尤娜 余超 趙思林

摘? 要：2024屆某市高三第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題是一套頗有新意且有一定難度的好試題.筆者對(duì)某校高三部分學(xué)生此次考試情況做了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中幾道小題的得分率比較低，在試卷評(píng)講課上對(duì)這幾道小題做了探究，并引發(fā)了一系列的思考.

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué)；試卷評(píng)講課；探究；思考

2024屆某市高三第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題是一套頗有新意的試題，據(jù)考生和老師反映，這套試題中有幾道小題頗有新意且有一定難度.通過(guò)聽(tīng)

幾位一線教師的評(píng)講課并觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)：不少學(xué)生并未充分理解問(wèn)題的本質(zhì)，且對(duì)有關(guān)概念、性質(zhì)、數(shù)式等的多元表征存在障礙.因此，對(duì)這幾道小題進(jìn)行探究與教學(xué)思考是有意義的.

1? 三道小題的簡(jiǎn)介

本次診斷性考試的理科數(shù)學(xué)試題內(nèi)容主要是代數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)，未對(duì)概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行考查，但試題難度整體偏大

.通過(guò)對(duì)某校高三學(xué)生此次考試情況的分析，發(fā)現(xiàn)第10，12，16這三道小題的得分率很低，幾位教師對(duì)這三道小題做了重點(diǎn)評(píng)講.

2? 解題方法的探究

下面給出的解題思路不同于評(píng)講課老師的解題思路.

第10題：命題p：“若△ABC與△DEF滿足AB=DE=x，BC=EF=2，cos A=cos D=45，則△ABC≌△DEF.”已知命題p是真命題，則x的值不可以是（? ）.

A. 1? B. 2? C. 103? D. 73

分析1：此題的本質(zhì)是考查確定三角形的條件，利用余弦定理和驗(yàn)算法，其思維量和運(yùn)算量相對(duì)其他方法較小.

解：設(shè)AC=DF=b（b>0）.

由cos A=cos D=45和余弦定理，得b2+x2-2bx·45=4，整理，有b2-85xb+x2-4=0.

對(duì)于A，當(dāng)x=1時(shí)，b2-85b-3=0只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，符合題意.

對(duì)于B，當(dāng)x=2時(shí)，b2-165b=0只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，符合題意.

對(duì)于C，當(dāng)x=103時(shí)，b2-163b+649=0只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，符合題意.

對(duì)于D，當(dāng)x=73時(shí)，b2-5615b+139=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，所以x的值不可以是73.故選D.

分析2：有兩位教師評(píng)講時(shí)都采用了正弦定理和驗(yàn)算法.由題知，sin Cx=sin A2，得到sin C=3x10.再用驗(yàn)算法對(duì)x分情況討論即可，具體步驟從略.學(xué)生若運(yùn)用此思路，則需從sin C=3x10解出C，分情況討論，這對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一大難點(diǎn).此外，由cos A=45和sin C=3x10，對(duì)A和C的范圍作比較精確的估計(jì)，也是一個(gè)難點(diǎn).

評(píng)注：很多學(xué)生由于讀不懂題意，所以無(wú)從下手導(dǎo)致錯(cuò)誤.本題以兩個(gè)三角形的全等為背景，考查確定三角形的條件.因此，問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為判斷△ABC的邊b的長(zhǎng)有唯一的正實(shí)數(shù)解，而利用驗(yàn)算法和余弦定理的思路相對(duì)其他方法是比較直觀易懂的.

第12題：已知函數(shù)f（x）=4cosωx-π12（ω>0），f（x）在區(qū)間0，π3上的最小值恰為-ω，則所有滿足條件的ω的積屬于區(qū)間（? ）.

A. （1，4］

B. ［4，7］

C. （7，13）

D. ［13，+∞）

分析：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值一般在端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得.對(duì)于本題，函數(shù)f（x）的最小值可能在x=0或x=π3或ωx-π12=π處取得.

2024年第3期復(fù)習(xí)考試

復(fù)習(xí)考試2024年第3期

解：

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=4cos-π12=-ω<0，矛盾，故x=0應(yīng)舍去.

當(dāng)x=π3時(shí)，f（x）=4cosπ3ω-π12=-ω，此時(shí)，π3ω-π12必須落在減區(qū)間π2，π之內(nèi)，則存在ω1，且74<ω1<134.

當(dāng)ωx-π12=π時(shí)，由x∈0，π3，得-π12≤ωx-π12≤π3ω-π12，從而

f（x）=4cos π=-ω.

解得ω=4，且ω滿足上述不等式，即存在唯一的ω2=4.

故ω1ω2∈（7，13）.故選C.

評(píng)注：本題作為選擇題的壓軸題，涉及分類討論、整體代換、數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用，難度較高，因此多數(shù)同學(xué)感到困難.該題若利用高等數(shù)學(xué)的結(jié)論“閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值一般在端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得”，可快速判斷函數(shù)最值的取點(diǎn)情況，從而進(jìn)行分類討論求解.這樣既能提高做題效率，又能避免手繪簡(jiǎn)圖造成的誤差.因此，教師教學(xué)時(shí)不可局限于課本知識(shí)的講解，還要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的拓展.但在解題過(guò)程中會(huì)遇到一個(gè)超越方程4cosπ3ω-π12=-ω的解的存在性問(wèn)題.此問(wèn)題有三種解題思路：一是令t=π3ω-π12，將超越方程的求根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)y=4cos t與直線y=-3πt-14在t∈π2，π是否有唯一交點(diǎn)的問(wèn)題.只要學(xué)生能比較準(zhǔn)確地畫出它們的圖象，此問(wèn)題即可解決.二是構(gòu)造函數(shù)h（ω）=4cosπ3ω-π12+ω，并用零點(diǎn)存在定理予以解決.三是運(yùn)用整體思維，將π3ω-π12限制在y=4cos t的減區(qū)間π2，π內(nèi)，就可減少計(jì)算量.易見(jiàn)，最后一種方法較為簡(jiǎn)潔.

第16題：已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=f（x+6），f（2-x）+g（x）=4，若g（x+1）為奇函數(shù)，f（2）=3，則31k=1g（k）的值為??? .

分析1：本題涉及兩個(gè)抽象函數(shù)，可考慮先消去一個(gè)抽象函數(shù)，如消去g（x）.

需注意，“g（x+1）為奇函數(shù)”有無(wú)窮多個(gè)等價(jià)的代數(shù)表達(dá)式.比如，g（x+1）為奇函數(shù)g（-x+1）=-g（x+1）g（2-x）=-g（x）等.

解法1：由g（x+1）為奇函數(shù)知，g（-x+1）=-g（x+1）.①

由f（2-x）+g（x）=4可知，

f（1-x）+g（x+1）=4，②

由②，得f（1+x）+g（-x+1）=4.③

由①③，得f（1+x）-g（x+1）=4，

即f（x）-g（x）=4.④

由f（2-x）+g（x）=4與④相加，得f（2-x）+f（x）=8，

即f（2+x）+f（-x）=8.⑤

再由f（-x）=f（x+6）知，

f（2+x）+f（x+6）=8，

即f（x）+f（x+4）=8.⑥

即f（x+8）=8-f（x+4）=f（x）.

可得f（x）的一個(gè)周期為8.

在⑥中分別取x=1，2，3，4，則有

f（1）+f（5）=8，f（2）+f（6）=8，f（3）+f（7）=8，f（4）+f（8）=8，

所以8k=1f（k）=32.

將x=-2代入題設(shè)條件，f（2）=f（4）.

由已知f（2）=3，得f（4）=3.

所以f（32）=f（8）=8-f（4）=5.

故31k=1g（k）=31k=1f（k）-4×31=48k=1f（k）-f（32）-4×31=4×32-5-4×31=-1.

分析2：采用消元法，如消去f（x）.

解法2：由題知，f（-x）=f（x+6）f（x）=f（6-x）.①

g（x+1）為奇函數(shù)g（2-x）=-g（x）.②

f（2-x）+g（x）=4f（2-x）-g（2-x）=4.

所以f（x）-g（x）=4.③

由①③消去f（x），易得g（x）=g（6-x）.

由②，得-g（2-x）=g（x）=g（6-x）.

所以g（x+4）=-g（x）.④

故g（x+8）=-g（x+4）=g（x）.

所以函數(shù)g（x）的一個(gè)周期為8.⑤

由④，得g（x）+g（x+4）=0.⑥

在⑥中分別取x=1，2，3，4，則有

g（1）+g（5）=0，g（2）+g（6）=0，g（3）+g（7）=0，g（4）+g（8）=0.

即32k=1g（k）=48k=1g（k）=0.

將x=2代入①，得f（4）=f（2）=3.

再由③⑤知，g（32）=g（8）=-g（4）=4-f（4）=1.

故31k=1g（k）=32k=1g（k）-g（32）=48k=1g（k）-1=-1.

分析3：采用數(shù)形結(jié)合法.

解法3：由已知

f（-x）=f（x+6），

可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱.①

由題知，g（x+1）為奇函數(shù).

故函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱.②

由②可知，g（2-x）=-g（x）.③

由②，g（1）=0，且f（2-x）+g（x）=4f（2-x）-g（2-x）=4，f（x）-g（x）=4，即f（x）=g（x）+4.④

由①和④，得g（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱.⑤

又由②和⑤，得g（x）的一個(gè)周期為8.

將x=2代入④，得g（2）=f（2）-4=-1.

又由③，得g（0）=-g（2）=1.

以下同解法2.

評(píng)注：本題是涉及2個(gè)抽象函數(shù)，共有6個(gè)條件的復(fù)雜問(wèn)題，其抽象度很高，難度較大，得分率較低.多數(shù)學(xué)生對(duì)此題的解答感到困難，究其原因是沒(méi)有較好地領(lǐng)悟其本質(zhì)及幾何意義，難以形成函數(shù)對(duì)稱性的多種代數(shù)表達(dá)形式，并不易發(fā)現(xiàn)其幾何意義，從而學(xué)生難以生成

解決問(wèn)題的認(rèn)知圖式.因此，建議教師講解題目時(shí)，應(yīng)放緩教學(xué)進(jìn)度，讓學(xué)生充分思考，并多角度表征數(shù)學(xué)概念和公式，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題具有豐富的感性認(rèn)識(shí).解答本題的關(guān)鍵是找到f（x）和g（x）的關(guān)系，即f（x）-g（x）=4.

3? 對(duì)評(píng)講課的思考

3.1? 調(diào)查學(xué)情，面向全體

學(xué)情調(diào)查與分析作為教學(xué)設(shè)計(jì)的前期工作，是教師有效教學(xué)的前提，是提升課堂教學(xué)效率的必要基礎(chǔ).學(xué)情分析的方法有很多，如問(wèn)卷調(diào)查、觀察記錄、小組討論、訪談等.學(xué)情調(diào)查與分析有以下目的：一是為了精準(zhǔn)定位學(xué)生當(dāng)前的知識(shí)儲(chǔ)備、解題能力、思維水平等，明確學(xué)生的差異化需求；二是為了學(xué)生面對(duì)大型考試應(yīng)表現(xiàn)出良好心態(tài)和抗壓能力，有針對(duì)性地調(diào)整學(xué)生心態(tài)；三是為了對(duì)學(xué)生進(jìn)行一個(gè)綜合評(píng)價(jià)，為學(xué)生制定個(gè)性化備考方案和學(xué)習(xí)計(jì)劃，確保全體學(xué)生能有效

地

參與后續(xù)學(xué)習(xí).依據(jù)學(xué)情調(diào)查與分析，教師可更好地

提供給

學(xué)生

適合的

差異化學(xué)習(xí)需求，可更好地

分析

學(xué)生經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)而提供學(xué)習(xí)素材，可更好地針對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)不同

的

教學(xué)方法.

3.2? 講簡(jiǎn)講透，揭示本質(zhì)

通過(guò)觀察幾位老師的評(píng)講課，發(fā)現(xiàn)存在解題思路單一、解題方法煩瑣、解題過(guò)程冗長(zhǎng)、局限于試題講解、未能對(duì)知識(shí)進(jìn)行回顧和拓展等問(wèn)題.試題的評(píng)講課應(yīng)該具有兩個(gè)作用：一是讓學(xué)生知其然更知其所以然，即講清試題來(lái)源，揭示試題本質(zhì)，讓學(xué)生明白試題是由什么數(shù)學(xué)核心知識(shí)、普適方法和重要思想所構(gòu)建而成；二是讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生，即挖掘試題中的隱性知識(shí)，豐富試題條件的數(shù)學(xué)表征，讓學(xué)生加深理解，建立內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)問(wèn)題解決圖式的生成.因此，評(píng)講課教學(xué)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：一是講簡(jiǎn)單，即講清問(wèn)題的本質(zhì)特征、知識(shí)的底層邏輯；二是講要點(diǎn)，即知識(shí)的重難點(diǎn)、概念的辨析點(diǎn)、運(yùn)算的易錯(cuò)點(diǎn)、方法的關(guān)鍵點(diǎn)、思維的轉(zhuǎn)折點(diǎn)等；三是講變式，即通過(guò)變換試題的已知條件、問(wèn)題情境、設(shè)問(wèn)方式等，做到“一題多變”“一題多用”“多題一解”“一法多用”等.

3.3? 指向創(chuàng)新，發(fā)展素養(yǎng)

創(chuàng)新素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂.指向創(chuàng)新素養(yǎng)培養(yǎng)的評(píng)講課才是高質(zhì)量的評(píng)講課.數(shù)學(xué)創(chuàng)新具有自組織性［1］，即創(chuàng)新是學(xué)生在綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)“四基”去分析和解決現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)問(wèn)題的自組織過(guò)程中生成的.因此，數(shù)學(xué)創(chuàng)新是學(xué)生組織數(shù)學(xué)資源并創(chuàng)造性地運(yùn)用資源解決新穎問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果.“指向創(chuàng)新，發(fā)展素養(yǎng)”的數(shù)學(xué)評(píng)講課需做到以下幾點(diǎn)：一是自組織性，即在教師啟發(fā)、點(diǎn)撥、指導(dǎo)等外力作用下，讓學(xué)生在感知題意、探索思路、選擇方法、書寫表達(dá)等解題過(guò)程中盡可能實(shí)現(xiàn)自組織化；二是創(chuàng)新性，即學(xué)生在靈活運(yùn)用“三基”基礎(chǔ)上能提供創(chuàng)新、新穎、簡(jiǎn)潔的非常規(guī)解法；三是遷移性，即將數(shù)學(xué)問(wèn)題遷移到不同情境中，如跨學(xué)科情境和現(xiàn)實(shí)情境；四是拓展性，即學(xué)生能對(duì)已有問(wèn)題進(jìn)行變式、拓展和推廣，發(fā)現(xiàn)并提出新的問(wèn)題；五是批判性，批判孕育創(chuàng)新［2］，即學(xué)生在對(duì)自己的解題行為的反思、批判等過(guò)程中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.

參考文獻(xiàn)

［1］趙思林，高崢，熊露.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵探究［J］.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，35（6）：12-17.

［2］尤娜，趙思林.批判性思維的心理過(guò)程及對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示［J］.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023，38（10）：1-6.