收稿日期：2022-05-07""" 修回日期：2022-11-08

基金項(xiàng)目：河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.A2020203007）；河北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（No.BJ2019209）；唐山市科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目（No.21130205D）；唐山市人才資助項(xiàng)目（No.A202203031）

通信作者：胡宇達(dá)，教授。E-mail： huyuda03@163.com

引用格式：

李晶，胡宇達(dá)，高崇一. 導(dǎo)電矩形薄板的磁彈性超諧-內(nèi)聯(lián)合共振［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2024，41（3）：673-681.

LI Jing，HU Yuda，GAO Chongyi. The combined resonance of superharmonic resonance and internal resonance of conductive rectangular thin plate［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：673-681.

文章編號(hào)：1000-4939（2024）03-0673-09

摘" 要：研究橫向磁場(chǎng)中矩形薄板在外激勵(lì)作用下的超諧波共振和1∶3內(nèi)共振的聯(lián)合共振問(wèn)題。針對(duì)一邊固定三邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，利用Galerkin積分法得到兩自由度非線性振動(dòng)微分方程組。采用多尺度法求解，得到前兩階模態(tài)的幅頻響應(yīng)方程組。通過(guò)算例，得到系統(tǒng)發(fā)生超諧-內(nèi)聯(lián)合共振時(shí)前兩階響應(yīng)幅值與各參數(shù)關(guān)系的曲線圖，討論了外激勵(lì)幅值、磁場(chǎng)強(qiáng)度等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。結(jié)果表明，考慮內(nèi)共振時(shí)高階模態(tài)被間接激發(fā)，系統(tǒng)存在著能量的交換，調(diào)節(jié)磁場(chǎng)強(qiáng)度可控制系統(tǒng)的共振。

關(guān)鍵詞：磁彈性；矩形薄板；超諧波共振；內(nèi)共振；多尺度法

中圖分類(lèi)號(hào)：O442；O322" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.021

The combined resonance of superharmonic resonance and internal

resonance of conductive rectangular thin plate

LI Jing 1，2，HU Yuda 2，GAO Chongyi 1

（1.Key Laboratory of Intelligent Equipment Digital Design and Process Simulation of Hebei Province，

Tangshan University，063000 Tangshan，China；2.Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment

and Large Structures of Hebei Province，Yanshan University，066004 Qinhuangdao，China）

Abstract：The combined resonance of superharmonic resonance and 1∶3 internal resonance of a rectangular thin plate in transverse magnetic field is studied.For the rectangular thin plate with one side fixed and three sides simply supported，the two degree of freedom nonlinear vibration differential equations are obtained by the Galerkin method.Then the multiple-scale method is employed to solve equations，and amplitude frequency response equations of the first two modes are obtained.Through calculation examples，the relationship between the first two order response amplitudes and parameters when superharmonic internal resonance occurs in system is obtained，in which the influence of parameters e.g.，external excitation amplitude and magnetic field intensity on the vibration of system is discussed.The results show that the high-order modes are indirectly excited when internal resonance is considered，and there is energy exchange in the system，and the resonance of system can be controlled by changing the magnetic field intensity.

Key words：magneto-elastic；rectangular thin plate；superharmonic resonance；internal resonance；the method of multiple scales

隨著航空航天、核工業(yè)、磁懸浮運(yùn)輸、機(jī)電動(dòng)力系統(tǒng)及大型水利水電工程等現(xiàn)代科技領(lǐng)域的快速發(fā)展，電磁彈性力學(xué)理論及其應(yīng)用的研究被廣泛關(guān)注。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做了很多研究性工作，取得了一定的成果［1-4］。對(duì)于非極化、非磁化的良導(dǎo)體材料在電磁場(chǎng)、機(jī)械場(chǎng)等多場(chǎng)耦合條件下的振動(dòng)問(wèn)題也得到了很多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)［5］在基爾霍夫假設(shè)的基礎(chǔ)上，由一般邊界條件的奇異積分微分方程的解研究了縱向磁場(chǎng)中導(dǎo)電板的振動(dòng)問(wèn)題。文獻(xiàn)［6］研究了幾何非線性、有限導(dǎo)電、各向同性彈性板條在軸向磁場(chǎng)中的振動(dòng)行為。文獻(xiàn)［7］研究了在均勻磁場(chǎng)中薄板的振動(dòng)及穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)［8］分析了磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)作用下圓柱殼的彎曲和自由振動(dòng)問(wèn)題。文獻(xiàn)［9］對(duì)矩形薄板的亞諧波共振及穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了詳盡研究。

當(dāng)矩形板滿足一定的尺寸比和特定的邊界條件時(shí)，其固有頻率之間可能存在某種比例關(guān)系，此時(shí)模態(tài)間的內(nèi)共振可能被激發(fā)，導(dǎo)致能量在不同模態(tài)間的轉(zhuǎn)換［10］。文獻(xiàn)［11］利用多尺度法分別得到了屈曲梁1∶1和1∶3內(nèi)共振條件下系統(tǒng)發(fā)生組合參數(shù)共振時(shí)關(guān)于振幅和相位的調(diào)制方程，并對(duì)周期解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得到了不同內(nèi)共振條件下的動(dòng)力響應(yīng)圖。文獻(xiàn)［12］在1∶1內(nèi)共振和橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)情況下，利用多尺度法研究了簡(jiǎn)支矩形金屬板的非線性振動(dòng)問(wèn)題。文獻(xiàn)［13］對(duì)運(yùn)動(dòng)柔性梁在3∶1內(nèi)共振下的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［14］研究了土木工程中索拱組合結(jié)構(gòu)的1∶1 內(nèi)共振及其參數(shù)影響。文獻(xiàn)［15］研究了磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)梁的主-內(nèi)聯(lián)合共振問(wèn)題。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于內(nèi)共振存在系統(tǒng)的非線性振動(dòng)問(wèn)題中沒(méi)有考慮磁場(chǎng)環(huán)境的影響，而磁場(chǎng)環(huán)境下薄板的非線性振動(dòng)問(wèn)題中考慮模態(tài)之間內(nèi)共振影響的也并不多見(jiàn)。故在文獻(xiàn)［16-17］的基礎(chǔ)上，本研究將進(jìn)一步對(duì)磁場(chǎng)中的矩形薄板的超諧波共振與內(nèi)共振的聯(lián)合共振問(wèn)題進(jìn)行研究。

1" 橫向簡(jiǎn)諧力作用矩形薄板的振動(dòng)微分方程

1.1" 振動(dòng)微分方程

圖1所示外加橫向磁場(chǎng)B0（0，0，B0z）環(huán)境中運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)電矩形薄板，基于基爾霍夫基本假設(shè)，在機(jī)械場(chǎng)與電磁場(chǎng)的相互耦合作用下，由虛功原理，僅考慮橫向變形并忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力的影響，可得到矩形薄板的非線性磁彈性振動(dòng)方程［9］，即

2Mxx2+2Myy2+22Mxyxy+xNxwx+Nxywy+

yNywy+Nxywx+mxx+myy+

Fz+Pz

=ρh2wt2（1）

式中：Nx、Ny、Nxy為中面內(nèi)力；Mx、My、Mxy為彎曲內(nèi)力；Pz為機(jī)械載荷；Fz為電磁力；mx、my為電磁力矩；ρ為材料密度；h為板厚；t為時(shí)間變量。

magnetic field

由電動(dòng)力學(xué)理論可以推得橫向磁場(chǎng)作用下導(dǎo)電薄板單位面積上所受的電磁力和電磁力矩表達(dá)式為［17］

Fz=0（2）

mx=σh312B20z2wtx（3）

my=σh312B20z2wty（4）

式中，w為沿坐標(biāo)z方向的中面位移分量。

研究橫向磁場(chǎng)環(huán)境中橫向簡(jiǎn)諧力PZ=F0cosΩ0t（F0為外激勵(lì)幅值，Ω0為外激勵(lì)頻率）作用的一邊固定三邊簡(jiǎn)支的導(dǎo)電矩形薄板，將幾何方程、物理方程［17］以及電磁力、電磁力矩的表達(dá)式代入振動(dòng)方程（1）中，忽略u(píng)、v的影響，可推得矩形板的非線性振動(dòng)微分方程為

－DMSymbolQC@4w+DN23wx22wx2+3wy22wy2+

4wxwy2wxy+wy22wx2+wx22wy2+

σh3B20z12t2wx2+2wy2－ρh2wt2+PZ=0（5）

式中：DN=Eh1－ν2為拉伸剛度；DM=Eh312（1－ν2）為彎曲剛度；E為彈性模量；ν為泊松系數(shù)；算子SymbolQC@4=4x4+24x2y2+4y4。

1.2" 多尺度法近似求解

對(duì)于圖1所示一邊固定三邊簡(jiǎn)支矩形板，滿足邊界條件的位移解為［18］

w（x，y，t）=∑2n=1Pn（t）Xn（x）sinπyb（6）

式中， Xn=coshβnx－cosβnx－Cn（sinhβnx－sinβnx），Cn=coshβna+cosβnasinhβna+sinβna，βn=（4n+1）π4a。

將位移函數(shù)代入并采用伽遼金法進(jìn)行積分，可得無(wú)量綱化的矩形薄板的橫向振動(dòng)微分方程，即

q··1τ+ω21q1τ

=－g21q2τ+c11q·1τ+c21q·2τ－η11q31τ－

η21q32τ+s11q1τq22τ+s12q21τq2τ+

f1cosΩτ（7）

q··2τ+ω22q2τ

=－g22q1τ+c22q·2τ+c12q·1τ－η22q32τ－

η12q31τ+s22q21τq2τ+

s21q1τq22τ+

f2cosΩτ

（8）

式中，qn=Pnh，k21=DMM11ρhA11－2π2DMC11ρhb2A11+π4DMb4ρh，

k22=DMM22ρhA22－2π2DMC22ρhb2A22+π4DMb4ρh，ωn=k1k2，

ω1=k1/ωn，ω2=k2/ωn，Ω=Ω0/ωn，τ=ωnt，c11=σh2B20z12ρωnC11A11－π2b2，c22=σh2B20z12ρωnC22A22－π2b2，c12=σh2B20zC1212ρA22ωn，c21=σh2B20zC2112ρA11ωn，ai1=π2hDN8ρb2Aiiω2n，

ai2=9hDN8ρb2Aiiω2n，fi=4EiF0πρhAiiω2n，

g21=DM（b4M21－2b2π2C21+π4A21）ρhb4A11ω2n，

g22=DM（b4M12－2b2π2C12+π4A12）ρhb4A22ω2n，

ηni=ai2πb4Hni－ai1（Bni+Dni）－ai2Fni，

si1=ai1（S1i+2K1i）+ai1（S2i+2K2i）+ai2（S3i+

2K3i）－ai2πb4Q1i，

si2=ai1（S4i+2K4i）+ai1（S5i+2K5i）+ai2（S6i+2K6i）－ai2πb4Q2i，系數(shù)Ani、Bni、Cni、Dni、Fni、Ei、Hni、Mni、Qni、Sji、Kji（i=1，2；n=1，2；j=1，2，…，6）同文獻(xiàn)［17］。

當(dāng)外激勵(lì)頻率與系統(tǒng)一階模態(tài)的固有頻率的1/3近似相等時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生超諧波次共振，若同時(shí)存在1∶3內(nèi)共振，此時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生超諧波與內(nèi)共振的聯(lián)合共振現(xiàn)象。

為了研究矩形薄板的超諧波與內(nèi)共振的聯(lián)合共振問(wèn)題即Ω≈13ω1，考慮硬激勵(lì)情況，引入小參數(shù)ε，則式（7）、（8）可以轉(zhuǎn)化為

q··1τ+ω21q1τ

=－εg～21q2τ+εc～11q·1τ+εc～21q·2τ－""""" εη～11q31τ－εη～21q32τ+εs～11q1τq22τ+

εs～12q21τq2τ+f1cosΩτ（9）

q··2τ+ω22q2τ

=－εg～22q1τ+εc～22q·2τ+εc～12q·1τ－

εη～22q32τ－εη～12q31τ+εs～22q21τq2τ+

εs～21q1τq22τ+f2cosΩτ（10）

式中，g～2i=g2iε，c～ij=cijε，η～ij=ηijε，s～ij=sijε，（i=1，2，j=1，2）。

利用多尺度法對(duì)微分方程組進(jìn)行求解，將方程（9）和（10）的近似解表示為

q1=q11T0，T1+εq12T0，T1 （11）

q2=q21T0，T1+εq22T0，T1（12）

式中：T0=τ為慢變時(shí)間尺度；T1=ετ為快變時(shí)間尺度。

將式（11）、（12）代入到方程（9）、（10）中，展開(kāi)后令

ε

的同次冪項(xiàng)系數(shù)相等，得到各階近似的線性偏微分方程組，即

ε：D20q11+ω21q11=f1cosΩτ（13）

D20q21+ω22q21=f2cosΩτ（14）

ε1：D20q12+ω21q12

=－2D0D1q11－g～21q21+c～11D0q11+

c～21D0q21+η～11q311+η～21q321+s～11q11q221+

s～12q21q211+f～1cosΩτ（15）

D20q22+ω22q22

=－2D0D1q21－g～22q11+c～22D0q21+

c～12D0q11+η～22q321+η～12q311+s～21q11q221+

s～22q21q211+f2～cosΩτ （16）

設(shè)方程（13）和方程（14）的通解為

q11=A1T1expiω1T0+

Λ1expiΩT0+c*（17）

q21=A2T1expiω2T0+Λ2expiΩT0+c*（18）

式中，Λn=12fn（ω2n－Ω2）－1，n=1，2，c*為前面兩項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。

將零次近似解代入到方程（15）～（16）中，得

D20q12+ω21q12=（－2iω1A′1+c～11iω1A1+3η～11A21A-1+

6η～11A1Λ21+2s～11A1A2A-2+2s～11A1Λ22+

4s～12A1Λ1Λ2）exp（iω1T0）+

s～12A-21A2expiω2－2ω1T0+

η～11Λ31+η～21Λ32+s～11Λ1Λ22+

s～11Λ2Λ21exp（3iΩT0）+NST（19）

D20q22+ω21q22=－2iω2A′2+c～22iω2A2+3η～22A22A-2+

6η～22A2Λ22+4s～21A2Λ1Λ2+2s～22A1A-1A2+

2s～22Λ21A2expiω2T0+

η～12A31exp3iω1T0+NST（20）

式中：A′1、A′2表示A1、A2對(duì)T1的導(dǎo)數(shù)；NST為與消除久期項(xiàng)無(wú)關(guān)的省略項(xiàng)。

當(dāng)外激勵(lì)頻率接近于系統(tǒng)一階模態(tài)固有頻率的1/3時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生超諧波共振，由于內(nèi)共振的存在，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生超諧波共振與內(nèi)共振的聯(lián)合共振。

設(shè)前兩階模態(tài)的固有頻率滿足

ω2=3ω1+εσ1（21）

外激勵(lì)無(wú)量綱化的固有頻率與一階模態(tài)固有頻率滿足

3Ω=ω1+εσ2（22）

為了避免出現(xiàn)久期項(xiàng)，A1、A2需要滿足以下條件。

－2iω1A′1+c～11iω1A1+3η～11A21A-1+2s～11A1A2A-2+

6η～11A1Λ21+2s～11A1Λ22+4s～12A1Λ1Λ2+

s～12A-21A2exp（iσ1T1）+（η～11Λ31+η～21Λ32+

s～11Λ1Λ22+s～12Λ2Λ21）exp（iσ2T1）=0（23）

－2iω2A′2+c～22iω2A2+3η～22A22A-2+2s～22A1A-1A2+

6η～22A2Λ22+2s～22Λ21A2+4s～21A2Λ1Λ2+

η～12A31exp-iσ1T1=0（24）

由式（23）和（24）可知，A1、A2均不衰減。

將一次近似解寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式，即

Am=12amT1expiθmT1" （m=1，2） （25）

將式（25）代入式（23）及（24）并將實(shí)部和虛部分離，得到

8ω1a′1=4ω1c～11a1+s～12a21a2sinγ1+8F1sinγ2（26）

8ω2a′2=4ω2c～22a2－η～12a31sinγ1（27）

8ω1γ′1a1=8ω1σ2+3η～11a21+2s～11a22+8H11a1+

s～12a21a2cosγ1+8F1cosγ2

（28）

8ω2γ′2a2=8ω2a2σ1－3σ2+24ω2a2γ′2－8H22a2－

3η～22a22+2s～22a21a2－η～12a31cosγ1（29）

式中，γ1=θ2－3θ1+σ1T1，γ2=σ2T1－θ1，

F1=8η～11Λ31+s～11Λ1Λ22+s～12Λ21Λ2+η～22Λ32，

H11=3η～11Λ21+2s～12Λ1Λ2+s～11Λ22，

H22=3η～22Λ22+2s～21Λ1Λ2+s～22Λ21。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)， a′1=0、a′2=0、γ′1=0、γ′2=0，可得幅頻響應(yīng)方程組，即

16c～22ω22a22+［8（3σ2－σ1）ω2+8H22+

3η～22a22+2s～22a21］2a22－η～212a61=0（30）

4c～22s～12ω2a22+4c～11η～12ω1a212+

{s～12a22［8（3σ2－σ1）ω2+8H22+3η～22a22+

2s～22a21］－η～12a21（8ω1σ2+8H11+

3η～11a21+2s～11a22）}2－η～212F21a21=0（31）

由此可通過(guò)方程組（30）～（31）得到系統(tǒng)超諧-內(nèi)共振時(shí)響應(yīng)幅值隨各參數(shù)變化關(guān)系。

1.3" 穩(wěn)定性分析

通過(guò)式（27）～（30）分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下解的穩(wěn)定性，設(shè)

a1=a10+a11，" a2=a20+a21γ1=γ10+γ11，" γ2=γ20+γ21（32）

式中，a10、a20、γ10、γ20為定常解，a11、a21、γ11、γ21為小的攝動(dòng)量。

將（32）式代入到方程組（26）～（29），按a11、a21、γ11、γ21展開(kāi)并保留到a11、a21、γ11、γ21的線性項(xiàng)，得

a′11=c～112+s～124ω1a10a20sinγ10a11+

s～128ω1a210sinγ10a21+s～128ω1a210a20cosγ10γ11+

F1ω1cosγ20γ21

（33）

γ′11=9η～11a104ω1+3s～12a208ω1cosγ10－3Fcosγ208ω1a210－

s～22a102ω2－η～12a2104ω2a20a11+3s～11a202ω1+3s～12a108ω1cosγ10－

3η～22a204ω2+η～12a3108ω2a220cosγ10a21+η～12a3108ω2a20sinγ10－

3s～12a10a208ω1sinγ10γ11－3F1ω1a10sinγ20γ21 （34）

a′21=－3η～12a2108ω2sinγ10a11+c～222a21－

η～12a3108ω2cosγ10γ11

（35）

γ′21=3η～11a104ω1+s～12a208ω1cosγ10－F8ω1a210cosγ20a11+

s～11a202ω1+s～12a108ω1cosγ10a21－

s～12a10a208ω1sinγ10γ11－F1ω1a10sinγ20γ21

（36）

穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性由式（33）～（36）右邊系數(shù)矩陣的特征值來(lái)決定。根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可以判定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，即式（33）～（36）對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，定常解是穩(wěn)定的。

2" 算例分析

以處在橫向恒定磁場(chǎng)中的鋁制矩形薄板為例進(jìn)行算例分析。給定主要參數(shù)：材料電導(dǎo)率σ=3.63×107（Ω·m）－1，密度ρ=2670kg/m3，泊松系數(shù)ν=0.34，彈性模量E=71GPa，矩形板尺寸a=0.6m，b=1.2m。在給定參數(shù)下，系統(tǒng)前兩階模態(tài)無(wú)量綱化的固有頻率為ω1=0.577，ω2=1.733，ω1/ω2≈1∶3。

2.1" 振幅隨調(diào)諧參數(shù)變化規(guī)律

圖2與圖3為F0=5000N/m2，h=3mm時(shí)在不同的磁場(chǎng)強(qiáng)度下，系統(tǒng)前兩階模態(tài)幅值隨調(diào)諧參數(shù)變化的幅頻響應(yīng)曲線圖。當(dāng)外激勵(lì)固有頻率與一階模態(tài)固有頻率的1/3相接近時(shí)，一階模態(tài)直接被外激勵(lì)激發(fā)，幅值急劇增大。由于內(nèi)共振的存在使得二階模態(tài)也被間接激發(fā)，通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，共振發(fā)生時(shí)，一階模態(tài)幅值明顯高于二階模態(tài)的幅值。兩階模態(tài)的幅頻響應(yīng)曲線均向右彎曲，呈現(xiàn)出硬特性，且由于曲線的彎曲導(dǎo)致了振幅的多值性，從而產(chǎn)生跳躍性現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)由1個(gè)過(guò)渡到3個(gè)。在多值區(qū)域內(nèi)，實(shí)際的結(jié)果與系統(tǒng)的初始條件有關(guān)。圖中εσ2=0.15時(shí)細(xì)實(shí)線與B0z=0T對(duì)應(yīng)的曲線由上至下交于A1、B1、A2，其中Ai為穩(wěn)定解，Bi為不穩(wěn)定解。

磁場(chǎng)強(qiáng)度越小，幅頻響應(yīng)曲線越復(fù)雜，當(dāng)一階模態(tài)的響應(yīng)幅值變小時(shí)，二階模態(tài)的響應(yīng)幅值相應(yīng)的變大。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)一、二階共振響應(yīng)的最大幅值均變小，同時(shí)模態(tài)響應(yīng)的共振區(qū)域和多值區(qū)域也隨之變窄，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度超過(guò)一定值時(shí)，多值區(qū)域?qū)?huì)消失。

圖4及圖5為磁場(chǎng)強(qiáng)度B0z=0.5T，板厚h=3mm時(shí)，不同外激勵(lì)幅值作用下，系統(tǒng)前兩階模態(tài)響應(yīng)的共振幅值隨調(diào)諧參數(shù)變化規(guī)律曲線圖。一階模態(tài)和二階模態(tài)的幅頻響應(yīng)曲線仍然呈現(xiàn)多值性和跳躍性?？梢钥闯霎?dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度一定時(shí)，隨著外激勵(lì)幅值的增加，共振區(qū)域變寬且曲線彎曲程度變大，同一調(diào)諧參數(shù)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)最大幅值隨之減小。由此可見(jiàn)，當(dāng)外激勵(lì)幅值增大至一定值后，有效共振區(qū)域內(nèi)均為單值區(qū)間。

2.2" 振幅隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化規(guī)律

圖6和圖7給出了不同調(diào)諧參數(shù)下，系統(tǒng)模態(tài)幅值隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化曲線圖（F0=9000N/m2，h=3mm）。

此時(shí)，系統(tǒng)的兩階模態(tài)均被激發(fā)，當(dāng)磁場(chǎng)方向發(fā)生改變時(shí)，曲線圖關(guān)于B0z=0T呈現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)性。當(dāng)調(diào)諧參數(shù)εσ2＜0.16時(shí)，模態(tài)幅值穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)只有一個(gè)且在磁場(chǎng)強(qiáng)度比較小的范圍內(nèi)模態(tài)幅值變化不大，磁場(chǎng)強(qiáng)度超過(guò)某一值時(shí)，模態(tài)幅值突然下降，磁場(chǎng)抑制了振動(dòng)模態(tài)幅值。

隨著調(diào)諧參數(shù)的增大，曲線發(fā)生內(nèi)縮且幅值緩慢增大，當(dāng)εσ2=0.17543時(shí)，曲線內(nèi)縮至上部呈現(xiàn)出一個(gè)封閉橢圓，εσ2＞0.17543時(shí)，封閉橢圓從曲線中分離并逐漸升高，曲線出現(xiàn)多值和跳躍現(xiàn)象。圖6（a）中細(xì)實(shí)線與εσ2=0.17對(duì)應(yīng)的曲線由上至下交于A1、B1、A2，其中Ai為穩(wěn)定解，Bi為不穩(wěn)定解。

圖8和圖9為調(diào)諧參數(shù)εσ2=0.17，h=3mm時(shí)，不同外激勵(lì)幅值下，系統(tǒng)模態(tài)幅值隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化曲線圖。曲線仍以B0z=0T為對(duì)稱(chēng)軸呈現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)性，且隨著外激勵(lì)幅值的增加封閉橢圓逐漸下移與下側(cè)曲線相切，隨后變?yōu)橐粭l內(nèi)縮曲線，最終當(dāng)外激勵(lì)幅值增大到一定值時(shí)，多值區(qū)域消失，變?yōu)閱沃登€。

將圖6～9中穩(wěn)態(tài)解個(gè)數(shù)發(fā)生改變的臨界點(diǎn)找到，繪制出系統(tǒng)幅值解的區(qū)域圖，如圖10所示。

k1和k2將整個(gè)區(qū)域分成3個(gè)部分，其中Ⅰ、Ⅲ兩個(gè)區(qū)域中幅值解的個(gè)數(shù)為1個(gè)，均為穩(wěn)定解；Ⅱ區(qū)域中系統(tǒng)幅值解的個(gè)數(shù)為3個(gè)，其中2個(gè)為穩(wěn)定解，1個(gè)為非穩(wěn)定解，取決于系統(tǒng)的初始條件?？梢钥闯?，調(diào)諧參數(shù)和外激勵(lì)幅值變化時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的改變會(huì)影響系統(tǒng)幅值穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)。隨著調(diào)諧參數(shù)的增加，系統(tǒng)的多解區(qū)域?qū)?yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度減小，多值區(qū)域也變窄；而隨著外激勵(lì)幅值的增加，幅值多解所需的磁場(chǎng)強(qiáng)度增加，當(dāng)外激勵(lì)幅值增大到一定值時(shí)，多值區(qū)域消失。

2.3" 振幅隨外激勵(lì)幅值變化規(guī)律

圖11～12呈現(xiàn)了調(diào)諧參數(shù)εσ2=0.2，h=3mm時(shí)，不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下系統(tǒng)前兩階模態(tài)響應(yīng)的幅值隨外激勵(lì)幅值的變化規(guī)律。

由于內(nèi)共振的存在，兩階響應(yīng)均產(chǎn)生共振，曲線向左彎曲，呈現(xiàn)軟特性并伴隨多值和跳躍現(xiàn)象。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度增大，共振區(qū)域右移，多值區(qū)域變窄，模態(tài)響應(yīng)幅值降低。一階模態(tài)響應(yīng)幅值明顯大于二階模態(tài)響應(yīng)幅值，系統(tǒng)振動(dòng)主要由低階模態(tài)呈現(xiàn)。

2.4" 動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線

對(duì)磁場(chǎng)中受外激勵(lì)作用的矩形導(dǎo)電薄板無(wú)量綱化的振動(dòng)微分方程（8）和（9）直接進(jìn)行數(shù)值求解。

圖13為εσ2=0.02，F(xiàn)0=8000N/m2，B0z=0.2T時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)的局部時(shí)程圖，此時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定的單倍周期運(yùn)動(dòng)。

與主-內(nèi)聯(lián)合共振［17］相似，前兩階模態(tài)響應(yīng)呈現(xiàn)此消彼長(zhǎng)，始終存在著能量的交換，是內(nèi)共振使得一階模態(tài)和二階模態(tài)之間相互耦合，且二階模態(tài)響應(yīng)幅值小于一階模態(tài)響應(yīng)幅值，二階模態(tài)的振動(dòng)頻率約為一階模態(tài)振動(dòng)頻率的3倍。

3" 結(jié)" 論

本研究以橫向恒定磁場(chǎng)中一邊固定三邊簡(jiǎn)支的矩形導(dǎo)電薄板為例，研究了系統(tǒng)三次超諧波共振和1∶3內(nèi)共振的聯(lián)合共振問(wèn)題。采用多尺度法得到了內(nèi)、外聯(lián)合共振時(shí)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)方程組。得到以下結(jié)論。

1）當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生超諧-內(nèi)聯(lián)合共振時(shí)，系統(tǒng)一階模態(tài)被激發(fā)，由于內(nèi)共振的作用二階模態(tài)也被間接激發(fā)，一階模態(tài)響應(yīng)強(qiáng)于二階模態(tài)響應(yīng)，且系統(tǒng)能量在兩階模態(tài)間不斷交換。

2）系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)了單值區(qū)間和多值區(qū)間，并存在跳躍性的非線性特質(zhì)，磁場(chǎng)強(qiáng)度、外激勵(lì)幅值等參數(shù)的改變會(huì)使系統(tǒng)的共振區(qū)域及穩(wěn)態(tài)解的個(gè)數(shù)發(fā)生改變。

3）磁場(chǎng)強(qiáng)度、外激勵(lì)幅值等參數(shù)的變化會(huì)影響共振幅值，可以通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)達(dá)到控制系統(tǒng)振動(dòng)的目的。

參考文獻(xiàn)：

［1］" MOON F C，PAO Y H.Vibration and dynamic instability of a beam-plate in a transverse magnetic field［J］.Journal of applied mechanics，1969，36（1）：92-100.

［2］" MOON F C.Magneto-solid mechanics［M］.New York：Wiley，1984：20-42.

［3］" ZHENG X J，ZHOU Y H，WANG X Z，et al.Bending and buckling of ferroelastic plates［J］.Journal of engineering mechanics，1999，125（2）：180-185.

［4］" 周又和，鄭曉靜.電磁固體結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

［5］" BAGHDASARYAN G Y，DANOYAN Z N，MIKILYAN M A.Issues of dynamics of conductive plate in a longitudinal magnetic field［J］.International journal of solids and structures，2013，50（20/21）：3339-3345.

［6］" HASANYAN D，LIBRESCU L，QIN Z M，et al.Nonlinear vibration of finitely-electroconductive plate strips in an axial magnetic field［J］.Computers amp; structures，2005，83（15/16）：1205-1216.

［7］" KUANG Z B.An applied electro-magneto-elastic thin plate theory［J］.Acta mechanica，2014，225（4）：1153-1166.

［8］" MOHAMMADIMEHR M，ROSTAMI R.Bending and vibration analyses of a rotating sandwich cylindrical shell considering nanocomposite core and piezoelectric layers subjected to thermal and magnetic fields［J］.Applied mathematics and mechanics，2018，39（2）：219-240.

［9］" HU Y D，LI J.The magneto-elastic subharmonic resonance of current-conducting thin plate in magnetic filed［J］.Journal of sound and vibration，2009，319（3/5）：1107-1120.

［10］NAYFEH A H，MOOK D T，HOLMES P.Nonlinear oscillations［J］.Journal of applied mechanics，1980，47（3）：692.

［11］EMAM S A，NAYFEH A H.Non-linear response of buckled beams to 1：1 and 3：1 internal resonances［J］.International journal of non-linear mechanics，2013，52：12-25.

［12］ANLAS G，ELBEYLI O.Nonlinear vibrations of a simply supported rectangular metallic plate subjected to transverse harmonic excitation in the presence of a one-to-one internal resonance［J］.Nonlinear dynamics，2002，30（1）：1-28.

［13］DING H，HUANG L L，MAO X Y，et al.Primary resonance of traveling viscoelastic beam under internal resonance［J］.Applied mathematics and mechanics，2017，38（1）：1-14.

［14］呂建根，康厚軍.索拱組合結(jié)構(gòu)1∶1內(nèi)共振及其參數(shù)影響［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2017，34（3）：450-455.

L Jiangen，KANG Houjun.One-to-one internal resonance and parameter analysis of cable-stayed arch［J］.Chinese journal of applied mechanics，2017，34（3）：450-455（in Chinese）.

［15］胡宇達(dá)，劉超.軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電條形板的磁彈性主-內(nèi)聯(lián)合共振［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2020，37（6）：2480-2488.

HU Yuda，LIU Chao.Magnetoelastic primary-internal combined resonance of axially moving conductive strip plate［J］.Chinese journal of applied mechanics，2020，37（6）：2480-2488（in Chinese）.

［16］LI J，HU Y D，WANG Y N.The magneto-elastic internal resonances of rectangular conductive thin plate with different size ratios［J］.Journal of mechanics，2018，34（5）：711-723.

［17］LI J，HU Y D.Principal and internal resonance of rectangular conductive thin plate in transverse magnetic field［J］.Theoretical and applied mechanics letters，2018，8（4）：257-266.

［18］曹志遠(yuǎn).板殼振動(dòng)理論［M］.北京：中國(guó)鐵道出版社，1983.

（編輯" 張璐）