摘 要：針對(duì)插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中存在機(jī)械振動(dòng)較大的問題，提出一類基于恒定加加速度的二維直線插補(bǔ)算法。在確定加加速度的前提下，將直線插補(bǔ)的運(yùn)動(dòng)過程分為7個(gè)不同的階段。利用運(yùn)動(dòng)學(xué)定律分析每個(gè)階段的加速度、速度和位移的表達(dá)式，獲取各運(yùn)動(dòng)階段的初始條件。在基于二維系統(tǒng)的位移要求確定二維同步關(guān)系的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了各階段算法的離散化，最終完成了基于PLC（可編程邏輯控制器）的算法設(shè)計(jì)。實(shí)測效果表明，該算法同步精度小于0.5%，運(yùn)行時(shí)間誤差小于1 s，運(yùn)行效果良好，滿足應(yīng)用場景的需求。

關(guān)鍵詞：二維同步;插補(bǔ);S7-200 Smart

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言（Introduction）

插補(bǔ)是指采用多項(xiàng)式對(duì)曲線進(jìn)行擬合，使被控部件實(shí)現(xiàn)期望運(yùn)動(dòng)軌跡的算法，常用于機(jī)床、機(jī)械手控制以及篆刻等場合。為便于數(shù)字化設(shè)備控制，通常將被擬合曲線進(jìn)行分段切分，然后對(duì)分段切分后的節(jié)點(diǎn)采用直線連接的方式實(shí)現(xiàn)曲線擬合。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡類型，插補(bǔ)算法主要有直線插補(bǔ)和曲線插補(bǔ)兩種類型。曲線插補(bǔ)主要通過對(duì)每一分段采用高階多項(xiàng)式替代直線的方法改進(jìn)擬合效果，例如利用逐點(diǎn)插補(bǔ)原理，對(duì)圓弧曲線進(jìn)行算法設(shè)計(jì)[1-2]，或采用線性優(yōu)化補(bǔ)償插補(bǔ)軌跡的誤差[3-5]。此類算法的優(yōu)點(diǎn)在于精度較高，但計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，通常應(yīng)用于實(shí)時(shí)性要求較低的場合。直線插補(bǔ)則根據(jù)曲線的變化率自適應(yīng)動(dòng)態(tài)調(diào)整周期，從而提高擬合精度[6]，或者利用空間幾何轉(zhuǎn)換手段，采用逐點(diǎn)比較和角度逼近或高斯函數(shù)采用直線插補(bǔ)算法[7-8]，或采用在多項(xiàng)式軌跡中插入時(shí)間點(diǎn)的綜合算法[9]。此類算法的實(shí)時(shí)性更高，但在運(yùn)動(dòng)中的加減速變化可能導(dǎo)致較強(qiáng)的機(jī)械振動(dòng)。

本文針對(duì)二維同步插補(bǔ)系統(tǒng)，以減少機(jī)械加減速時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)為目的，改變傳統(tǒng)以固定加速度為前提條件的運(yùn)動(dòng)模式，獲取了當(dāng)加加速度為定值條件下的插補(bǔ)系統(tǒng)分階段運(yùn)動(dòng)的加速度、速度和位移的表達(dá)式及邊界條件;同時(shí)，根據(jù)設(shè)定位移確定同步系數(shù)，在算法離散化后，實(shí)現(xiàn)了二維系統(tǒng)直線插補(bǔ)算法在S7-200 Smart系列PLC上的應(yīng)用，同步精度小于0.5%，運(yùn)行時(shí)間誤差小于1 s，數(shù)據(jù)效果表明算法效果良好，滿足應(yīng)用場景要求。

1 二維插補(bǔ)算法（Two-axis interpolation algorithm）

1.1 二維插補(bǔ)的基本概念

二維插補(bǔ)系統(tǒng)是被控操作點(diǎn)在二維平面上運(yùn)動(dòng)，因此需要在垂直的兩個(gè)方向分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡擬合。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用兩臺(tái)伺服驅(qū)動(dòng)器控制兩臺(tái)伺服電機(jī)，運(yùn)動(dòng)方向呈直角，分別為水平方向的x 軸和垂直方向的y 軸。以每個(gè)周期運(yùn)動(dòng)開始的位置為原點(diǎn)建立二維直角坐標(biāo)系，并且每隔一段固定的時(shí)間，將曲線分解成若干個(gè)有橫縱坐標(biāo)的點(diǎn)，直線擬合矢量圖如圖1所示。

已知單個(gè)周期內(nèi)二維位移值分別為Δx=xi-xi-1 和Δy=yi-yi-1，若結(jié)果為正，則表示電機(jī)正向運(yùn)動(dòng)，若結(jié)果為負(fù)，則表示電機(jī)反向運(yùn)動(dòng)，其絕對(duì)值代表運(yùn)動(dòng)的距離，用它除以伺服電機(jī)每接收一個(gè)脈沖帶動(dòng)設(shè)備移動(dòng)的距離，就可以知道應(yīng)該在該固定時(shí)間內(nèi)分別向這兩臺(tái)伺服電機(jī)發(fā)送的總脈沖數(shù)。

1.2 直線插補(bǔ)算法

根據(jù)運(yùn)動(dòng)曲線，系統(tǒng)具有如下運(yùn)動(dòng)方式：剛啟動(dòng)時(shí)，以某固定的加加速度使加速度增加至最大值;以最大加速度運(yùn)行一段時(shí)間后，再以同樣大小的加加速度使加速度減小至0，此時(shí)速度剛好到達(dá)最大值。當(dāng)接近目標(biāo)時(shí)，加速度以同樣的方式反向增大至最大值，維持一段時(shí)間后再減小至0，此時(shí)速度也剛好減為0，全程運(yùn)動(dòng)距離和設(shè)定距離相等，插補(bǔ)曲線示意圖如圖2所示，①～⑦分別代表運(yùn)動(dòng)中的7個(gè)加減速過程。

以下分析在每個(gè)階段的時(shí)間內(nèi)的速度和位移的運(yùn)動(dòng)方式，其中設(shè)實(shí)時(shí)加速度為a，實(shí)時(shí)速度為v，實(shí)時(shí)位移為s，系統(tǒng)允許的最大加速度為amax，最大速度為vmax，加加速度為β。

第一階段：該階段為加速度增加階段，該階段內(nèi)有a=βt，對(duì)其進(jìn)行積分，并已知v0=0，可得

（2）將v 和s=（s+v）T/2賦值給|Δx|和|Δy|中值較大的運(yùn)動(dòng)軸子程序的速度與位移變量，同時(shí)將vγ 和sγ 賦值給值較小的運(yùn)動(dòng)軸子程序的速度與位移變量。

（3）重復(fù)上述過程直至程序結(jié)束。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證（Experiment results）

為驗(yàn)證算法效果，將上述算法編制為S7-200 Smart PLC程序后，應(yīng)用于兩軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。同時(shí)，設(shè)定參數(shù)如下：最大加速度為1，加加速度為1，最大速度為1.5，采樣周期為0.05。通過設(shè)定不同的位移，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，最大相對(duì)誤差小于0.5%，誤差主要由浮點(diǎn)數(shù)四舍五入為雙整型脈沖值時(shí)的舍入誤差（正誤差）導(dǎo)致;實(shí)際時(shí)長均大于理想時(shí)長，主要由中斷調(diào)用和運(yùn)行時(shí)占用時(shí)間所致，上述數(shù)據(jù)均達(dá)到了應(yīng)用場景的工藝要求。

3 結(jié)論（Conclusion）

本文研究了一類基于固定加加速度的二維插補(bǔ)算法及其在S7-200 Smart上的應(yīng)用。首先在加加速度恒定的前提條件下，設(shè)計(jì)了二維直線插補(bǔ)方法，其次在對(duì)不同階段運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，獲取了運(yùn)動(dòng)公式及相應(yīng)的邊界條件，并通過離散化和增量化得到了可應(yīng)用于S7-200 Smart PLC的算法。實(shí)測效果表明，真實(shí)位移與理想位移的相對(duì)誤差均小于0.5%，運(yùn)行時(shí)間誤差均小于1 s，滿足應(yīng)用場景的運(yùn)行要求。該算法目前僅適用于直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，后續(xù)將進(jìn)一步研究可實(shí)現(xiàn)快速的曲線插補(bǔ)算法。

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作者簡介：

張益波（1978-），男，博士，副教授。研究領(lǐng)域：工業(yè)控制算法研究，軟件開發(fā)。

姚曉曉（1987-），男，本科，工程師。研究領(lǐng)域：機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，機(jī)電一體化。