摘要

設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制器，用于控制單自由度的超磁致伸縮致動(dòng)器（GMA）的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)?？紤]到預(yù)壓碟形彈簧機(jī)構(gòu)引入的幾何非線性因素影響，建立了GMA系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型。利用平均法求解系統(tǒng)在含分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制策略下主共振的幅頻響應(yīng)方程，根據(jù)Routh?Hurwitz準(zhǔn)則得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。通過(guò)數(shù)值模擬研究GMA系統(tǒng)中關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)特性的影響，以及主共振峰值和系統(tǒng)穩(wěn)定性隨每個(gè)時(shí)滯反饋參數(shù)變化的特性規(guī)律；通過(guò)分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖得到外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的影響；最后調(diào)節(jié)時(shí)滯反饋增益和分?jǐn)?shù)階次抑制系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。結(jié)果表明，時(shí)滯反饋增益和分?jǐn)?shù)階次能夠有效抑制系統(tǒng)的主共振峰值和不穩(wěn)定區(qū)域，可以將系統(tǒng)響應(yīng)從混沌運(yùn)動(dòng)調(diào)整為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞

幾何非線性; 超磁致伸縮致動(dòng)器; 混沌; 時(shí)滯反饋; 穩(wěn)定性

引 言

超磁致伸縮材料（Giant Magnetostrictive Material，GMM）作為一種新型功能材料，廣泛應(yīng)用于能量采集、微位移驅(qū)動(dòng)、精密定位控制等領(lǐng)域［1?7］。以GMM棒為核心器件制作的超磁致伸縮致動(dòng)器（Giant Magnetostrictive Actuator，GMA）在外部激勵(lì)磁場(chǎng)作用下，通過(guò)改變GMM棒長(zhǎng)度，以輸出軸力的形式推動(dòng)輸出剛性桿運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)位移和力的輸出。

但是，由于GMA系統(tǒng)存在多耦合非線性因素的影響［8?9］，很容易陷入非線性不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的輸出誤差大、控制精度低。GMA系統(tǒng)中非線性不穩(wěn)定甚至混沌運(yùn)動(dòng)的存在很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)和控制其輸出響應(yīng)，嚴(yán)重阻礙GMA在精密定位控制、主動(dòng)隔振等領(lǐng)域中的應(yīng)用。孫華剛［10］建立了非線性磁力耦合GMA數(shù)學(xué)模型，研究表明，系統(tǒng)在工作過(guò)程中存在混沌現(xiàn)象；Zeng等［11］建立了大功率的GMA非線性數(shù)學(xué)模型，研究表明，增大系統(tǒng)阻尼系數(shù)有助于提高輸出穩(wěn)定性，系統(tǒng)剛度較低時(shí)，會(huì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象；Gao等［12］建立了GMA電磁機(jī)耦合動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，研究表明，當(dāng)系統(tǒng)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)較低時(shí)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)；Yan等［13?14］建立了GMA磁滯非線性數(shù)學(xué)模型，研究表明，在不同參數(shù)條件下，系統(tǒng)具有復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。Sylvain等［15］建立了具有五次非線性的薄磁致伸縮致動(dòng)器數(shù)學(xué)模型，研究表明，系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富而復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，如多穩(wěn)態(tài)和反單調(diào)性等。值得注意是，目前有關(guān)增強(qiáng)和改善非線性GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，主要集中于系統(tǒng)的磁滯補(bǔ)償控制上［16?18］，對(duì)系統(tǒng)的幾何非線性不穩(wěn)定性以及控制還未深入研究。

時(shí)滯是自然界中常見(jiàn)的現(xiàn)象，在致動(dòng)器工作過(guò)程中不可避免地導(dǎo)致作用于結(jié)構(gòu)的控制力產(chǎn)生時(shí)滯效應(yīng)。傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為，時(shí)滯的存在是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素［19?20］，系統(tǒng)的固有時(shí)滯通常利用時(shí)滯補(bǔ)償?shù)窒?1］。然而，Olgac等［22?23］研究表明使用時(shí)滯作為系統(tǒng)的主動(dòng)控制參數(shù)可以有效抑制系統(tǒng)的振動(dòng)。目前，關(guān)于非線性系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制已經(jīng)取得了一定的成果。例如，Jiang等［24］建立了高階非線性的機(jī)電耦合傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)模型，研究表明，隨著反饋增益系數(shù)的增加，系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域變小，混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。Huang等［25］研究了隨機(jī)參數(shù)激勵(lì)下三穩(wěn)態(tài)隔振系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制，研究表明，時(shí)滯的存在可以很大程度上抑制系統(tǒng)的振動(dòng)幅度。Gao等［26］設(shè)計(jì)了一種時(shí)滯位移和速度反饋控制器用于控制GMA的動(dòng)態(tài)特性，研究表明，選擇合適的時(shí)滯反饋參數(shù)可以避免主共振的多值解，提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Wang等［27］研究了具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的時(shí)滯反饋控制下剛度非線性和非對(duì)稱性的SD振蕩器，研究表明，調(diào)節(jié)時(shí)滯反饋參數(shù)可將振蕩器調(diào)節(jié)到所需的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。Cai等［28］利用Melnikov技術(shù)分析了非自治時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)，研究表明，混沌吸引子的時(shí)滯與固有不穩(wěn)定軌道的周期無(wú)關(guān)。Wen等［29］研究了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋Mathieu?Duffing振子的動(dòng)力學(xué)，研究表明，時(shí)滯反饋增益的增加可以有效抑制混沌運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生，分?jǐn)?shù)階階次的增加將會(huì)改變系統(tǒng)的分岔點(diǎn)，但系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)非零周期解的穩(wěn)定性不會(huì)改變。Xu等［30］提出了一種新型Jerk系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種包含時(shí)滯反饋和分?jǐn)?shù)階PDσ的控制器，有效消除了分?jǐn)?shù)階Jerk系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。相較于傳統(tǒng)的位移、速度時(shí)滯反饋控制，分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制不僅具有反饋魯棒性好、控制精度高等優(yōu)點(diǎn)，還增加了系統(tǒng)的可調(diào)控參數(shù)，進(jìn)一步提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性［29?31］，但對(duì)于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制在GMA系統(tǒng)理論研究中的應(yīng)用還未見(jiàn)過(guò)報(bào)道。

本文在前人研究基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制器控制GMA系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)。利用平均法分析含分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制策略下系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，推導(dǎo)控制系統(tǒng)需滿足的穩(wěn)定性條件，研究系統(tǒng)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)數(shù)以及每個(gè)時(shí)滯反饋參數(shù)對(duì)GMA系統(tǒng)主共振和混沌運(yùn)動(dòng)的影響，以期為GMA結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和技術(shù)支持。

1 非線性GMA系統(tǒng)力學(xué)模型

GMA系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示?；竟ぷ髟頌椋壕€圈通入交變電流，產(chǎn)生激勵(lì)磁場(chǎng)和偏置磁場(chǎng)，使GMM棒的長(zhǎng)度發(fā)生變化，以輸出軸力的形式推動(dòng)輸出剛性桿運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)位移和力的輸出?？紤]到輸出部分的連接剛度以及預(yù)壓碟形彈簧的剛度特性，將GMA系統(tǒng)輸出端視為一個(gè)單自由度的質(zhì)量彈性阻尼系統(tǒng)，其簡(jiǎn)化模型如圖2所示。其中彈簧模塊由致動(dòng)器中的預(yù)壓碟形彈簧和作為縱向振動(dòng)的GMM棒組成，系統(tǒng)阻尼由GMM棒的內(nèi)部材料阻尼和輸出頂桿阻尼組成。

以GMA輸出頂桿為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行受力分析，其等效力學(xué)模型如圖3所示。在靜態(tài)穩(wěn)定磁場(chǎng)作用下，GMM棒上端面與輸出頂桿具有相同的位移xx。其中NN為GMM棒在激勵(lì)磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生的輸出力，K（x）K（x）為碟形彈簧施加的預(yù)應(yīng)力，Q（x˙）Q（x˙）為輸出桿受到的阻尼力，F(xiàn)F和ωˉˉωˉ分別為輸出頂桿所受的外激勵(lì)幅值和激勵(lì)頻率。

根據(jù)牛頓第二定律，建立非線性GMA系統(tǒng)的振動(dòng)方程：

3 數(shù)值結(jié)果與討論

3.1 非受控制GMA系統(tǒng)的主共振響應(yīng)

GMA系統(tǒng)的部分相關(guān)參數(shù)如表1所示［10，26］。

為了解各參數(shù)對(duì)GMA幅頻特性曲線的影響，取外激勵(lì)幅值F=7×103 N，根據(jù)式（6）得到無(wú)量綱基本參數(shù)：ω=1ω=1，2μ=0.12μ=0.1，β=0.2β=0.2，f=0.2f=0.2，以下無(wú)特別說(shuō)明，均采用以上各參數(shù)取值。根據(jù)式（19）得到GMA系統(tǒng)的幅頻特性曲線，并結(jié)合式（26）研究系統(tǒng)的穩(wěn)定（黑色曲線）和不穩(wěn)定（紅色曲線）區(qū)域，結(jié)果如圖5所示。

圖5為各無(wú)量綱參數(shù)對(duì)非受控GMA系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響（K1=p=τ=0K1=p=τ=0）。從圖5（a）中可以清晰地看到，系統(tǒng)主共振的幅頻特性中表現(xiàn)出明顯的非線性特性，骨架曲線向右傾斜。當(dāng)正向掃描（即調(diào)諧參數(shù)σσ從?-2變化到2）時(shí)，系統(tǒng)振幅一直增大，當(dāng)σσ增大至0.7535時(shí)，系統(tǒng)突然出現(xiàn)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的跳躍現(xiàn)象并伴隨著響應(yīng)振幅的突然減小，隨后隨著σσ的增大，系統(tǒng)振幅逐漸減小。當(dāng)反向掃描（即調(diào)諧參數(shù)σσ從2變化到?-2）時(shí)，系統(tǒng)振幅逐漸增大，當(dāng)σσ減小至0.5298時(shí)，系統(tǒng)中出現(xiàn)從C點(diǎn)到D點(diǎn)的突跳現(xiàn)象，此時(shí)響應(yīng)振幅突然增大，隨后隨著σσ的減小，系統(tǒng)振幅逐漸增大。此時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的峰值只有σσ從較小值增加時(shí)才能達(dá)到；另一方面，幅頻響應(yīng)的多個(gè)解中存在兩個(gè)漸近穩(wěn)定解（AD和BC部分）和一個(gè)不穩(wěn)定解（AC部分）。

圖5（b）， （c）為無(wú)量綱激勵(lì)幅值ff和無(wú)量綱阻尼系數(shù)2μ2μ對(duì)未受控GMA系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響。由圖5（b）， （c）可知，當(dāng)調(diào)諧參數(shù)σσ從-2變化到2時(shí)，系統(tǒng)主共振幅頻特性曲線呈先增大后減小的趨勢(shì)。從圖中不難看出，系統(tǒng)共振曲線的左半部分和右下半部分表示穩(wěn)定解；右上半部分為不穩(wěn)定解，此時(shí)表現(xiàn)為共振分叉現(xiàn)象。隨著激勵(lì)振幅ff的增大，系統(tǒng)共振幅值也相應(yīng)增大，共振曲線呈外擴(kuò)現(xiàn)象，骨架曲線向右發(fā)生偏轉(zhuǎn)，其共振區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域逐漸變寬；隨著阻尼系數(shù)2μ2μ的增大，系統(tǒng)受到的阻尼力變大，共振曲線呈現(xiàn)內(nèi)縮現(xiàn)象，共振幅值減小，其共振區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域逐漸變小。因此，較大的阻尼系數(shù)和較小的激勵(lì)振幅可避免系統(tǒng)多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象的產(chǎn)生，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù)2μ=c/mk???√2μ=c/mk可知，較大的系統(tǒng)阻尼系數(shù)c和較小的剛度系數(shù)kk能夠增大2μ2μ。然而，較小的剛度系數(shù)kk將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的固有頻率降低，致使系統(tǒng)更容易進(jìn)入共振狀態(tài)；根據(jù)f=Fα2/k3?????√f=Fα2/k3可知，增大系統(tǒng)的剛度系數(shù)kk、減小三次剛度系數(shù)α2α2能夠有效減小激勵(lì)振幅ff。因此，為了提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)當(dāng)增大系統(tǒng)的阻尼系數(shù)c、剛度系數(shù)kk，減小系統(tǒng)三次剛度系數(shù)α2α2，這一結(jié)論與現(xiàn)有研究結(jié)果一致［11?12］。

圖5（d）為無(wú)量綱二次剛度系數(shù)ββ對(duì)未受控GMA系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響。由圖可知，當(dāng)ββ從0.05變化到1.6時(shí)，系統(tǒng)的共振骨架曲線從左向右發(fā)生偏轉(zhuǎn)，彎曲程度呈先減小后增大的趨勢(shì)，碟形彈簧的硬化特性變?yōu)檐浕匦浴Ｍ瑫r(shí)當(dāng)ββ趨近于1時(shí)，由碟形彈簧引入的幾何非線性對(duì)系統(tǒng)沒(méi)有產(chǎn)生影響。結(jié)合β=α1/kα2???√β=α1/kα2和式（4）不難發(fā)現(xiàn)，GMA系統(tǒng)的幾何非線性主要與h20δ/（χD）h02δ/（χD）參數(shù)有關(guān)，當(dāng)h0h0，δδ參數(shù)恒定時(shí)，可通過(guò)增加碟形彈簧外徑D提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.2 不同時(shí)滯反饋參數(shù)對(duì)主共振穩(wěn)定性的影響

本節(jié)重點(diǎn)研究分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制中調(diào)控參數(shù)對(duì)GMA系統(tǒng)主共振的影響。當(dāng)分?jǐn)?shù)階p=0p=0，τ=0τ=0時(shí)，根據(jù)式（20）可知，分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制等價(jià)于位移時(shí)滯反饋控制，如圖6所示。當(dāng)反饋增益K1從-1變化到1時(shí)，共振曲線向左移動(dòng)。GMA系統(tǒng)的共振幅值aa、共振區(qū)域面積、穩(wěn)定性均沒(méi)有發(fā)生變化。

當(dāng)分?jǐn)?shù)階p=1p=1時(shí)，分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制等價(jià)于速度時(shí)滯反饋控制，如圖7（a）， （b）所示。由圖7（a）可知，當(dāng)反饋增益K1從-0.1變化到-1時(shí)，系統(tǒng)共振曲線呈現(xiàn)內(nèi)縮現(xiàn)象，變得越來(lái)越平坦，共振幅值aa、共振區(qū)域面積逐漸減小，共振曲線存在的多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象逐漸消失。由圖7（b）可知，當(dāng)反饋增益K1從0.1變化到1時(shí)，表現(xiàn)出與負(fù)反饋增益不一樣的變化形式，當(dāng)反饋增益K1=0.1時(shí)，共振幅值aa、共振區(qū)域面積略微增大，GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；隨后隨著反饋增益系數(shù)的增大，其變化形式與負(fù)反饋增益變化類似。反饋增益K1的作用類似于在GMA系統(tǒng)引入新的阻尼，提高了GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，分析發(fā)現(xiàn)在相同參數(shù)條件下，負(fù)反饋控制效果優(yōu)于正反饋控制。

當(dāng)0lt;plt;10lt;plt;1時(shí)，分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制同時(shí)具有位移、速度時(shí)滯反饋控制的功能，如圖8所示。當(dāng)時(shí)滯參數(shù)τ=0τ=0，f=0.32f=0.32時(shí)，在正反饋增益K1作用下，GMA系統(tǒng)的共振曲線向左移動(dòng)，隨著反饋增益K1的增大，共振曲線存在的多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象逐漸消失。在負(fù)反饋增益K1作用下，GMA系統(tǒng)共振曲線向右移動(dòng)，隨著反饋增益K1的增大，共振曲線變得越來(lái)越平坦，共振曲線存在的多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象消失。此時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階反饋增益K1的作用類似于增加系統(tǒng)的剛度和阻尼，通過(guò)選擇合適的反饋增益K1，可以有效抑制共振曲線的振幅峰值和跳躍現(xiàn)象，提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖9為K1=-0.5， f=0.4，τ=0τ=0時(shí)不同分?jǐn)?shù)階pp對(duì)GMA系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響。由圖可知，當(dāng)分?jǐn)?shù)階p=0p=0時(shí)，共振曲線向右移動(dòng)，對(duì)GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒(méi)有產(chǎn)生影響；當(dāng)分?jǐn)?shù)階pp逐漸增大時(shí)，系統(tǒng)幅頻特性曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也隨之改變，其共振曲線向左移動(dòng)，共振區(qū)域、振動(dòng)幅值逐漸減小，存在的多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象消失，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)。因此，通過(guò)選擇合適的分?jǐn)?shù)階pp，可以有效控制GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)相較于Gao等［26］設(shè)計(jì)的GMA系統(tǒng)時(shí)滯反饋控制器而言，在相同參數(shù)條件下，分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制可額外調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階pp，取得更好的控制效果。

圖10為分?jǐn)?shù)階p=0.5p=0.5，f=0.4時(shí)不同時(shí)滯參數(shù)ττ對(duì)GMA系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響。由圖可知，當(dāng)反饋增益K1=1時(shí)，隨著時(shí)滯參數(shù)ττ從0變化到4時(shí)，系統(tǒng)共振曲線向右移動(dòng)，共振幅值呈先減小后增大的趨勢(shì)；當(dāng)反饋增益K1=-1時(shí)，隨著時(shí)滯參數(shù)ττ從0變化到4時(shí)，系統(tǒng)共振曲線向左移動(dòng)，共振幅值呈增大趨勢(shì)，共振區(qū)域骨架曲線逐漸向右發(fā)生傾斜，出現(xiàn)多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象。顯然，時(shí)滯參數(shù)ττ的變化不僅會(huì)使控制系統(tǒng)出現(xiàn)更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)情況，調(diào)節(jié)合適的時(shí)滯參數(shù)時(shí)也可以更有效地控制GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但上述分析結(jié)果僅適用于p=0.5p=0.5時(shí)，這是因?yàn)樵诜謹(jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制中分?jǐn)?shù)階pp通過(guò)三角函數(shù)與時(shí)滯參數(shù)ττ的耦合影響系統(tǒng)的剛度和阻尼。

以上結(jié)果表明，通過(guò)選擇合適的分?jǐn)?shù)階pp、反饋增益系數(shù)K1和時(shí)滯參數(shù)ττ可以有效控制系統(tǒng)的多值解和跳躍現(xiàn)象，從而提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.3 不同時(shí)滯反饋參數(shù)對(duì)混沌運(yùn)動(dòng)的影響

為了驗(yàn)證上述解析解的可行性，在此給出式（7）的數(shù)值結(jié)果。數(shù)值公式為［34］：

在計(jì)算過(guò)程中，時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為h=0.0001，總計(jì)算時(shí)間為1000 s，并舍去前800 s，后200 s的響應(yīng)峰值作為數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定振幅。圖11為2μ=0.12μ=0.1，β=0.2β=0.2，f=0.2f=0.2，K1=-0.2，p=0.2p=0.2，τ=1.5τ=1.5時(shí)式（7）的解析解與數(shù)值解的對(duì)比幅頻特性曲線。從圖11的觀察結(jié)果來(lái)看，解析解與數(shù)值解結(jié)果非常吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述解析分析的有效性。

如圖5所示，當(dāng)GMA系統(tǒng)的幅頻特性曲線中出現(xiàn)多值解時(shí)，某些參數(shù)變化可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)為非受控系統(tǒng)時(shí)（K1=p=τ=0K1=p=τ=0），式（7）的數(shù)值解利用上述式（30）方法進(jìn)行求解，通過(guò)MATLAB軟件模擬仿真，并選取穩(wěn)態(tài)響應(yīng)部分對(duì)GMA系統(tǒng)進(jìn)行仿真，初始條件為［0， 0］，以激勵(lì)幅值ff為控制參數(shù)，選擇步長(zhǎng)Δf=0.005Δf=0.005，得到GMA系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖如圖12所示。

由圖12可知，當(dāng)外部激勵(lì)幅值ff在非受控系統(tǒng)中發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式變化為：周期1運(yùn)動(dòng)→跳躍運(yùn)動(dòng)→周期1運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)→退化為周期3運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)。為進(jìn)一步描述GMA系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式變化，圖13～15描述了3種不同外激勵(lì)幅值下的時(shí)域波形圖、相軌跡圖和Poincaré圖。當(dāng)f=0.1f=0.1時(shí)，如圖13所示，其時(shí)域波形圖表現(xiàn)為單一且有規(guī)律的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，相軌跡中的閉環(huán)平滑曲線形成一個(gè)圓，Poincaré圖中為一單一的吸引子，此時(shí)系統(tǒng)處于典型的周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)f=0.325f=0.325時(shí)，如圖14所示，其時(shí)域波形圖中表現(xiàn)為三個(gè)周期信號(hào)的疊加組合，相軌跡中的閉環(huán)平滑曲線形成三個(gè)圓，龐加萊圖中出現(xiàn)三個(gè)孤立的吸引子，這意味著系統(tǒng)此時(shí)處于周期3運(yùn)動(dòng)。當(dāng)f=0.4f=0.4時(shí)，如圖15所示，其時(shí)域波形圖中表現(xiàn)為無(wú)規(guī)律往復(fù)運(yùn)動(dòng)，相軌跡呈現(xiàn)不規(guī)則曲線，Poincaré圖中存在大量的不規(guī)則點(diǎn)，因此在該點(diǎn)處，系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)圖12可知，當(dāng)外部激勵(lì)幅值變化時(shí)，原始GMA系統(tǒng)中將會(huì)產(chǎn)生分岔和混沌運(yùn)動(dòng)。由于時(shí)滯反饋增益系數(shù)K1和分?jǐn)?shù)階pp容易改變，可以通過(guò)調(diào)整K1和pp來(lái)控制系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)f=0.4f=0.4，初始時(shí)滯τ=1.5τ=1.5，p=0.5時(shí)，初始條件［0，0］，其余參數(shù)保持不變，得到具有時(shí)滯反饋增益K1的受控GMA系統(tǒng)的分岔圖如圖16所示。當(dāng)K1∈［?0.16，0］時(shí)，系統(tǒng)仍處于混沌系統(tǒng)，當(dāng)K1=-0.05時(shí)，如圖17所示，其時(shí)域波形圖為無(wú)規(guī)律無(wú)周期的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，相軌跡曲線為一條長(zhǎng)期無(wú)法封閉，無(wú)規(guī)律的多圈相套的線圈，龐加萊圖中存在大量的不規(guī)則點(diǎn)。此后系統(tǒng)進(jìn)入到穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，如圖18所示（K1=-0.2）。

同時(shí)由圖9可知，分?jǐn)?shù)階pp可以有效控制系統(tǒng)的振動(dòng)幅度，因此還需進(jìn)一步了解分?jǐn)?shù)階pp對(duì)GMA系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的控制效果。當(dāng)K1=-0.3時(shí)，初始條件［0，0］，得到具有分?jǐn)?shù)階pp的受控GMA系統(tǒng)的分岔圖如圖19所示。由圖可知，當(dāng)分?jǐn)?shù)階pp∈［0，0.1］時(shí)，系統(tǒng)仍處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)分?jǐn)?shù)階pp∈［0.1，0.15］時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入到周期4運(yùn)動(dòng)中；當(dāng)分?jǐn)?shù)階pp∈［0.15，0.2］時(shí)，系統(tǒng)重新進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)中；當(dāng)分?jǐn)?shù)階pgt;0.2后，系統(tǒng)將進(jìn)入到穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)中。

對(duì)于受控系統(tǒng)（7），分別選擇增益系數(shù)K1=-0.1，-0.3和分?jǐn)?shù)階p=0.05，0.5，以激勵(lì)幅值ff為控制參數(shù)得到系統(tǒng)的分岔圖如圖20所示。由圖可知，當(dāng)反饋增益K1和分?jǐn)?shù)階pp較小時(shí)，系統(tǒng)仍然存在混沌區(qū)域，但相較于圖12中而言，混沌區(qū)域明顯減少；當(dāng)反饋增益K1不變時(shí)，通過(guò)適當(dāng)調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階pp可進(jìn)一步減少系統(tǒng)的混沌區(qū)域；當(dāng)增大反饋增益K1時(shí)，系統(tǒng)的混沌區(qū)域明顯減少；在不改變K1時(shí)，適當(dāng)調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階pp系統(tǒng)將會(huì)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。結(jié)果表明，通過(guò)調(diào)整反饋增益K1和分?jǐn)?shù)階pp，可以有效地減小系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域直至周期運(yùn)動(dòng)，從而提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 結(jié) 論

本研究基于平均法研究GMA系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程，并推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制下系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。通過(guò)數(shù)值模擬研究不同時(shí)滯反饋參數(shù)對(duì)系統(tǒng)主共振、混沌運(yùn)動(dòng)的影響。研究結(jié)果如下：

（1）未引入分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制條件下，蝶形彈簧對(duì)GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性起著重要作用，可通過(guò)增加蝶形彈簧的外徑和數(shù)量提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（2）引入分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋參數(shù)后，當(dāng)p=0時(shí)，反饋增益的增加僅讓共振曲線左右移動(dòng)，不影響GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)p=1時(shí)，反饋增益的增加可減少共振曲線的不穩(wěn)定區(qū)域，從而有效提高了GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)0lt;plt;1時(shí)，反饋增益的增加可同時(shí)達(dá)到以上兩種控制效果。給定反饋增益時(shí)，分?jǐn)?shù)階次p越大，GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好；時(shí)滯參數(shù)不僅導(dǎo)致共振曲線左右移動(dòng)，還影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域。

（3）隨著負(fù)反饋增益和分?jǐn)?shù)階p的增大，可以有效地控制系統(tǒng)從混沌狀態(tài)到周期運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)，從而提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本文的研究為GMA系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋控制奠定了一定的理論基礎(chǔ)，通過(guò)適當(dāng)調(diào)控反饋參數(shù)，可以有效控制系統(tǒng)的共振幅值和共振區(qū)域，減小系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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