廖妍婷 楊楚鋒 巫輝瑩 巫陽洋 梁填 張文超

摘? 要：導數(shù)與不等式、函數(shù)交匯綜合是高考命題的熱點.這類題型主要以選擇題、解答題的形式為主，往往涉及了函數(shù)性質、導數(shù)的應用、不等式的求解等多個方面，需要學生具備較強的數(shù)學綜合能力和思維能力.本文通過歸納常見的不等式導數(shù)問題并給予相應解題策略，以此來幫助學生更好地分析并掌握解決該類題型的方法和技巧.

關鍵詞：不等式導數(shù)；函數(shù)；高考；解題策略

不等式導數(shù)問題在高考命題中占據(jù)重要地位，在高考試卷中經(jīng)常以選擇題和解答題的形式命題，有基礎題，也有中檔題，更多時候是作為“把關題”出現(xiàn)，承擔著區(qū)分與選拔優(yōu)秀學生的功能.隨著教育改革的深入，高考題目靈活多變，新課標指出“基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學評價，不僅要關注學生對知識技能的掌握程度，還要更多地關注學生的思維過程”.不等式導數(shù)問題涉及化歸、方程、分類討論等數(shù)學思想，同時考查導數(shù)和不等式的基礎知識，難度逐級遞增、環(huán)環(huán)相扣，這對于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、邏輯推理能力具有重要意義.

1? 歷年高考不等式導數(shù)問題的出題特點

1.1? 考查題量、題型分析

高考改革一直是近年來的熱點，在“新課標，新教材，新高考”這一背景下，不等式導數(shù)問題又有哪些變化呢？下文主要從近年來高考試卷考查題量、題型方面來分析.

首先從考查題量方面分析.近六年全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷，以及新高考全國甲卷、乙卷、Ⅰ卷、Ⅱ卷共38套，考查導數(shù)題共82道，其中不等式導數(shù)題共考查了59道，占比72.0%.在實施新高考前，不等式導數(shù)在導數(shù)題中考查占比為60.7%.實施新高考后，不等式導數(shù)題的比重相比舊高考有所提升.如2022年不等式導數(shù)在導數(shù)占比為81.3%，2023年不等式導數(shù)在導數(shù)占比為66.7%.具體考查題數(shù)見表1，表中每個年份的左側為不等式導數(shù)的考查題量，右側為導數(shù)的考查題量.

從題型方面分析.分析近幾年高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)導數(shù)中不等式?？紗栴}可以總結為以下八大題型，分別是函數(shù)導數(shù)的單調性與不等式、函數(shù)零點問題、函數(shù)極值問題、證明含參不等式恒成立、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、存在性變量問題、數(shù)列不等式、極值點偏移.如在2022年新高考全國Ⅱ卷22（2）、22（3）分別考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍和導數(shù)中的數(shù)列不等式.在2023年新高考Ⅰ卷19（2）考查了證明含參不等式恒成立，22（2）考查了函數(shù)導數(shù)的單調性與不等式以及極值問題等.

1.2? 考查題型、解題策略分析

針對這八大題型，下文通過從解題方法方面剖析2022，2023年新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷不等式導數(shù)試題并總結常用的三種解題策略.表2呈現(xiàn)了近幾年部分不等式導數(shù)試題以及其解題方法.

從表2，我們可以清楚地看到構造函數(shù)法、切線放縮法常用于解決不等式導數(shù)問題.此外，在對其他地區(qū)的高考試卷分析中，發(fā)現(xiàn)在2023年全國甲卷文科20（2）可以用極值點偏移法解答，2022年全國甲卷理科21（2）的解答同樣用到了極值點偏移的方法.總結歸納近幾年不等式導數(shù)試題，可以發(fā)現(xiàn)構造函數(shù)法、切線放縮法、極值點偏移法最常用于解決不等式導數(shù)問題.

2? 不等式導數(shù)問題的三種解題策略

2.1

構造函數(shù)法

例1? ^^［2023年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學22（1）］&&證明：當0

解析：構造函數(shù)g（x）=x-x2-sinx，x∈（0，1），求導，得g′（x）=1-2x-cosx.

令p（x）=g′（x），則p′（x）=-2+sinx<0.

所以有g′（x）在（0，1）上單調遞減.

故g′（x）

所以g（x）在（0，1）上單調遞減.

可得g（x）

構造函數(shù)h（x）=x-sinx，x∈（0，1），求導，得h′（x）=1-cosx.

易知h′（x）>0，所以h（x）在（0，1）上單調遞增.

所以h（x）>0-sin0=0，即sinx

評注：這道題目屬于中檔題，主要是將函數(shù)單調性和不等式證明結合起來，要求學生能夠根據(jù)函數(shù)的單調性判斷函數(shù)的值域，并利用函數(shù)的性質進行不等式的證明.此外還要求學生能夠將所學知識綜合運用，解決一些較為復雜的不等式問題.主要考查了學生的綜合應用能力和邏輯思維能力.

技巧：在運用構造函數(shù)法解決不等式導數(shù)問題時，可以通過以下步驟進行解答：

（1）觀察不等式的形式和已知條件，確定構造函數(shù)的形式，如已知函數(shù)f（x）在某區(qū)間內的最小值為n，則可以構造函數(shù)F（x）=f（x）-nx（其中n為某常數(shù)）；

（2）根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，判斷構造函數(shù)的單調性；

（3）利用單調性求解不等式.

2.2? 切線放縮法

例2? ^^（2023年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學19）&&已知函數(shù)f（x）=a（ex+a）-x.

（1）討論f（x）的單調性.

（2）證明：當a>0時，f（x）>2lna+32.

解析：（1）先求導，再對a分類討論，從而判斷a的不同取值范圍下f（x）的單調性.

（2）解法一：（切線放縮）

利用ex≥x+1.

則f（x）=a（ex+a）-x=ex+lna+a2-x≥x+lna+1+a2-x=a2+lna+1.

令g（a）=1+a2+lna-2lna+32=a2-lna-12，則g′（a）=2a-1a=2a2-1a.

令g′（a）>0，得a>22；令g′（a）<0，得0

故g（a）在0，22上單調遞減，在22，+∞上單調遞增.

故g（a）≥g22=12-ln22-12>0，所以f（x）>2lna+32，證畢.

解法二：（同構+切線放縮）

當a>0時，要證f（x）>2lna+32.

即證ex+lna-（x+lna+1）+12（a2-lna2-1）+12a2>0.

又ex≥x+1，故ex+lna-（x+lna+1）≥0.

又lnx≤x-1，故12（a2-lna2-1）≥0.

又12a2>0，故ex+lna-（x+lna+1）+12（a2-lna2-1）+12a2>0顯然成立.證畢.

評注：這道題目主要考查了函數(shù)的單調性和極值定理的應用，以及極限的性質.在解決題目時使用切線放縮公式能達到事半功倍的效果.要求學生有較強的綜合應用能力和邏輯思維能力，有助于提高學生的思維品質和解決問題的能力.

技巧：確定目標函數(shù)、構造切線函數(shù)、分析切線函數(shù)的性質（導數(shù)、單調性、極值等）、利用切線函數(shù)的性質證明不等式.以下為常見的放縮不等式.

（1）切線放縮：對于函數(shù)f（x），其導數(shù)為f′（x），則有f（x）≥f（x0）+f′（x0）（x-x0）.

（2）指數(shù)函數(shù)放縮：對于x>0，有ex≥x+1.

（3）對數(shù)函數(shù)放縮：對于x>0，有l(wèi)n（1+x）≤x和ln（1+x）≥2x2+x.

（4）三角函數(shù)放縮：對于x≥0，有sinx≥x-x33！和cosx≥1-x22！.

（5）代數(shù)式放縮：對于正整數(shù)n，有1+1nn

2.3

極值點偏移法

例3? ^^（2022年高考全國甲卷理科21）&&已知函數(shù)f（x）=exx-lnx+x-a.

（1）若f（x）≥0，求a的取值范圍.

（2）證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1x2<1.

解析：（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解.

（2）解法一：（構造函數(shù)與極值點偏移）

不妨設0

又x2，1x1∈（1，+∞），f（x）在（1，+∞）上單調遞增，f（x1）=f（x2），即證f（x1）-f1x1<0.

故當x∈（0，1）時，要證x1x2<1，即證明exx-lnx+x-xe1x-lnx-1x<0.

令g（x）=exx-lnx+x-xe1x-lnx-1x，則g′（x）=（x-1）（ex-xe1x+x-1）x2.

令h（x）=ex-xe1x+x-1，易得h′（x）>0.

即h（x）在（0，1）上單調遞增，h（x）

則g′（x）>0，g（x）在（0，1）上單調遞增，即g（x）

解法二：（對數(shù)均值不等式與極值點偏移）

令t=exx>1，則f（t）=t+lnt-a，f′（t）=1+1t>0.

所以f（t）=t+lnt-a在（1，+∞）上單調遞增，故f（t）=0只有1個解.

又f（x）=exx+lnexx-a有兩個零點x1，x2，故t=ex1x1=ex2x2.

兩邊取對數(shù)，得x1-lnx1=x2-lnx2，即x1-x2lnx1-lnx2=1.

要證x1x2x2>0.

則有l(wèi)nx1-lnx2

即證lnx1x2

設t=x1x2>1，則2lnt

構造h（t）=2lnt-t+1t，t>1，則h′（t）=2t-1-1t2=-1-1t2<0.

故h（t）=2lnt-t+1t在（1，+∞）上單調遞減，h（t）

故x1x2<1，即x1x2<1.

評注：本題屬于難題，通過設置綜合性的導數(shù)不等式問題和較為復雜的情境，重視基于數(shù)學素養(yǎng)的關鍵能力的考查，具有較好的選拔功能，考查了學生靈活應用函數(shù)、不等式思想解決復雜問題的能力，對直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高的要求.

3? 總結與展望

不等式導數(shù)問題在高考命題、數(shù)學研究中占據(jù)核心地位，對數(shù)學的發(fā)展和應用具有重要意義.解決這類題型對于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解決問題的能力都具有重要的價值.

本文通過對標歷年高考試卷，歸納出八大題型，即函數(shù)導數(shù)的單調性與不等式、函數(shù)零點問題、函數(shù)極值問題、證明含參不等式恒成立、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、存在性變量問題、數(shù)列不等式、極值點偏移，并總結出三大解題策略——構造函數(shù)法、切線放縮法、極值點偏移法，此外對這三類方法分別進行研究并總結做題技巧.

希望學生能熟練掌握解決不等式導數(shù)問題的技巧，學習其數(shù)學思想，領略數(shù)學魅力，也希望各位數(shù)學教育工作者能提出更多更精妙的解決不等式導數(shù)問題的策略，教學相長，共同進步！

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