摘 要：針對軟件開發(fā)項(xiàng)目因存在約束條件而不能有效使用關(guān)鍵路徑法的問題，利用Petri網(wǎng)并行性和異步性的動態(tài)特性，設(shè)計(jì)時(shí)延著色Petri網(wǎng)（TCPN）進(jìn)度模型，通過將雙代號網(wǎng)絡(luò)圖映射成Petri網(wǎng)，構(gòu)建約束條件下的項(xiàng)目執(zhí)行模型，用模型仿真得到約束條件下項(xiàng)目運(yùn)行可能出現(xiàn)的情況，再運(yùn)用關(guān)鍵路徑法進(jìn)行分析。案例結(jié)果表明：TCPN進(jìn)度模型可使用關(guān)鍵路徑法預(yù)測軟件開發(fā)項(xiàng)目的完工時(shí)間，獲得項(xiàng)目關(guān)鍵路徑信息和其他潛在的關(guān)鍵路徑發(fā)生概率，并且完工時(shí)間預(yù)測準(zhǔn)確率為92.41%，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：Petri網(wǎng);項(xiàng)目管理;資源約束;關(guān)鍵路徑;進(jìn)度管理

中圖分類號：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言（Introduction）

關(guān)鍵路徑法（CPM）和計(jì)劃評審技術(shù)（PERT）[1]雖然能在不考慮約束的唯一項(xiàng)目場景下有效表達(dá)活動自身的時(shí)間因素以及不同活動之間的邏輯關(guān)系，進(jìn)而確定項(xiàng)目關(guān)鍵路徑的完成時(shí)間，但是在實(shí)際的軟件開發(fā)過程中，由于存在資源限制和活動優(yōu)先級等[2]情況，項(xiàng)目場景不唯一，使用上述方法得到的結(jié)果不準(zhǔn)確，因此考慮通過設(shè)計(jì)仿真模型，根據(jù)模型仿真出可能出現(xiàn)的項(xiàng)目場景，再基于關(guān)鍵路徑法進(jìn)行求解分析，從而提高完成時(shí)間預(yù)測的準(zhǔn)確性。

Petri網(wǎng)[3]是一種動態(tài)可執(zhí)行系統(tǒng)模型[4]，適合用于研究并行開發(fā)的系統(tǒng)問題，而項(xiàng)目管理的活動具有并行性和異步性的離散性特點(diǎn)，因此適合用Petri網(wǎng)研究項(xiàng)目進(jìn)度模型。李海凌等[5]用分層賦時(shí)著色Petri網(wǎng)（HTCPN）模擬資源約束下的項(xiàng)目實(shí)施階段的工作流情況，但只考慮了資源約束對項(xiàng)目的影響，不完全適合軟件開發(fā)項(xiàng)目;韓耀軍[6]利用Petri網(wǎng)求解項(xiàng)目關(guān)鍵路徑，但是沒有考慮約束條件下的情況。

基于時(shí)延著色Petri網(wǎng)（TCPN）的進(jìn)度模型[7]針對軟件開發(fā)的特點(diǎn)，利用Petri網(wǎng)構(gòu)建項(xiàng)目的約束條件，模擬軟件開發(fā)項(xiàng)目的執(zhí)行過程，在多次仿真結(jié)果中運(yùn)用關(guān)鍵路徑法，得出約束條件下的軟件項(xiàng)目工期預(yù)測和關(guān)鍵路徑信息?；赥CPN的進(jìn)度模型不僅能將關(guān)鍵路徑法運(yùn)用在約束條件下的軟件項(xiàng)目中，而且具有較強(qiáng)的工期預(yù)期能力，并能提供更加全面的進(jìn)度管理信息。

1TCPN進(jìn)度模型的構(gòu)建（Construction of TCPNprogress model）

1.1Petri網(wǎng)及其擴(kuò)展

Petri網(wǎng)是一種用網(wǎng)狀圖形表示的系統(tǒng)模型。原型Petri網(wǎng)將一個(gè)網(wǎng)定義為三元組N =（P，T，F(xiàn)），其中P 為庫所的有限集合，在網(wǎng)中用小圓圈表示;T 為變遷的有限集合，在網(wǎng)中用小矩形表示;P∪T=?，P∩T=?;F?（P×T）∪（T×P）∩T 為有向弧的有限集合，在網(wǎng)中用方向箭頭表示，存在于小圓圈和小矩形之間。

在原型Petri網(wǎng)的基礎(chǔ)上增加弧的權(quán)函數(shù)W ：F→N+ 和初始標(biāo)識M0：F→T，則形成一個(gè)五元組Σ= （P，T，F(xiàn)，W ，M 0）的經(jīng)典Petri網(wǎng)。經(jīng)典Petri網(wǎng)具有良好的擴(kuò)展性，在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展了著色Petri網(wǎng)（Colored Petri Net，CPN）[8]和時(shí)延Petri網(wǎng)（Timed Petri Net，TPN）[9]等高級Petri網(wǎng)，增強(qiáng)了Petri網(wǎng)的系統(tǒng)表達(dá)能力。

1.2 時(shí)延著色Petri網(wǎng)

時(shí)延著色Petri網(wǎng)（Timed Colored Petri Net，TCPN）是在經(jīng)典Petri網(wǎng)的基礎(chǔ)上，結(jié)合了著色Petri網(wǎng)和時(shí)延Petri網(wǎng)的特點(diǎn)的高級Petri網(wǎng)。

定義1：時(shí)延著色Petri網(wǎng)TCPN是一個(gè)十元組，TCPN=（P，T，F(xiàn)，W ，R，C，D，E，M ，I）。其中，（P，T，F(xiàn)，W ）為一個(gè)原型Petri網(wǎng)。

R 是非空的有限類型的顏色集合（colored sets），定義了不同類型的庫所;

C 是映射到R 的顏色函數(shù)（color function），可對庫所中的標(biāo)識進(jìn)行標(biāo)記，以表示不同類型;

D 是時(shí)間延遲函數(shù)，定義在變遷T 上，標(biāo)識在變遷T 觸發(fā)函數(shù)后，進(jìn)入后續(xù)庫所，必須經(jīng)歷延遲時(shí)間D 后，才會離開后續(xù)庫所;

E 是弧表達(dá)函數(shù)，定義在弧F 上，表示標(biāo)識流動的規(guī)則;

M 是標(biāo)識函數(shù)，定義在庫所P 上，表示庫所的標(biāo)識數(shù)量;

I 是抑制弧的集合，表示不同庫所的觸發(fā)優(yōu)先度。

定義2：設(shè)x∈P∪T 是網(wǎng)TCPN的任一元素，x 的前集與后集分別記為·x 與x·，則有

·x={y|（y∈P∪T）∩（y，x）∈F）} （1）

x·={z|（z∈P∪T）∩（x，z）∈F）} （2）

定義3：TCPN具有以下變遷引發(fā)規(guī)則。t∈T，若?p∈·x：M （p）≥1，則變遷t 在標(biāo)識M 下使能，記作M [tgt;。

若M [tgt;，則在標(biāo)識M 下t 能夠觸發(fā)，并且觸發(fā)后產(chǎn)生新標(biāo)識M'，記作M [tgt;M'，其中[10]

1.3 雙代號網(wǎng)絡(luò)圖向基于TCPN的進(jìn)度模型的映射

1.3.1 活動網(wǎng)絡(luò)映射

雙代號網(wǎng)絡(luò)圖是由代表節(jié)點(diǎn)的圓圈和代表活動的有向弧連接形成的邏輯關(guān)系圖。

在基于TCPN的進(jìn)度模型中定義節(jié)點(diǎn)庫所PN，用于映射雙代號網(wǎng)絡(luò)圖中的圓圈節(jié)點(diǎn)，記PN={P1，P2，…，Pm}（mgt;0）。

定義活動庫所PS 表示具體的活動本身，記PS={S1，S2，…，Sn}（ngt;0）;定義啟動活動變遷TS 帶有時(shí)間延遲函數(shù)，記TS={t1s，t2s，…，tns}（ngt;0）;定義結(jié)束活動變遷TE，記TE={t1e，t2e，…，tne}（ngt;0）。將由活動庫所PS、啟動活動變遷TS 和結(jié)束活動變遷TE 組成的活動單元用于映射雙代號網(wǎng)絡(luò)圖中代表活動的有向弧。

過渡變遷Tr 用于連接節(jié)點(diǎn)庫所，記Tr={tr1，tr2，…，trn}（ngt;0）。

用有向弧將節(jié)點(diǎn)庫所PN 、活動單元和過渡變遷Tr 連接起來，得到基于TCPN的進(jìn)度模型的網(wǎng)絡(luò)圖。雙代號網(wǎng)絡(luò)圖向基于TCPN的進(jìn)度模型的映射關(guān)系如圖1所示。

1.3.2 活動的持續(xù)時(shí)間映射

活動單元的持續(xù)時(shí)間由啟動活動變遷上的時(shí)間延遲函數(shù)D 決定。PERT的活動持續(xù)時(shí)間是根據(jù)概率分布發(fā)生的，是一種非固定持續(xù)時(shí)間，通過將D 定義為非固定持續(xù)時(shí)間函數(shù)，可以將PERT的思想運(yùn)用在基于TCPN的進(jìn)度模型中。

基于TCPN 的進(jìn)度模型的持續(xù)時(shí)間確定方法借鑒了PERT的三點(diǎn)估算方法，定義了期望完成時(shí)間、樂觀估計(jì)時(shí)間和悲觀完成時(shí)間3種完成時(shí)間，活動單元的持續(xù)時(shí)間將在由以上3個(gè)時(shí)間點(diǎn)所構(gòu)成的時(shí)間區(qū)間中隨機(jī)取值，非固定時(shí)間延遲函數(shù)的分布函數(shù)u（x）如下[11]：

其中：a 是期望完成時(shí)間，b 是樂觀估計(jì)時(shí)間，c 是悲觀完成時(shí)間。

1.3.3 活動之間邏輯關(guān)系映射

雙代號網(wǎng)絡(luò)圖中定義了4種活動之間的邏輯關(guān)系[12]，分別為完成-開始（FS）、開始-開始（SS）、完成-完成（FF）和開始-完成（SF），映射到基于TCPN 的進(jìn)度模型中的關(guān)系如圖2所示。

基于TCPN的進(jìn)度模型通過將活動單元按邏輯關(guān)系連接起來形成進(jìn)度網(wǎng)絡(luò)模型?；赥CPN的進(jìn)度模型中的各活動單元是經(jīng)過WBS（Work Breakdown Structure）分解后的最小工作單元。

2 基于TCPN 的進(jìn)度模型約束條件的構(gòu)建（Construction of constraint conditions forTCPN schedule model）

2.1 資源數(shù)量約束關(guān)系的構(gòu)建

通過構(gòu)建資源庫所對資源數(shù)量約束關(guān)系進(jìn)行構(gòu)建。

定義資源庫所PR，記PR={r1，r2，…，rm}（mgt;0），資源庫所PR 中的初始標(biāo)識數(shù)代表項(xiàng)目所有可分配的人力資源，一類資源庫所代表一類資源。從資源庫所出來的有向弧連接到相應(yīng)的啟動活動變遷上，對于變遷t∈TS，?PN ∈·x：M （p）≥1和?PR∈x：M （r）≥1時(shí)，啟動活動變遷使能。啟動活動變遷觸發(fā)后產(chǎn)生新標(biāo)識進(jìn)入活動庫所，表示任務(wù)處于執(zhí)行狀態(tài)?；顒訋焖械臉?biāo)識經(jīng)過函數(shù)D 的滯留時(shí)間后，觸發(fā)結(jié)束活動變遷，產(chǎn)生保留時(shí)間信息的人力資源標(biāo)識和進(jìn)度標(biāo)識的2種標(biāo)識，其中人力資源標(biāo)識會回到資源庫所，表示資源重新進(jìn)入待機(jī)狀態(tài)。進(jìn)度標(biāo)識會進(jìn)入后集的節(jié)點(diǎn)庫所，表示活動單元已完成。資源數(shù)量約束關(guān)系的構(gòu)建規(guī)則如圖3所示。

2.2 活動優(yōu)先級約束關(guān)系的構(gòu)建

在存在資源約束的情況下，優(yōu)先級約束會改變活動的執(zhí)行順序，從而進(jìn)一步影響關(guān)鍵路徑的確定。通過約束弧映射活動優(yōu)先級約束關(guān)系。

約束弧在圖形上使用帶有空心圓環(huán)的無向弧表示。約束弧空心圓環(huán)的一端連接啟動活動變遷，另一端連接節(jié)點(diǎn)庫所[13]。只有當(dāng)約束弧所連接的庫所為空時(shí)，即?PN ∈·x：M（p）∈I→M （p）=0，空心圓環(huán)所連接的變遷才會被觸發(fā)。啟動活動變遷上所連接的約束弧數(shù)量即代表活動的優(yōu)先級關(guān)系，啟動活動變遷上的約束弧數(shù)量越少，活動優(yōu)先級越高。圖4表示的優(yōu)先級關(guān)系為活動S1gt;活動S2gt;活動S3。

3 基于TCPN 的進(jìn)度模型關(guān)鍵路徑信息的確定（Critical path information determinationfor TCPN-based schedule models）

3.1 固定持續(xù)時(shí)間的關(guān)鍵路徑信息

CPN Tools是一套針對著色Petri網(wǎng)的編輯、仿真和分析工具[14-15]，在支持CPN圖形化建模的同時(shí)，還可以作為模型仿真和監(jiān)控等分析工具使用[16]。通過CPN Tools中Monitoring功能模塊的Mark Size組件，監(jiān)控活動單元獲得的日志信息。MarkSize日志信息中time列對應(yīng)的項(xiàng)目進(jìn)度信息如表1所示。

根據(jù)日志信息可以確定項(xiàng)目的關(guān)鍵路徑完成時(shí)間和對應(yīng)關(guān)鍵路徑鏈信息。

（1）活動單元的活動總時(shí)差TF：

TF=Tlf -Tef （5）

（2）關(guān)鍵活動路徑：所有TF=0的活動單元，即關(guān)鍵路徑。

（3）關(guān)鍵路徑完成時(shí)間：日志信息的第四行數(shù)據(jù)時(shí)間。

3.2 非固定持續(xù)時(shí)間下的關(guān)鍵路徑信息

引入非固定持續(xù)時(shí)間函數(shù)，每次仿真的活動單元持續(xù)時(shí)間結(jié)果不同，相應(yīng)的活動進(jìn)度信息也會有所變化，因此收集仿真得出的所有數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計(jì)的方式確定非固定持續(xù)時(shí)間下的關(guān)鍵路徑信息如下。

（1）活動單元的活動平均總時(shí)差A(yù)TF：

（2）關(guān)鍵活動路徑：統(tǒng)計(jì)仿真的各種關(guān)鍵路徑的出現(xiàn)概率，根據(jù)概率大小確定主要關(guān)鍵路徑和潛在關(guān)鍵路徑。

（3）關(guān)鍵路徑完成時(shí)間：統(tǒng)計(jì)仿真的關(guān)鍵路徑完成時(shí)間頻數(shù)，確定各種完成時(shí)間和相應(yīng)的出現(xiàn)概率。

4 案例分析（Case analysis）

4.1 案例TCPN進(jìn)度模型的建立

某軟件開發(fā)項(xiàng)目的功能開發(fā)活動工時(shí)信息如表2所示，項(xiàng)目組的人員構(gòu)成信息如表3所示。

基于表2的信息，構(gòu)建軟件開發(fā)項(xiàng)目的雙代號網(wǎng)絡(luò)圖（圖5）。使用CPN Tools對此雙代號網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行基于TCPN的進(jìn)度模型建模映射。

CPN Tools建模過程中顏色集和變量的定義如下：

closet PN =productINT*STRING timed;

closet PR=productINT*STRING timed;

closet PS=productINT*STRING timed;

var p：PN ;

var r：PR;

var m：PN ;

var j：PR;

起始節(jié)點(diǎn)庫所上的初始標(biāo)識為（0，“x”），數(shù)量為1，表示項(xiàng)目的進(jìn)度情況;各資源庫所上的初始標(biāo)識為（n，“string”），表示具體的資源，其中n 為資源編號，“string”為資源名稱，標(biāo)識數(shù)量等同于資源數(shù)量。

圖6為建模后的基于TCPN的進(jìn)度模型，模型中各庫所的含義如表4所示，變遷的含義如表5所示。

4.2 某軟件開發(fā)項(xiàng)目關(guān)鍵路徑信息的確定

對基于TCPN的進(jìn)度模型進(jìn)行110次仿真實(shí)驗(yàn)后，整理活動單元的日志數(shù)據(jù)得到軟件開發(fā)項(xiàng)目的關(guān)鍵路徑信息（表6）。

由表6可以看出軟件開發(fā)項(xiàng)目可能出現(xiàn)的關(guān)鍵路徑有6條，其中關(guān)鍵路徑2的出現(xiàn)概率最高，達(dá)71.8%，是項(xiàng)目的主要關(guān)鍵路徑，其余為潛在的關(guān)鍵路徑。

表7為主關(guān)鍵路徑完成時(shí)間概率分布。

主關(guān)鍵路徑活動平均總時(shí)差如表8所示，是非關(guān)鍵活動在仿真過程中自身所有總時(shí)差情況的平均值，表示非關(guān)鍵活動即使延遲也不會影響進(jìn)度的可延遲天數(shù)。

本文采用基于TCPN的進(jìn)度模型計(jì)算約束條件限制下，項(xiàng)目關(guān)鍵路徑的完成時(shí)間及相應(yīng)的發(fā)生概率，結(jié)合傳統(tǒng)關(guān)鍵路徑法和PERT技術(shù)的優(yōu)勢。若用關(guān)鍵鏈技術(shù)計(jì)算本文列舉案例的完成時(shí)間，采用根差法[17]計(jì)算緩沖區(qū)大小，則可得到本文列舉案例的完成時(shí)間為34 d，在基于TCPN的進(jìn)度模型的計(jì)算結(jié)果中，項(xiàng)目完成時(shí)間為34 d的概率為92.41%。此結(jié)果基本可以說明模型在約束條件下的軟件項(xiàng)目完成時(shí)間的預(yù)測能力，基于TCPN的進(jìn)度模型能夠得到與傳統(tǒng)關(guān)鍵鏈技術(shù)接近的結(jié)果。

5 結(jié)論（Conclusion）

基于TCPN的進(jìn)度管理模型具有的可執(zhí)行性建模的特點(diǎn)，使得進(jìn)度管理可及時(shí)響應(yīng)由環(huán)境變化帶來的影響，解決了關(guān)鍵路徑法不能有效運(yùn)用于存在約束條件的軟件開發(fā)項(xiàng)目的問題，擴(kuò)大了關(guān)鍵路徑法的應(yīng)用范圍。與關(guān)鍵鏈法相比，基于TCPN的進(jìn)度管理模型不僅實(shí)現(xiàn)了約束條件下的完成時(shí)間預(yù)測，還實(shí)現(xiàn)了關(guān)鍵路徑信息的獲取;與傳統(tǒng)的關(guān)鍵路徑法相比，擴(kuò)展了關(guān)鍵路徑法的分析維度，可分析得出項(xiàng)目的潛在關(guān)鍵路徑信息，為項(xiàng)目進(jìn)度決策分析增加了風(fēng)險(xiǎn)分析維度，幫助項(xiàng)目管理人員明確軟件項(xiàng)目進(jìn)度管理的重點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)約束條件下的有效進(jìn)度管理，適應(yīng)敏捷開發(fā)的要求。

在后續(xù)的研究工作中，將會增加模型中的約束條件類型，使得進(jìn)度模型能為進(jìn)度管理決策提供更具有現(xiàn)實(shí)意義的信息輸入。

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作者簡介：

李 鴻（1997-），男，碩士生。研究領(lǐng)域：信息系統(tǒng)項(xiàng)目管理。

倪 楓（1982-），男，博士，副教授。研究領(lǐng)域：系統(tǒng)科學(xué)，系統(tǒng)分析與集成。本文通信作者。

劉文誠（2000-），男，碩士生。研究領(lǐng)域：系統(tǒng)建模與仿真，大數(shù)據(jù)分析。

劉 姜（1983-），女，博士，副教授。研究領(lǐng)域：復(fù)雜系統(tǒng)理論與方法，符號代數(shù)計(jì)算。

陳年年（2003-），女，本科生。研究領(lǐng)域：管理科學(xué)與工程。

周興郡（2003-），女，本科生。研究領(lǐng)域：管理科學(xué)與工程。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12371508）;教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目（220603760210846）;上海市“大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃”資助項(xiàng)目（SH2022072）