陳禮弦

摘要：文章立足于初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，針對軌跡問題這一中考難點(diǎn)，利用“瓜豆原理”模型巧妙分析軌跡問題的求解思路，目的在于幫助初中數(shù)學(xué)教師及學(xué)生找到應(yīng)對軌跡問題的正確思路，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；軌跡問題；“瓜豆原理”模型

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0017-03

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，軌跡問題是教學(xué)的難點(diǎn)，也是核心素養(yǎng)重點(diǎn)考查對象.根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生弄清楚“瓜豆原理”模型，利用其分析軌跡問題，會(huì)收到事半功倍的效果.

“瓜豆原理”是一種數(shù)學(xué)問題的形象描述，即若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同.其中，主動(dòng)點(diǎn)叫作“瓜”，從動(dòng)點(diǎn)叫作“豆”.如果“瓜”在直線上運(yùn)動(dòng)，那么“豆”的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線；如果“瓜”在圓周上運(yùn)動(dòng)，那么“豆”的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.這種主從聯(lián)動(dòng)軌跡問題被稱為“瓜豆原理”或“瓜豆模型”，在某一個(gè)特殊位置，就是我們要解決的軌跡問題[1].

1 模型一動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)

這類問題的基本特點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線.其結(jié)論主要有兩個(gè)：一是主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)所在直線的夾角是一個(gè)定值；二是主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)軌跡長度之比值是一個(gè)定值.

1.1 模型分析

例1如圖1，G為線段EF一動(dòng)點(diǎn)，D為定點(diǎn)，連接DG，取DG中點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)G在EF運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡.

解析如圖2，線段IJ即為點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡，理由如下：連接DE，DF.因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)H在點(diǎn)I處，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F處時(shí)，點(diǎn)H在點(diǎn)J處，所以點(diǎn)I是DE的中點(diǎn)，點(diǎn)J是DF的中點(diǎn)，所以IJ∥EF，所以IJ=12EF， 所以IJEF=12，所以在運(yùn)動(dòng)過程中，主動(dòng)點(diǎn)G和從動(dòng)點(diǎn)H所在的直線DG和DH的夾角是0°（定值），主動(dòng)點(diǎn)G和從動(dòng)點(diǎn)H的軌跡長之比值是12（定值）.從而可知主動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡是線段，從動(dòng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡也是線段.

例2如圖3，△DEF是等腰直角三角形，∠EDF=90°且DE=DF，當(dāng)點(diǎn)E在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡.

解析如圖4，線段F′F″即為點(diǎn)F的軌跡. 取點(diǎn)F的起始位置F′和終點(diǎn)位置F″，連接即得點(diǎn)F軌跡為線段F′F″.因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)E和從動(dòng)點(diǎn)F所在直線DE和DF的夾角為90°，易證△MND≌△F′F″D，主動(dòng)點(diǎn)E和從動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長之比值等于MN∶F′F″=1，所以點(diǎn)E、F的軌跡是同一圖形.

1.2 模型應(yīng)用

例3如圖5，矩形DEFG中，DE=3，DG=4，點(diǎn)H在邊DG上且DH∶HG=1∶3.動(dòng)點(diǎn)I從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E停止.過點(diǎn)H作HK⊥HI交射線EF于點(diǎn)K，設(shè)J是線段HK的中點(diǎn).求在點(diǎn)I運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，點(diǎn)J運(yùn)動(dòng)的路徑的長.

解析如圖6，當(dāng)I與D重合時(shí)，點(diǎn)K與K′重合，此時(shí)點(diǎn)J在J′處，當(dāng)點(diǎn)I與E重合時(shí)，K與K″重合，點(diǎn)J在J″處，點(diǎn)J的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段J′J″.因?yàn)镈G=4，DH∶HG=1∶3，所以DH=1，HG=3.在Rt△DEH中，DH=1，DE=3，所以HE=DH2+DE2=1+9=10.因?yàn)镈G//EF，所以∠DHE=∠HEK″，又因?yàn)椤螪=∠EHK″=90°，所以△DHE～△HEK″，所以HEEK″=DHHE，所以EK″=10×10=10.又因?yàn)镋K′=DH=1，所以K′K″=EK″-EK′=9，所以J′J″=12K′K″=92，所以點(diǎn)J的運(yùn)動(dòng)路徑的長為92.

2 模型二動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)

這類問題的基本特點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.其結(jié)論主要有兩個(gè)：一是主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角是定值；二是主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比值等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比值.

2.1 模型分析

例4如圖7，F(xiàn)是⊙D上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為定點(diǎn)，連接EF，G為EF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在⊙D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡.

解析如圖8，⊙C是點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡.連接ED，取ED的中點(diǎn)C，連接CG，以C為圓心，CG為半徑作⊙C，所以點(diǎn)F在⊙D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G在⊙C上運(yùn)動(dòng).即⊙C是點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡.因?yàn)橹?、從?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角∠FEG等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角∠DEC，是定值0°.又因?yàn)橹?、從?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離FE、GE之比值等于兩圓心到定點(diǎn)的距離DE、CE之比值，也等于兩圓半徑DF、CG之比值，是定值.從而可知主動(dòng)點(diǎn)F在圓周上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.

例5如圖9，M是⊙D上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B為定點(diǎn)，連接BM，在BM的上方以BM為邊作等邊△BCM.當(dāng)點(diǎn)M在⊙D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡.

解析如圖10，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心的圓，理由如下：點(diǎn)C滿足∠MBC=60°，BM=BC，點(diǎn)C的圓心E滿足∠DBE=60°，BE=BD，且EC=DM，可確定圓E的位置，任意時(shí)刻均有△BMD≌△BCE，可以理解BE是由BD旋轉(zhuǎn)得到，故圓E是由圓D旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均與BM與MC的位置和數(shù)量關(guān)系有關(guān).

例6如圖11，F(xiàn)是⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，E為定點(diǎn)，連接EF，以EF為斜邊在EF上方作等腰直角三角形EFD.當(dāng)點(diǎn)F在⊙C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫點(diǎn)D的軌跡.

解析如圖12，點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)G為圓心，22CF長為半徑的圓.D點(diǎn)滿足∠FED=45°，EF：ED=2∶1，故D點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓.連接EC，構(gòu)造∠GEC=45°且EC∶EG=2∶1.G點(diǎn)即為D點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有△ECF∽△EGD.即可確定點(diǎn)D的軌跡圓.所以點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)G為圓心，22CF長為半徑的圓.

2.2 模型應(yīng)用

例7如圖13，⊙E的直徑BC=4，D為⊙E上的動(dòng)點(diǎn)，連接BD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在圓上運(yùn)動(dòng)一周，求點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長.

解析如圖14，因?yàn)橹?、從?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線DB、FB的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線EB、GB的夾角，且是0°，為定值，又因?yàn)橹鳌膭?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離DB、FB之比值等于兩圓心到定點(diǎn)的距離EB、GB之比值，也等于兩圓半徑EB、GB之比值，是定值12.所以是點(diǎn)D在⊙E上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.

如圖14，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E處，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B處，所以EB是這個(gè)圓的直徑，這個(gè)圓是⊙G.又因?yàn)锽C=4，所以EB=2，所以GB=1，所以r=1，所以⊙G的周長為2πr=2π，所以點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長是2π.

例8如圖15，F(xiàn)G=3，⊙F的半徑為1，E為⊙F上的動(dòng)點(diǎn)，連接EG，在EG上方作一個(gè)等邊三角形EGH，連接FH.求FH的最大值.

解析如圖16，以FG為邊在FG上方構(gòu)造等邊三角形△FGI，連接IH，以點(diǎn)I為圓心，IH為半徑作圓I.因?yàn)橹?、從?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線EG、HG的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線FG、IG的夾角，且是60°為定值.又因?yàn)橹?、從?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離EG、HG之比值等于兩圓心到定點(diǎn)的距離FG、IG之比值，也等于兩圓半徑FE、IH之比值，是定值1.因?yàn)椤螰GE=60°-∠EGI，∠IGH=60°-∠EGI，所以∠FGE=∠IGH.又因?yàn)镕G=IG，EG=HG，所以△FGE≌△IGH，所以IH=FE=1.從而可知點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是以點(diǎn)E為圓心、1為半徑的圓，當(dāng)F、I、H三點(diǎn)共線且H在FI的延長線上時(shí)，F(xiàn)H的最大值為FI+IH=3+1=4，此時(shí)點(diǎn)H在點(diǎn)H′處.

3 結(jié)束語

在解決軌跡問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是否屬于“瓜豆原理”.如果主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡屬于“瓜豆原理”，就可以利用主動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線或主動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓解決軌跡問題[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］ 熊長菊，張進(jìn).例談瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡最值問題的求解策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版）， 2022（6）：5-9.

[2] 丁羽.初三學(xué)生動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的解決障礙及教學(xué)對策研究[D].廣州：廣州大學(xué)，2022.

［責(zé)任編輯：李璟］