摘要： 利用調(diào)和分析方法和Lagrange方法研究多維非均質(zhì)不可壓縮熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題， 在臨界Besov空間中證明該系統(tǒng)在小初值條件下強(qiáng)解的整體適定性.

關(guān)鍵詞： 非均質(zhì)不可壓縮熱傳導(dǎo)方程； 臨界Besov空間； Lagrange坐標(biāo)； 適定性

中圖分類號： O175.2" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）03-0565-08

Well-Posedness of" Multi-dimensional Inhomogeneous Incompressible Heat-Conducting Equation

WANG Xiaojie， XIN Zehui， XU Fuyi

（School of Mathematics and Statistics， Shandong University of Technology，Zibo 255049， Shandong Province， China）

Abstract： By using the harmonic analysis method and Lagrangian method， we studied the Cauchy problem for the multi-dimensional inho

mogeneous incompressible heat＼|conducting equations and" proved the global well-posedness of strong solutions for the system under small initial data conditions in

the critical Besov spaces.

Keywords： inhomogeneous incompressible heat-conducting equation; critical Besov space; Lagrangian coordinate; well-posedness

收稿日期： 2023-10-16.

第一作者簡介： 王曉杰（2000—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事偏微分方程的研究， E-mail： wxj15615637750@163.com.

通信作者簡介： 徐夫義（1980—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事偏微分方程的研究， E-mail： zbxufuyi@163.com.

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號： 12326430）和山東省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號： ZR2021MA017）.

1" 引言與主要結(jié)果

考慮如下多維非均質(zhì)不可壓縮熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的適定性：

tρ+div（ρu）=0，t（ρu）+div（ρuu）-μΔu+P=0，

Cv（t（ρθ）+div（ρuθ））-div（kθ）=2μdu2，div（u）=0，

（ρ，u，θ）t=0=（ρ0，u0，θ0），（1）

其中： ρ=ρ（t，x）， u=u（t，x）， θ=θ（t，x）和P（t，x）分別表示流體的密度、 速度、 溫度和壓力， （ρ0，u0，θ0）為給定的初始條件;

系數(shù)μ，Cv和k為給定的正常數(shù)， 分別表示黏度、 定體積比熱和熱導(dǎo)率.

近年來， 關(guān)于系統(tǒng)（1）的研究備受關(guān)注. 若不考慮溫度場， 則系統(tǒng)（1）可簡化為如下多維不可壓縮非均質(zhì)Navier-Stokes方程：

tρ+div（ρu）=0，t（ρu）+div（ρuu）-μΔu+P=0，div（u）=0，

（ρ，u）t=0=（ρ0，u0）.（2）

系統(tǒng)（2）具有重要的尺度伸縮（scaling）不變性： 對于λgt;0， 如果（ρ，u）是系統(tǒng)（2）的解， 其初值為（ρ0，u0）， 則 （ρ（λ2t，λx），λu（λ2t，λx））也是系統(tǒng)（2）的解， 其初值為 （ρ0（λx），u0（λx））.

系統(tǒng)（2）適定性的研究是流體動力學(xué)方程研究領(lǐng)域的重要問題， 目前已取得許多成果. Lions［1］和Simon［2］

分別建立了系統(tǒng)（2）有限能量整體弱解的存在性， 但弱解的唯一性或光滑性仍是一個公開問題（包括在二維情形下）； Ladyzhenskaya等［3］證明了系統(tǒng)（2）在具有

正初始密度場時強(qiáng)解的適定性， 即證明了大初值條件下其強(qiáng)解的局部存在唯一， 并給出了二維情形時大初值條件下其強(qiáng)解的整體存在性， 以及三維情形時小初值條件下其強(qiáng)

解的整體適定性； Danchin［4］在平衡態(tài)附近小擾動的條件下， 建立了系統(tǒng)（2）在全空間

瘙 綆 n中的適定性. Abidi［5］在臨界Besov空間中得到了如下結(jié)果：

假設(shè)初值（ρ0，u0）滿足（ρ0-1）∈n/pp，1（

瘙 綆 n）， u0∈n/p-1p，1（

瘙 綆 n）， div（u0）=0， 若存在一個足夠小的正常數(shù)c

， 使得‖ρ0-1‖n/pp，1+‖u0‖n/p-1p，1≤c， 則對任意的p∈［1，2n）， 存在全局解（ρ，u，P）， 滿足

ρ-1∈Cb（［0，∞）;n/pp，1（

瘙 綆 n）），" u∈Cb（［0，∞）;n/p-1p，1（

瘙 綆 n）

），tu，2u，P∈L1（

瘙 綆 +;n/p-1p，1（

瘙 綆 n））.

特別地， 當(dāng)p≤n時可得解的唯一性； Danchin等［6］利用Lagrange方法和Banach不動點(diǎn)定理， 在p∈［1，2n）條件下證明

了系統(tǒng)（2）在臨界Besov空間中的適定性， 該結(jié)果可應(yīng)用到具有物理意義的混合流體問題中， 且容許密度場有小的跳躍穿過流體的接觸面.

文獻(xiàn)［4，7］給出了在非負(fù)初始密度場條件下（即含有真空情形）系統(tǒng)（2）的適定性結(jié)果.

若系統(tǒng)（2）考慮含有溫度場的方程， 則流體模型會變成結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的系統(tǒng)（1）. 當(dāng)初始密度非負(fù)時， Zhong［8］在初值滿足一定小和相容性條件下證明了系統(tǒng)

（1）強(qiáng)解的全局適定性； Zhong［9］進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)［8］的結(jié)果， 并給出了系統(tǒng)（1）強(qiáng)解的大時間行為； 在非真空狀態(tài)下， Zhang等［10］證明了當(dāng)初值滿足

（u0，θ0）∈W2，20（

瘙 綆 3），" ρ0∈L∞（

瘙 綆 3），" ρ0∈［α，β］

時系統(tǒng)（1）的局部適定性， 其中α，β是正常數(shù). 該結(jié)果對速度場和溫度場的正則指標(biāo)要求較高. 顯然， 系統(tǒng)（1）在相應(yīng)的臨界正則性空間中的適定性仍未知

. 為獲得初值所在空間的臨界正則指標(biāo)， 本文引入尺度伸縮分析， 即系統(tǒng)（1）具有如下尺度伸縮不變性： 若ρ（t，x），u（t，x），θ（t，x）是系統(tǒng)（1）的解， 則對于λgt;0，

ρλ=ρ（λ2t，λx），" uλ=λu（λ2t，λx），" θλ=λ2θ（λ2t，λx）

也是系統(tǒng)（1）的解. 在該尺度伸縮不變的空間下， 初值u0和θ0所對應(yīng)的空間分別為u0∈n/p-1p，1（

瘙 綆 n）， θ0

∈n/p-2p，1（

瘙 綆 n）. 此時， 初始密度場所對應(yīng)的空間為ρ0∈n/pp，1. 為將所討論問題的結(jié)果應(yīng)用

到具有物理意義的混合流體問題中， 且容許密度場有小的跳躍穿過流體的接觸面， 本文把初始密度場所在的空間取為乘子空間ρ0∈M（n/p-1

p，1）∩M（n/p-2p，1）， 其中引入M（n/p-2p，1）是為處理溫度場.

本文主要結(jié)果如下.

定理1" 設(shè)p∈［1，2n）， 假設(shè)初始密度ρ0∈M（n/p-1p，1）∩M（n/p-2

p，1）， 初始速度 u0∈n/p-1p，1（

瘙 綆 n）， 初始溫度θ0∈n/p-2p，1（

瘙 綆 n）. 如果存在任意小的正常數(shù)c（僅依賴n和p）， 使得

‖ρ0-1‖M（n/p-1p，1）+‖Cvρ0-1‖M（n/p-2p，1）+μ-1‖u0‖

n/p-1p，1+k-1‖θ0‖n/p-2p，1≤c，

則系統(tǒng)（1）在Ep中存在唯一的整體解（u，，θ）， 其中（u，，θ）是（u，P，θ）在Lagrange坐標(biāo)下的表示形式， 函數(shù)空間Ep為

Ep∶=" {（u，，θ）： u∈Cb（

瘙 綆 +;n/p-1

p，1）， θ∈Cb（

瘙 綆 +;n/p-2p，1），" tu，2u，

∈L1（

瘙 綆 +;n/p-1p，1）， tθ，2θ∈L1（

瘙 綆 +;n/p-2p，1）}.（3）

注1" 與文獻(xiàn)［10］相比， 本文討論了一般Lp框架下臨界正則指標(biāo)意義下解

的存在性， 且結(jié)果包含了二維情形. 雖然本文將初始密度場所在空間取為乘子空間， 但它仍有一定的正則性.

定理2" 在定理1的假設(shè)條件下， 系統(tǒng)（1）有唯一的整體解（ρ，u，P，θ）， 且滿足

ρ∈L∞（

瘙 綆 +;M（n/p-1p，1）∩M（n/p-2p，1）），" （u，θ，P）∈Ep.

2" 預(yù)備知識

定義1［11］" 設(shè)S′（

瘙 綆 n）是

瘙 綆 n中的分布函數(shù)空間， 當(dāng)1≤p≤∞， s≤n/p時，

用sp，1（

瘙 綆 n）表示分布函數(shù)u的空間， 使得在S′（

瘙 綆 n）中， u=∑j∈

瘙 綄 Δ·ju，

其中Δ·ju=φju， 且滿足

‖u‖sp，1∶=∑j∈

瘙 綄 2js‖Δ·ju‖Lplt;∞.

定義2［6］" 設(shè)乘子空間M（sp，1）是對任意h∈sp，1， 滿足hf∈

sp，1的所有分布f∈S′的集合， 且滿足‖f‖M（sp，1）∶=sup‖h‖sp，1=1

‖hf‖sp，1lt;∞.

引理1［6］" 設(shè)p∈［1，∞］， s∈

瘙 綆 ， u0∈sp，1（

瘙 綆 n）

且f1∈L1（0，T;sp，1（

瘙 綆 n））. 令g： ［0，T］×

瘙 綆 n→

瘙 綆 ， 使得

g∈L1（0，T;sp，1（

瘙 綆 n）），" tg=div R，" R∈L1（0，T;sp，1（

瘙 綆 n）），

并滿足

瘙 綆 n上的相容性條件gt=0=div u0， 則

tu-μΔu+P=f1，div u=g，ut=t0=u0，

且存在解（u，P）， 使得

u∈C（0，T;sp，1（

瘙 綆 n）），" tu，2u，P∈L1（0，T;sp，1（

瘙 綆 n）），

并滿足如下估計：

‖u‖L∞（0，T;sp，1（

瘙 綆 n））+" ‖tu，2u，P‖L1（0，T;sp，1（

瘙 綆

n））≤" C（‖f1，μg，R‖L1（0，T;sp，1（

瘙 綆 n））+‖u0‖sp，1（

瘙 綆 n）），

其中C是一個不依賴于μ和T的常數(shù).

下面給出熱方程在Besov空間中標(biāo)準(zhǔn)的先驗(yàn)估計.

引理2［12］" 設(shè)p∈［1，∞］， s∈

瘙 綆 ， 滿足-min{n/p，n/p′}， -1lt;s≤n/p-2. 令θ0∈sp，1（

瘙 綆 n）

且f2∈L1（0，T;sp，1（

瘙 綆 n））. 則對所有的t， 系統(tǒng)tθ-kΔθ=f2的解滿足

‖θ‖L∞（0，T;sp，1）+‖k2θ，tθ‖L1（0，T;sp，1）≤C（‖

θ0‖sp，1+‖f2‖L∞（0，T;sp，1））.

引理3［13］" 令v≥0且-min{n/p，n/p′}lt;σ≤n/p-v， 則以下估計成立：

‖uv‖σp，1≤C‖u‖n/p-vp，1‖v‖σ+vp，1.

引理4［9］" 令p∈［1，∞）， 若v滿足∫∞0‖Dv‖

n/pp，1dt≤c， 則下列不等式成立：

‖In-adj（DX（t））‖n/pp，1≤C‖Dv‖L1t（n/pp，1），（4）

‖In-A（t）‖n/pp，1≤C‖Dv‖L1t（n/pp，1），（5）

‖t（adj（DX））（t）‖n/pp，1≤C‖Dv‖n/pp，1，（6）

‖t（adj（DX））（t）‖n/p-1p，1≤C‖Dv‖n/p-1P，1，" plt;2n，（7）

‖adj（DX（t））TA（t）-In‖n/pp，1

≤C‖Dv‖L1t（n/pp，1）.（8）

引理5［6］" 令v1和v2均滿足∫∞0‖Dv‖

n/pp，1dt≤c， 設(shè)δv=v2-v1， 則對所有的p∈［1，∞）， 均滿足如下不等式：

‖A2-A1‖L∞t（n/pp，1）≤C‖Dδv‖L1t（n/pp，1），（9）

‖adj（DX2）-adj（DX1）‖L∞t（n/pp，1）≤C‖Dδv‖L1t（n/pp，1），（10）

‖t（adj（DX2）-adj（DX1））‖L1t（n/pp，1）≤C‖Dδv‖L1t（n/pp，1），（11）

‖t（adj（DX2）-adj（DX1））‖L2t（n/p-1p，1）≤C‖Dδv‖L1t（n/p-1p，1），" plt;2n.（12）

3" 系統(tǒng)（1）在Lagrange坐標(biāo)下的形式

由于系統(tǒng)（1）中密度場方程的雙曲性質(zhì)易產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)損失， 因此一般在Euler坐標(biāo)下很難用Banach不動點(diǎn)定理獲得該系統(tǒng)的適定性. 為解決該問題， 需消掉密度場方程. 為

此， 本文引入Lagrange坐標(biāo). 設(shè)系統(tǒng)（1）中速度場u對應(yīng)的流函數(shù)Xu滿足

Xu（t，y）=y+∫t0u（τ，Xu（τ，y））dτ.

利用速度場的不可壓條件， 由Liouville定理可知DXu恒為1. 顯然， 在Lagrange坐標(biāo)系下， 密度與時間無關(guān). 設(shè)（ρ，u，P，θ）是

系統(tǒng)（1）的解， 記

ρ（t，y）∶=ρ（t，Xu（t，y）），" （t，y）∶=P（t，Xu（t，y）），

u（t，y）∶=u（t，Xu（t，y）），" θ（t，y）∶=θ（t，Xu（t，y））

為（ρ，u，P，θ）在Lagrange坐標(biāo)系下的形式， 則系統(tǒng)（1）可變?yōu)?/p>

ρ0ut（t，y）-div（AuATuyu（t，y））+ATuy=0，

Cvρ0θt（t，y）-kdiv（AuATuyθ（t，y））=μATuyu（t，y）+Dyu（t，y）Au22，

divy（Auu）=0，（13）

這里Au=（DyXu）-1. 在Lagrange坐標(biāo)系下， 本文引入如式（3）所示的函數(shù)空間， 并定義該空間的范數(shù)為

（u，，θ）Ep=‖u‖L1（n/p-1p，1）+‖

θ‖L1（n/p-2p，1）+‖tu，2u，‖

L1（n/p-1p，1）+‖tθ，2θ‖L1（n/p-2p，1）.

為證明系統(tǒng)（13）的可解性， 定義如下映射：

Φ： （v，，h）→（u，，θ），

其中（u，，θ）滿足

tu-μΔu+=（1-ρ0）tv+μdiv（（AAT-In）

v）+（In-AT），tθ-kΔθ=（1-Cvρ0）th+k

div（（AAT-In）h）+2μATv+DvA22，div u=div（（In-A）v），

ut=0=u0，" θt=0=θ0，（14）

這里A=Av=（DyXv）-1.

4" 主要結(jié)果的證明

4.1" 定理1的證明

對某個正常數(shù)R（待定）， 記Rp為Ep中包含（v，，h）且滿足DXv恒為1， ‖（v，

，h）‖Ep≤R的閉子集. 對（v，，h）∈Rp， 有

v∈C（

瘙 綆 +;n/p-1p，1），" tv，2v∈L1（

瘙 綆 +;n/p-1p，1）.

為簡便， 進(jìn)一步改寫系統(tǒng)（14）為

tu-μΔu+=f1（v，），tθ-kΔθ=f2（h，v），

div u=g（v），ut=0=u0，" θt=0=θ0，

其中

f1（v，）=（1-ρ0）tv+μdiv（（AAT-In）v）+（In-AT），

f2（h，v）=（1-Cvρ0）th+kdiv（（AAT-In）h）+2

μATv+DvA22，g（v）=div（（In-A）v）.

因此， 當(dāng)u0∈n/p-1p，1， θ0∈n/p-2p，1在范數(shù)意義下足夠小， 且初始密度滿足

‖1-ρ0‖M（n/p-1p，1）≤c，" ‖1-Cvρ0‖M（n/p-2p，1）≤c" （15）

時， 若取R足夠小（R依賴于c）， 則只需驗(yàn)證映射Φ滿足Banach不動點(diǎn)定理的條件即可完成定理1的證明. 顯然， 對（v，，h）∈Rp， 當(dāng)R足夠小時必有

∫∞0‖Dv‖n/pp，1dt≤c.（16）

1） 證明Φ： Rp→Rp.根據(jù)引理1和引理2， 可得

‖Φ（v，，h）‖Ep=" C（‖u0‖n/p-1p，1+‖θ0‖

n/p-2p，1+" ‖f1，μg，R‖L1（n/p-1p，1）+‖f2‖L1（n/p-2p，1））.（17）

下面逐項(xiàng)處理式（17）右端. 關(guān)于f1和f2的估計， 由乘子空間M（n/p-1p，1） 和M（n/p-2p，1）的定義， 有

‖（1-ρ0）tv‖n/p-1p，1≤C‖1-ρ0‖M（n/p-1p，1）‖t

v‖n/p-1p，1，（18）

‖（1-Cvρ0）th‖n/p-2p，1≤C‖1-Cvρ0‖M（n/p-2p，1）

‖th‖n/p-2p，1.（19）

根據(jù)DX=1和不等式（9） ， 可得

‖div（（AAT-In）v）‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv‖L1（

n/pp，1）‖Dv‖L1（n/pp，1），（20）

‖div（（AAT-In）h）‖L1（n/p-2p，1）≤C‖Dv‖L1（

n/pp，1）‖Dh‖L1（n/p-1p，1）.（21）

根據(jù)不等式（5）， 可得（In-AT）的估計：

‖（In-AT）‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv‖L1（n/

pp，1）‖D‖L1（n/p-1p，1）.（22）

由A的定義可知

A（t）=In+∫t0Dvdτ-1=∑k∈

瘙 綃 （-1）k∫t0Dvdτk.

因此可得

‖A‖L∞（n/pp，1）≤C‖Dv‖L1（n/pp，1）≤c.

下面對f2的最后一項(xiàng)進(jìn)行估計. 由不等式（5），（9）， 可得

ATv+DvA22

L1（n/p-2p，1）≤" C‖DvA‖L∞（

n/p-2p，1）‖DvA‖L1（n/pp，1）≤

C‖A‖L∞（n/pp，1）‖Dv‖L∞（n/p-2p，1）‖Dv

‖L1（n/pp，1）‖A‖L∞（n/pp，1）≤

C‖Dv‖2L1（n/pp，1）‖v‖L∞（n/p-1

p，1）‖Dv‖L1（n/pp，1）.（23）

再對g（v）進(jìn)行估計. 根據(jù)g（v）的定義， 將其改寫為

g（v）=div（（In-A）v）=Dv∶（In-A），

由不等式（5）可得

‖g（v）‖L1（n/pp，1）≤C‖Dv‖L1（n/pp，1）‖Dv

‖L1（n/pp，1）. （24）

最后對R（v）進(jìn)行估計， 對R（v）關(guān)于t求導(dǎo)， 易知

t（g（v））=div（（In-A）tv）+div（-tAv）.

定義

R1=（In-A）tv，" R2=-tAv，

則根據(jù)引理3、 不等式（4），（6）， 可得

‖（In-A）tv‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv‖L1（n/pp，

1）‖tv‖L1（n/p-1p，1），（25）

‖-tAv‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv‖L1（n/pp，1）

‖v‖L∞（n/p-1p，1）.（26）

將不等式（18）～（26）代入式（17）， 對Rp中的任意（v，，h）， 有

‖Φ（v，，h）‖Rp≤" C（‖u0‖

n/p-1p，1+‖θ0‖n/p-2p，1+" （‖1-ρ0‖M（n/p-1p，1）+‖1-Cvρ0‖

M（n/p-2p，1）+‖Dv‖L1（n/pp，1））×" ‖（v，，h）‖

Rp+‖Dv‖2L1（n/pp，1）‖（v，，h）‖2Rp）.

因此， 對任意的正常數(shù)c， 如果滿足式（16）， 在Rp中滿足 ‖（v，，h）‖Rp≤R， 且初始密度滿足式（15）， 則有

‖Φ（v，，h）‖Rp≤C（‖u0‖n/p

-1p，1+‖θ0‖n/p-2p，1）+12‖（v，，h）‖Rp.

取R=c（μ+k）， 則有Φ（v，，h）∈Rp. 從而完成對Φ： Rp→Rp的證明.

2） 證明Φ是壓縮映像.

下面在小初值條件下， 證明映射Φ： Rp→Rp是壓縮的. 首先， 令（uj，j，θj）=Φ（vj，

j，hj）， 其中j=1，2. 記δu=u2-u1， δP=2-1， δθ=θ2-θ1.

此外， 為簡便， 記Xi=Xvi， Ai=Avi=（DXi）-1， 其中i=1，2. 因此， 可得（δu，δP，δθ）滿足如下方程：

tδu-μΔδu+δP=δf=δf1+δf2+δf3+μdiv（δf4）+μdiv（δf5），

tδθ-kΔδθ=δm=δm1+δm2+kdiv（δm4）+kdiv（δm5），div（δu）=δg，

其中δf1=（1-ρ0）tδu，" δf2=（In-AT2）δP，" δf3=（A1-A2）T1，

δf4=（A2AT2-A1AT1）

u1，" δf5=（A2AT2-In）δu，δm1=（1-Cvρ0）tδθ，

δm2=2μAT2u2+Du2A222-AT1u1+Du1A122，

δm3=（A2AT2-A1AT1）

θ1，" δm4=（A2AT2-In）δθ，δg=div（（In-A

2）δu+（A1-A2）u1）.

易知

tδg=div（δR）=div（δR1+δR2+δR3+δR4），

其中

δR1=-tA2δu，" δR2=（In-A2）tδu，

δR3=t（A1-A2）u1，" δR4=（A1-A2）tu1.

根據(jù)引理1和引理2 ， 可得

‖Φ（δv，δQ，δh）‖Ep≤C（‖δf‖L1（n/p-1p，1）+‖δm‖L1（

n/p-2p，1）+μ‖δg‖L1（n/pp，1）+‖δR‖L1（n/p-1p，1））.（27）

下面對式（27）右端進(jìn)行逐項(xiàng)估計. 先對δf1和δm1進(jìn)行估計. 由乘子空間M（sp，1） 的定義， 可得

‖δf1‖L1（n/p-1p，1）≤C‖1-ρ0‖M（n/p-1p，1）‖tδu‖n/p-1p，1，（28）

‖δm1‖L1（n/p-2p，1）≤C‖1-ρ0‖M（n/p-2p，1）‖tδθ‖n/p-2p，1.（29）

根據(jù)不等式（5）可知

‖δf2‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv2‖L1（n/pp，1）‖DδP‖L

1（n/p-1p，1）.（30）

同理， 可得δf5和δm4的估計. 根據(jù)DX=1和不等式（8）， 可得

‖δf5‖L1（n/pp，1）≤C‖Dv2‖L1（n/pp，1）‖Dδu‖L1（n/pp，1），（31）

‖δm4‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv2‖L1（n/pp，1）‖Dδθ‖L

1（n/p-1p，1）.（32）

下面對δm2進(jìn)行估計. 由A的定義、 不等式（4），（9），（10）， 可得

‖δm2‖L1（n/p-2p，1）AT2u2+Du2A2+AT1u1+Du1A12

L1（n/pp，1）×AT2u

2+Du2A2-AT1u1

-Du1A12L∞（n/p-2p，1）

Du2A2+Du1A1‖L1（n/pp，1）×‖（AT2-AT1）u1+AT2δu+Du1（A2-A1）+DδuA2‖

L∞（n/p-2p，1）（‖Du2‖L1（n/pp，1）‖Dv2‖L1（n/pp，1）+

‖Du1‖L1（n/pp，1）‖Dv1‖L1（n/pp，1））×

（‖Dδv‖L1（n/pp，1）‖u1‖L∞（n/p-1p，1）+‖Dv

2‖L1（n/pp，1）‖δu‖L∞（n/p-1p，1））.（33）

根據(jù)不等式（9），（10）， 可得δf4和δm3的相關(guān)估計如下：

‖δf4‖L1（n/pp，1）≤C‖Dδv‖L1（n/pp，1）‖Du1‖L1（n/pp，1），（34）

‖δm3‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dδv‖L1（n/pp，1）‖Dθ1‖L

1（n/p-1p，1）.（35）

此外， 為獲得δg在L1（n/pp，1）中的估計， 將δg改寫為

δg=Dδu∶（In-A2）-Du1∶（A2-A1）.

根據(jù)不等式（5）， 可知

‖Dδu∶（In-A2）‖L1（n/pp，1

）≤C‖Dv2‖L1（n/pp，1）‖Dδu‖L1（n/pp，1）.（36）

由不等式（9）， 可得

‖Du1∶（A2-A1）‖L1（n/p

p，1）≤C‖Du1‖L1（n/pp，1）‖Dδv‖L1（n/pp，1）.（37）

下面對tδg進(jìn)行估計. 根據(jù)δg的定義易知

tδg=div（δR）=div（δR1+δR2+δR3+δR4）.（38）

對式（38）右端進(jìn)行逐項(xiàng)估計. 由不等式（6）可得

‖δR1‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv2‖L1（n/pp，1）‖δu‖L

∞（n/p-1p，1）.（39）

根據(jù)不等式（5）， 有

‖δR2‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dv2‖L1（n/pp，1）‖tδu‖

L1（n/p-1p，1）.（40）

由不等式（12）， 可得

‖δR3‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dδv‖L1（n/pp，1）‖u1‖L

∞（n/p-1p，1）.（41）

根據(jù)不等式（9）， 有

‖δR4‖L1（n/p-1p，1）≤C‖Dδv‖L1（n/pp，1）‖tu1‖

L1（n/p-1p，1）.（42）

將不等式（28）～（37），（39）～（42）代入式（27）， 可得

‖Φ（δv，δQ，δh）‖EpC（‖1-ρ0‖M（n/p-1p，1）+‖1-Cvρ0‖M（

n/p-2p，1）+‖Dv2‖L1（n/pp，1））×‖（δu，δP，δθ）‖Ep+

C（μ+k）-1‖（u1，1，θ1）‖Ep‖（δv，δQ，δh）‖Ep+

‖Dvi‖L1（n/pp，1）‖Dui‖L1（n/pp，1）‖u

1‖L∞（n/p-1p，1）‖Dδv‖L1（n/pp，1）+‖Dvi‖2L

1（n/pp，1）‖Dui‖L1（n/pp，1）‖δu‖L∞（n/p-1p，1）.

若v1，v2 和ρ0滿足式（16），（15）， 并保證其在范數(shù)意義下足夠小， 則有

‖Φ（δv，δQ，δh）‖Ep≤2CR（μ+k）-1‖（δv，δQ，δh）‖Ep.

因此在小初值條件下， 當(dāng)R滿足4CR≤μ+k， 即4Cc≤1（c充分?。r， 映射Φ： Rp→Rp滿

足12-Lipschitz條件. 于是完成了系統(tǒng)（13）在Rp中適定性的證明.

4.2" 定理2的證明

考慮在Euler坐標(biāo)系下， 系統(tǒng)（1）有唯一的整體解. 利用定理1可構(gòu)造系統(tǒng)（13）的整體解（u，θ，）， 使其滿足

ρ0∈L∞（M（n/p-1p，1）∩M（n/p-2p，1）），" （u，θ）∈Ep.

記

（ρ，u，θ，P）=（ρ0 X-1u，uX-1u，θX-1u，X-1u）

是系統(tǒng)（1）的解. 由Xu的定義， 可得DXu-In∈n/pp，1. 因此， 映射φφX±1u（t）（Lagrange變換

或逆變換）是連續(xù)的且是sp，1到自身的［12］， 其中s∈{n/p，n/p-1，n/p-2}， 易知ρ∈L∞

（M（n/p-1p，1）∩M（n/p-2p，1））， u∈L∞（n/p-1p，1）， θ∈

L∞（n/p-2p，1）. 此外， 根據(jù)Lagrange坐標(biāo)變換的運(yùn)算法則， 有

P=（ATu）X-1u，" u=（ATuu）X-1u，" θ=（A

Tuθ）X-1u.

綜上， 可得（u，θ）∈Ep. 為證明唯一性， 考慮在Euler坐標(biāo)系下的兩個解（ρ1，u1，θ1）和（ρ2，u2，θ2）， 它們具有相同的初值（ρ0，u0，θ0）.

從而通過Lagrange坐標(biāo)變換將系統(tǒng)（1）改寫為系統(tǒng)（13）， 進(jìn)而得 （ρi，ui，θi）∈L∞（M（n/p-1p，1）∩M（n/p-2p，1））×Ep， i=1，2. 因此， 利用定理1即可完成唯一性的證明. 證畢.

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（責(zé)任編輯： 李" 琦）