毋曉迪 陳輝坤 鞠騰基

摘要：關(guān)鍵能力是使學(xué)習(xí)者適應(yīng)時(shí)代要求并支撐其終身發(fā)展的能力?；陉P(guān)鍵能力培養(yǎng)的課堂教學(xué)，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生高效率學(xué)習(xí)的重要途徑。以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”新授課教學(xué)為例，教師要培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力可以采取如下策略：在研讀課標(biāo)的基礎(chǔ)上明確能力要求，深入分析教材，確定教學(xué)主題；創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出研究問(wèn)題；組織合作探究，激活學(xué)生思維；拓展探究范圍，關(guān)注即時(shí)評(píng)價(jià)。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵能力；橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)G6336

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)20955995（2024）02005103

一、問(wèn)題的提出

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提出：關(guān)鍵能力“是使學(xué)習(xí)者適應(yīng)時(shí)代要求并支撐其終身發(fā)展的能力，是培育核心價(jià)值、發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)所必須具備的能力基礎(chǔ)，是高水平人才素質(zhì)的重要組成部分”。培養(yǎng)關(guān)鍵能力旨在讓學(xué)生在面對(duì)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境時(shí)，能清晰地認(rèn)識(shí)問(wèn)題、高質(zhì)量地分析問(wèn)題、高效率地解決問(wèn)題，形成以解決問(wèn)題為指向的心理特征?；陉P(guān)鍵能力培養(yǎng)的課堂教學(xué)，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生高效率學(xué)習(xí)的重要途徑。本文以新人教A版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊(cè)（以下簡(jiǎn)稱“教材”）第三章第一課時(shí)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”新授課教學(xué)為例，談?wù)劵诎l(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的課堂教學(xué)實(shí)踐策略。

二、能力要求與內(nèi)容分析

（一）研讀課標(biāo)，明晰能力要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求是：“了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；歷經(jīng)從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)?！苯處熜枰龑?dǎo)學(xué)生在平面上動(dòng)手畫(huà)橢圓，初步感知畫(huà)出橢圓所必備的條件；結(jié)合數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感知在畫(huà)橢圓過(guò)程中，定值（細(xì)繩長(zhǎng)度）要大于兩定點(diǎn)的距離，否則畫(huà)出的圖形是線段或無(wú)實(shí)圖形；讓學(xué)生嘗試給橢圓下定義，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)；引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱美的角度，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)概念定義列出方程并進(jìn)行推導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算求解及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（二）研究教材，構(gòu)思教學(xué)策略

研究橢圓的思路和方法會(huì)影響后繼雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)過(guò)程。教材中，該部分知識(shí)內(nèi)容邏輯清晰、簡(jiǎn)約，大部分學(xué)生通過(guò)課前預(yù)習(xí)，能理解教材上的內(nèi)容，但這種學(xué)習(xí)是碎片化的，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握還缺乏完整性和深刻性。因此，在本節(jié)課教學(xué)中，教師需要統(tǒng)整教材內(nèi)容，設(shè)置適切的問(wèn)題情境，讓學(xué)生明白橢圓形成的必要條件。同時(shí)，在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，教師要對(duì)每一步推導(dǎo)過(guò)程涉及的知識(shí)進(jìn)行橫向拓展和縱向延伸，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，并運(yùn)用知識(shí)熟練解決問(wèn)題。

三、主要教學(xué)環(huán)節(jié)及反思

（一）深入分析教材，確定教學(xué)主題

在課堂教學(xué)中，教師需要深入分析教材，對(duì)教材中知識(shí)呈現(xiàn)的順序進(jìn)行梳理，調(diào)整教學(xué)思路，厘清課堂教學(xué)邏輯，進(jìn)而確定教學(xué)主題。在本節(jié)課中，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程是核心內(nèi)容，通過(guò)對(duì)本課時(shí)及本單元教材內(nèi)容的梳理，教師應(yīng)把推導(dǎo)過(guò)程中觀察和深究每一步等價(jià)變換后的方程特征作為教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，并設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，啟發(fā)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)學(xué)生將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)變?yōu)槲淖终Z(yǔ)言的抽象概括能力。

（二）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出研究問(wèn)題

教學(xué)主題的高效實(shí)施與目標(biāo)達(dá)成需要真實(shí)的問(wèn)題情境，它既可以是生活化情境，又可以是基于學(xué)科的問(wèn)題情境。本節(jié)課中，教師首先展示生活中常見(jiàn)的橢圓圖形，并讓學(xué)生列舉生活中橢圓形狀的實(shí)物，然后類比畫(huà)圓的思路，提出以下研究問(wèn)題：

（1）你能用繩子畫(huà)出一個(gè)橢圓嗎？若學(xué)生沒(méi)有課前預(yù)習(xí)，思路將會(huì)受阻。

（2）如果將圓的定義中的一個(gè)定點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)，會(huì)畫(huà)出什么樣的圖形呢？

（3）橢圓上的點(diǎn)滿足什么條件？即滿足什么條件的點(diǎn)一定在橢圓上？

一個(gè)新概念的構(gòu)建過(guò)程，是學(xué)生把碎片化知識(shí)和感性認(rèn)知體驗(yàn)聚攏的過(guò)程。學(xué)生需要通過(guò)聯(lián)想、類比及歸納等思維方式，形成對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)抽象的數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知和理解，從而達(dá)到知識(shí)重構(gòu)的目的。

（三）組織合作探究，激活學(xué)生思維

在教學(xué)中，學(xué)生能否依據(jù)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)選擇合適的問(wèn)題探究方法是教學(xué)的重難點(diǎn)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程中，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是教學(xué)關(guān)鍵，在復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算情境中體悟方程背后的幾何意義是教學(xué)的核心。

問(wèn)題：想要得到橢圓的方程，如何建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？

探討方案：在橢圓上任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于橢圓的兩條對(duì)稱軸、中心點(diǎn)對(duì)稱后的點(diǎn)P1均在橢圓上（如圖1、2、3所示）。受此啟發(fā)：若上下、左右對(duì)折橢圓圖形，兩條對(duì)稱軸（折痕）所在的直線便可以作為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖4所示）。

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方案：（如圖）

在每一步方程等價(jià)變換后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)等式都蘊(yùn)藏著不一樣的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，并由此窺探出不同的幾何意義。方程（2）蘊(yùn)含的幾何意義體現(xiàn)在教材第115頁(yè)習(xí)題31第6題，該題詮釋了橢圓圖形生成的一種新路徑。因此，許多教師在教學(xué)中會(huì)采取折紙法折出橢圓圖形。方程（3）蘊(yùn)含的幾何意義可體現(xiàn)在教材第113頁(yè)例題6，學(xué)生在橢圓性質(zhì)的學(xué)習(xí)中會(huì)涉及，多數(shù)學(xué)者也把這一規(guī)律的表述稱為橢圓的第二定義。由方程（6）進(jìn)行坐標(biāo)變換得到“橢圓可以由圓壓縮（或者拉伸）得到”這一結(jié)論，實(shí)質(zhì)上揭示了圓與橢圓之間存在仿射變換，教材中第108頁(yè)例題2中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法就得到了充分體現(xiàn)。

（四）拓展探究范圍，關(guān)注即時(shí)評(píng)價(jià)

在經(jīng)歷上述探究過(guò)程后，學(xué)生親身經(jīng)歷了由概念建構(gòu)到方程推導(dǎo)的完整歷程，得到焦點(diǎn)在x軸上對(duì)應(yīng)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，并領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱之美。

上述教學(xué)在于引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程，類比得到焦點(diǎn)在y軸上時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解等價(jià)變換得到各個(gè)方程所蘊(yùn)含的幾何意義，并及時(shí)對(duì)標(biāo)教材例題進(jìn)行解析，大大縮減了教材中例題的教學(xué)時(shí)間。設(shè)置問(wèn)題3中的幾道試題，在于鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)成效。學(xué)生在解題中外顯知識(shí)輸出思維路徑，有助于教師了解教學(xué)效果，并對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)成效進(jìn)行即時(shí)性評(píng)價(jià)。

（毋曉迪 ?陳輝坤 ?鞠騰基，廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，南寧 530006）

參考文獻(xiàn)：

中華人民共和國(guó)教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系.北京：人民教育出版社，2019：23.

朱立明.高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力測(cè)評(píng)指標(biāo)體系的構(gòu)建.課程·教材·教法，2020（3）：3442.

中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）.北京：人民教育出版社，2020：44.

責(zé)任編輯：謝先成

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課程教學(xué)

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基金項(xiàng)目：2023年度福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（基礎(chǔ)教育研究專項(xiàng)）“指向?qū)W習(xí)中心的小學(xué)科學(xué)課堂教學(xué)改進(jìn)機(jī)制研究”（編號(hào)：JSZJ23101，福建教育學(xué)院資助）。