo)度量可靠性。兩種情況下的非概率可靠性靈敏度分析結(jié)果見表1。

由表1可得出以下結(jié)論：① 于情況1即結(jié)構(gòu)可能安全也可能失效時(shí)，采用可靠性指標(biāo)和失效度分別作為可靠性度量進(jìn)行可靠性靈敏度分析能得到一致結(jié)論，即失效靈敏度和可靠性指標(biāo)靈敏度

數(shù)據(jù)符號(hào)相反，原因在于結(jié)構(gòu)可靠程度的提高必然伴隨失效程度的降低；進(jìn)一步對(duì)比分析數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)兩者不存在確定函數(shù)關(guān)系，這在一定程度上驗(yàn)證了此時(shí)基于非概率失效度的可靠性靈敏度方法的合理性；對(duì)于情況2即結(jié)構(gòu)完全安全時(shí)采用可靠性指標(biāo)能給出可靠性靈敏度分析結(jié)果，而采用失效度則可靠性靈敏度分析結(jié)果均為0；②兩種情況下可靠性指標(biāo)對(duì)載荷均值的可靠性靈敏度是一致的，原因在于兩種情況下僅結(jié)構(gòu)線性功能函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)發(fā)生變化，而該變化不會(huì)影響上述取值大??；③情況1時(shí)載荷F2、F3的均值f/Fc2、f/Fc3，情況2時(shí)載荷F3的半徑和F1、F3的相關(guān)系數(shù)

β/Fr3、β/ρF1F3對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性影響較大，在可靠性分析和設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注。

3.2" 10桿平面桁架算例

考慮圖6所示10桿桁架［22］，桿件的彈性模量為E=6.859×103kN/cm2，所有桿件橫截面積均為A。節(jié)點(diǎn)2在y方向的位移約束值μ2y=12.7cm。桁架所受載荷不確定區(qū)間如表2所示。變量相關(guān)系數(shù)為ρF1F2=0.2、ρF1F3=－0.1和ρF2F3=0.3，其不確定域?yàn)?/p>

－e≤34.2156.8431－3.4225.930728.653

8.8960－12.7138.126127.09－1F1－Fc1F2－Fc2F3－Fc3≤e（19）

分別考慮桿件截面面積為A=95cm2和A=97cm2兩種情況。其中，第一種情況時(shí)可靠性指標(biāo)β=0.9379，采用失效度度量可靠性，同樣給出可靠性指標(biāo)的靈敏度分析結(jié)果用于對(duì)比；第二種情況時(shí)可靠性指標(biāo)β=1.0341，采用可靠性指標(biāo)度量可靠性。

結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為桁架在節(jié)點(diǎn)2豎直方向的位移d2與約束值的比較值，情況1的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

G（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3）=12.7－0.0009562455595969067F1－

0.016652764519133F2－

0.002153260046891F3（20）

式（20）可通過以下2個(gè)公式獲得

d2=∑6i=1N0iNiA+2∑10i=7N0iNiALE（21）

式中：L為桿長(zhǎng)；E為彈性模量。

N1=F2－22N8，N2=－22N10，N6=－22N10，N3=－F1+2F2+F3－22N8，N4=－F2+F3－22N10，N5=－F2－22N8－22N10，N7=2F1+F2+N8，N8=a22b1－a12b2a11a22－a12a21，N9=2F2+N10，N10=a11b2－a21b1a11a22－a12a21，a11=3+42L2AE，a12=a21=L2AE，

a22=4+42L2AE，b1=2LF3－1+22F1－2+22F22AE，b2=L2F3－4+22F22AE（22）

式中：Ni （i=1，2，…，10）為桿件的軸向力；N0i為F1=F3=0，F(xiàn)2=1時(shí)Ni的值。

同樣由式（21）和（22）可得到情況2的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

G（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3）=12.7－0.0009365291563062481F1－

0.01663077454988F2－

0.002108862932522F3（23）

兩種情況下的非概率可靠性靈敏度分析見表3。

由表3可知，①對(duì)于情況1采用可靠性指標(biāo)和失效度作為可靠性度量進(jìn)行可靠性靈敏度分析，仍可給出失效靈敏度和可靠性指標(biāo)靈敏度

數(shù)據(jù)符號(hào)相反的結(jié)論，且兩種可靠性靈敏度分析之間不存在確定函數(shù)關(guān)系，驗(yàn)證了此時(shí)基于非概率失效度的可靠性靈敏度方法的合理性；對(duì)于情況2即結(jié)構(gòu)完全安全時(shí)僅采用可靠性指標(biāo)能夠給出合理的可靠性靈敏度分析結(jié)果；②情況1時(shí)載荷F1和F2、F1和F3的相關(guān)系數(shù)，情況2時(shí)載荷F1和F3的相關(guān)系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性影響較大，在可靠性分析和設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)著重考慮。

3.3" 25桿工程桁架算例

如圖7所示的25桿桁架結(jié)構(gòu)［23］，其彈性模量E=1.999492×105MPa，泊松比μ=0.3。桿件（1）～（4）、（16）～（25）、（11）～（15）和（5）～（10）的橫截面積分別為A1、A2、A3和A4。豎直載荷F3=F1=1779.2kN、F2=2224kN和水平載荷F4=1334.4kN分別作用于節(jié)點(diǎn)7、11、9和1。節(jié)點(diǎn)6的水平位移的最大許用值為dmax=45mm。由于制造與測(cè)量誤差，桿件的截面積Aii=1，2，3，4及桿長(zhǎng)L為不確定變量，其不確定區(qū)間如表4中所示，變量相關(guān)系數(shù)矩陣ρ（變量排序?yàn)锳1，A2，A3，A4，L）為：

ρ=10.3－0.10.400.310.20.30－0.10.210.400.40.30.41000001（24）

本算例中，顯然桿件橫截面積之間存在相關(guān)性，而橫截面積與桿長(zhǎng)之間不存在相關(guān)性，多維平行六面體模型能較好的處理這種多源不確定性。桁架結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

gA1，A2，A3，A4，L=dmax－dA1，A2，A3，A4，L

（25）

式中，dA1，A2，A3，A4，L的具體形式由含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面法［24］給出。

不確定變量的不確定域?yàn)?/p>

－e≤38.88911.667－3.88915.5560103.33344.4468.889103.330－31.1862.353311.76124.710167.62125.71167.62419.05000001300－1A1－Ac1A2－Ac2A3－Ac3A4－Ac4L－Lc≤e（26）

因該功能函數(shù)為非線性，可在設(shè)計(jì)點(diǎn)處對(duì)其進(jìn)行一階泰勒展開近似求解可靠性靈敏度，結(jié)果列于表5。為檢驗(yàn)本研究方法精度，將有限差分法（步長(zhǎng)為0.001）得到的可靠性靈敏度及相對(duì)誤差

本研究結(jié)果-差分結(jié)果差分結(jié)果×100%一并列于表5中。

由于25桿桁架的可靠性指標(biāo)β=1.45825，表5給出非概率可靠性指標(biāo)靈敏度分析結(jié)果。

由表5可看出，對(duì)于該非線性結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，采用本研究方法和有限差分法的計(jì)算結(jié)果很接近（最大相對(duì)誤差為3.88%），表明對(duì)于本算例文中方法具有較高的精度，同時(shí)意味著該算例結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的非線性程度較低；變量A1和A2的相關(guān)系數(shù)對(duì)可靠性指標(biāo)影響最大。此外，算例僅給出非概率可靠性指標(biāo)的可靠性靈敏度，若結(jié)構(gòu)處于可能安全可能失效狀態(tài)，則基于非概率失效度的可靠性靈敏度結(jié)果也可得到類似結(jié)論，即本研究方法和有限差分法的計(jì)算結(jié)果接近，但何種因素對(duì)可靠性影響較大則需進(jìn)一步研究。

4" 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)工程實(shí)際結(jié)構(gòu)中常見的相關(guān)變量和獨(dú)立變量共存問題，本研究提出了一種基于多維平行六面體模型的非概率可靠性靈敏度分析方法，該方法能夠確定非概率可靠性指標(biāo)或失效度變化與基本變量分布參數(shù)變化的內(nèi)在聯(lián)系。將非概率可靠性靈敏度定義為可靠性指標(biāo)或失效度對(duì)區(qū)間中點(diǎn)、半徑和相關(guān)系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)線性系統(tǒng)的可靠性靈敏度解析式，并探討了所提方法對(duì)結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的適用性。算例分析結(jié)果表明，本研究方法對(duì)于線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)能夠提供精確解，對(duì)于弱非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可提供精度較高的近似解。對(duì)于強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，本研究方法通常誤差較大，如何發(fā)展相應(yīng)的非概率可靠性靈敏度分析方法當(dāng)是下一步的研究工作。

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（編輯" 呂茵）

附錄A

本研究結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

G（δ）=a0+∑ni=1aiXci+∑ni=1aiXri∑nj=1ρijδj∑nj=1ρij=a0+∑ni=1aiXci+∑nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijδk（A1）

文獻(xiàn)［21］中結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

M=∑mi=1xi－∑kj=1yj=∑" mi=1xci－∑kj=1ycj+∑mi=1xriδxi－∑kj=1yriδyj（A2）

文獻(xiàn)［21］中給出的失效度為

fv=∑mi=1yui－∑kj=1xljnn！2n∏ki=1xri∏mj=1yrj=∑mi=1yci+∑mi=1yri－∑kj=1xcj+∑kj=1xrjnn！2n∏ki=1xri∏mj=1yrj=－∑kj=1xcj－∑mi=1yci+∑mi=1yri+∑kj=1xrjnn！2n∏ki=1xri∏mj=1yrj（A3）

式中：m+k=n；yui、xlj分別表示變量的上界和下界；xci和yci、xri和yri分別表示變量x、y的均值和半徑。

觀察式（A1）和（A2），可見存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系

∑mi=1xci－∑kj=1ycj=a0+∑ni=1aiXcixri=∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijk=1，2…，myrj=∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijk=m+1，m+2…，n（A4）

則本研究線性功能函數(shù)的非概率失效度f(wàn)為

f=－a0+∑ni=1aiXci+∑nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρijn2nn！∏nk=1∑ni=1aiXriρik∑nj=1ρij（A5）

式（12）得證。