摘 " 要：在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯思維，能夠使學(xué)生深刻地理解物理概念、規(guī)律的本質(zhì)及其內(nèi)在的聯(lián)系和物理學(xué)中的研究方法。角度運算在平拋運動、帶電粒子在圓周運動和光學(xué)題例中應(yīng)用時，教師可通過培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力，助力學(xué)生快速找出題中所給角度和所學(xué)模型中的角度關(guān)系;幫助學(xué)生建立建模意識，構(gòu)造與所學(xué)模型中相關(guān)的角度;讓學(xué)生樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的意識，積累常用的數(shù)學(xué)知識等方法有效地解決此類問題。

關(guān)鍵詞：高中物理;角度運算;思維方式

中圖分類號：G633.7 " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " "文章編號：1009-010X（2024）11-0057-03

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，學(xué)習(xí)猶如領(lǐng)略大自然的風(fēng)光，從橫向或縱向不同角度展開學(xué)習(xí)研究，常常也能得到“天生一個仙人洞，無限風(fēng)光在險峰”的感慨。

物理學(xué)習(xí)的最終目的不是簡單地做題、提高成績，而是讓物理走進(jìn)生活，為學(xué)生的終身發(fā)展打下基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)的過程可以提高學(xué)生提煉有用信息的能力，從原有知識中找到吻合信息建模的能力，分析推導(dǎo)排除錯誤信息得出正確結(jié)論的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和物理語言解決實際問題的能力等。教師在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯思維，能夠使學(xué)生深刻地理解物理概念、規(guī)律的本質(zhì)及其內(nèi)在的聯(lián)系，同時也能幫助學(xué)生深刻地理解物理學(xué)的研究方法。知識的橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系是訓(xùn)練學(xué)生常用的策略，本文旨在從縱向思維的角度出發(fā)，打破單元教學(xué)的桎梏，從速度偏轉(zhuǎn)角出發(fā)，淺談涉及角度問題時的解題策略。

力學(xué)中的平拋和圓周、電場中的拋物線、磁場中的圓弧、光學(xué)中的折線等圖形畫在紙上就是一幅幅漂亮的簡筆畫，而這在物理的天地里就是一個個角度的關(guān)系、一條條邊的聯(lián)系，邊角組合、自成方圓。然而在題目中出現(xiàn)角度的時候，學(xué)生常常找不到思考方向，無從下手。在不同的問題情境下，找出題中所給的角度與物理模型中的角度之間的關(guān)聯(lián)，是解決角度運算問題的關(guān)鍵。

一、平拋運動中角度運算的思路

在平拋運動模型中，學(xué)生能記住速度偏轉(zhuǎn)角和位移偏向角之間的關(guān)系是tanαv=2tanβs，但在解決平拋運動中涉及角度運算問題時，總是束手無策，沒有頭緒。究其原因是，試題往往不會直接給出速度偏轉(zhuǎn)角或位移偏向角。這時應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生看到題中平拋運動所給的角度，聯(lián)想這個角度和速度偏轉(zhuǎn)角或位移偏向角有沒有直接關(guān)系，然后進(jìn)一步分析突破。例如下題：

【例1】如圖所示，從傾角為θ的斜面上某點先后將同一小球以不同的初速度水平拋出，小球均落在斜面上，當(dāng)拋出的速度為v1時，小球到達(dá)斜面時速度方向與斜面的夾角為a1;當(dāng)拋出速度為v2時，小球到達(dá)斜面時速度方向與斜面的夾角為a2，則（ " ）

A.當(dāng)時v1gt;v2，a1gt;a2 "B.當(dāng)時v1gt;v2，a1a2

C.無論v1、v2關(guān)系如何，均有a1=a2

D.無論v1、v2關(guān)系如何，均有a1不等于a2

【答案】C

思路點撥：小球在傾角為θ斜面上做平拋運動，看到斜面傾角θ馬上聯(lián)想到這個角度和速度偏轉(zhuǎn)角或位移偏向角有沒有直接關(guān)系，通過位移分解圖，可直觀看出平拋運動的位移偏向角為θ，即小球只要落到斜面上，則位移偏向角相等。根據(jù)速度偏轉(zhuǎn)角和位移偏向角之間的關(guān)系是tanαv=2tanβs，可知速度偏轉(zhuǎn)角也相等。通過畫速度分解圖，直觀看出α是速度偏轉(zhuǎn)角和位移偏向角的差值。即無論v1、v2關(guān)系如何，均有α1=α2。故選C。

該解題思路可使學(xué)生做題時有章可循，思考時方向明確、條理清楚，訓(xùn)練時事半功倍。

二、帶電粒子在圓周運動中角度運算的思路

帶電粒子在磁場做勻速圓周運動的模型中，常涉及求算粒子運動最長時間的問題，學(xué)生能記住求時間的公式：t=T，其中θ為帶電粒子在磁場中運動軌跡所對應(yīng)的圓心角。學(xué)生也理解入射速度與弦的夾角為弦切角α，圓心角等于弦切角的2倍，即θ=2α。末速度與初速度之間的夾角為速度的偏轉(zhuǎn)角β，速度偏向角等于圓心角，θ=β。

在求解這類問題時，學(xué)生不容易直接求得最大圓心角，因為這常常需要構(gòu)造弦切角或速度偏向角，然后根據(jù)它們與圓心角的關(guān)系，求出最大圓心角，進(jìn)而求出最長時間。若學(xué)生構(gòu)建了這種思路，其解題難度就可以降低，做題速度得以提高。例如下題：

【例2】一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q（qgt;0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（ " ）

A. " B. " C. " D.

【答案】C

思路點撥：本題是考查求算帶電粒子在磁場中運動最長時間的問題，根據(jù)公式t=T，可知周期T容易求得且和速度無關(guān)，但是運動中的最長軌跡和所對的最大圓心角不容易分析出來，這時應(yīng)馬上轉(zhuǎn)換思路，分析速度偏向角和弦切角，求算最大值。畫圖可見，帶電粒子進(jìn)入磁場的入射點和射出磁場的出射點的連線，與磁場ab圓弧相切時，弦切角最大，在這種情況下帶電粒子在磁場中運動時間一定最長。由圖中幾何關(guān)系可知，最大的弦切角為amax=120°，此時軌跡對應(yīng)的最大圓心角為θmax=240°，則粒子在磁場中運動的最長時間為tmax=T=×=。故選C。

可見，在求解粒子運動的最長時間的問題中，構(gòu)造與圓心角相關(guān)的角度是解題的關(guān)鍵。

三、光學(xué)角度運算的思路

光學(xué)中有很多玻璃磚，三角形的、半圓形的、矩形的等形狀各異，光線在其中發(fā)生一系列的發(fā)射、折射或全反射，然后射出，形成一副唯美的畫卷，在這里也有很多角度的問題。

解決此類問題的思路是：應(yīng)用幾何知識來解決物理問題。學(xué)生往往容易把數(shù)學(xué)和物理分開來理解，所以一旦當(dāng)物理中用到了數(shù)學(xué)知識就蒙圈了，但如果把這些知識放到數(shù)學(xué)中，問題會迎刃而解。學(xué)生不是不會這類問題，而是沒有樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的意識。例如下題：

【例3】（2023年1月浙江省普通高校招生選考科目考試13題）如圖所示為一斜邊鍍銀的等腰直角棱鏡的截面圖。一細(xì)黃光束從直角邊AB以角度入射θ，依次經(jīng)AC和BC兩次反射，從直角邊AC出射。出射光線相對于入射光線偏轉(zhuǎn)了α角，則α（ " ）

A.等于90° "B.大于90°

C.小于90° "D.無法確定

【答案】A

設(shè)各角度如圖，在AB邊折射角為θ1，在AC邊入射光與AC夾角為θ2，在BC邊入射角為θ3，在AC邊入射角為θ4，由角度關(guān)系可以分析如下。

在圖中，速度偏轉(zhuǎn)角不易直接找到，但是入射光逆時針轉(zhuǎn)過（90°-θ）就與BA邊重合，出射光逆時針轉(zhuǎn)過（90°-α）就與CA邊重合，又θ=α，兩者逆時針轉(zhuǎn)過的角度一樣，又BA與CA垂直，故速度偏轉(zhuǎn)角為90°。故選A。

此題所求的角度比較復(fù)雜，在物理題中要用的數(shù)學(xué)知識較多，需要通過一定的推導(dǎo)才能求出結(jié)果，部分學(xué)生望而生畏，沒有進(jìn)行細(xì)致地分析就舉手投降了。但當(dāng)他明白可以用數(shù)學(xué)知識去解決后，就會敢于挑戰(zhàn)，樂于挑戰(zhàn)。

通過分析以上三道例題可以看出，要想很好地解決角度運算問題，首先，要有敏銳的觀察能力，能夠快速找到題中所給角度和所學(xué)模型中的角度關(guān)系。其次，要有建模意識，善于構(gòu)造與所學(xué)模型中相關(guān)的角度。第三，還要有應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的意識，多積累常用的數(shù)學(xué)知識。比如兩直線平行、同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ);比如三角形的內(nèi)角和是180°、四邊形的內(nèi)角和是360°;再比如一個角的兩個邊和另一個角的兩個邊垂直，則這兩個角相等或互補(bǔ)等。

【本文系石家莊市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度專項課題“‘雙減’背景下高中物理教材插圖在課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究”（課題編號：Z2023021）研究成果?！?/p>