黃麗純 陳俊陽

摘? 要：從表達(dá)目標(biāo)、語言互譯、論證過程、表達(dá)細(xì)節(jié)四個角度，以高考試題為例，基于學(xué)生的解答情況分析其在數(shù)學(xué)表達(dá)中存在的問題，并給出轉(zhuǎn)化策略和具體建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)表達(dá)；數(shù)學(xué)書寫；書寫規(guī)范

中圖分類號：G633.6? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0025-05

引用格式：黃麗純，陳俊陽. 高中生數(shù)學(xué)表達(dá)中的問題及轉(zhuǎn)化策略：以2021—2023年高考全國卷的部分解答題為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（2）：25-28，34.

一、引言

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是多元表征符號系統(tǒng)的建構(gòu)，數(shù)學(xué)表達(dá)既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點也是終點. 國際知名數(shù)學(xué)語言研究專家路易絲·威爾金森教授認(rèn)為，學(xué)生在數(shù)學(xué)情境下給出正確的、合理的數(shù)學(xué)表達(dá)是一項非常重要的能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界是學(xué)生所應(yīng)具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一. 具體地，數(shù)學(xué)表達(dá)既包括表達(dá)和聆聽，也包括閱讀、解決問題和呈現(xiàn)答案，是學(xué)生面臨一定的問題情境時，通過分析、思考，在所面臨的情境中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)的語言描述的過程. 主要的數(shù)學(xué)表達(dá)方式有讀數(shù)學(xué)、說數(shù)學(xué)、寫數(shù)學(xué)和畫數(shù)學(xué).

從近幾年的高考試題來看，解答題的問題設(shè)置越來越靈活，試題的創(chuàng)新性和多樣化對學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力提出了更高要求. 學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)中常存在“有思路但是寫不出來”“會寫但是寫得不正確”等問題，具體包括對基本概念的理解不透徹導(dǎo)致論證目標(biāo)不夠明確、用圖形直觀感知代替嚴(yán)謹(jǐn)論證、顛倒條件與結(jié)論導(dǎo)致循環(huán)論證、用特殊代替一般進(jìn)行論證等問題. 究其本質(zhì)，學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)中能否達(dá)到規(guī)范性、邏輯性、簡潔性、正確性等要求與其數(shù)學(xué)思維的深度和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平緊密相關(guān)，需要引起教師重視.

對此，針對“寫數(shù)學(xué)”，本文以2021—2023年全國新高考數(shù)學(xué)試卷中的部分解答題為例，依據(jù)學(xué)生讀題、做題、寫題的過程，從表達(dá)目標(biāo)、語言互譯、論證過程、表達(dá)細(xì)節(jié)四個角度，分析學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)中存在的問題，并給出轉(zhuǎn)化策略和具體建議，以期為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力提供參考.

二、案例分析

1. 理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，明確數(shù)學(xué)表達(dá)目標(biāo)

對解題目標(biāo)的理解與表達(dá)對問題解決起到了重要作用. 學(xué)生解題失敗往往源于無法正確理解和表達(dá)解題目標(biāo)，即無法厘清題目的已知條件與預(yù)期結(jié)果之間的

聯(lián)系，不能夠從題目的設(shè)問中挖掘其考查的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，這與學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解程度有著密切關(guān)系.

例1 （2022年全國新高考Ⅱ卷·17）已知[an]為等差數(shù)列，[bn]為公比為2的等比數(shù)列，且[a2-b2=][a3-b3=b4-a4].

（1）證明：[a1=b1]；

（2）求集合[A=kbk=am+a1，1≤ m≤ 500]中元素的個數(shù).

此題考查的主干知識為等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，其中第（2）小題的設(shè)問考查學(xué)生能否真正理解集合描述法的本質(zhì). 集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，合理使用集合的語言和工具能夠簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象及研究范圍，在高等數(shù)學(xué)中更有重要的地位. 具體而言，部分學(xué)生能將[bk=am+a1]等價轉(zhuǎn)化為[2k-2=m]，但對[k，m]的地位與關(guān)系理解不夠清晰，導(dǎo)致無法進(jìn)一步解決問題.

事實上，從集合描述法的本質(zhì)上看，雖然式中含有多個變量[k，m]，但是只要學(xué)生準(zhǔn)確理解了[A]為所有具有共同特征“[bk=am+a1，1≤ m≤ 500]”的元素[k]所組成的集合，從而將求解目標(biāo)鎖定為利用元素[k]的共同特征得到關(guān)于[k]的不等關(guān)系式，便能快速求解出集合[A]中元素的個數(shù)，即由[m∈1，500]，得[2k-2=m∈][1，500]，從而[A=k∈Z2≤ k≤ 10]，故集合[A]中的元素個數(shù)為9 個.

總體來說，明確表達(dá)目標(biāo)需要準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì). 因此，教師在概念教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生充分經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表征數(shù)學(xué)概念的過程，并通過豐富的例子對概念進(jìn)行充分認(rèn)識和理解，在認(rèn)知層次上實現(xiàn)從“識記”到“理解”的轉(zhuǎn)變，避免“快講多練”的概念教學(xué)誤區(qū).

2. 重視數(shù)學(xué)語言的互譯，嚴(yán)謹(jǐn)論證數(shù)學(xué)結(jié)論

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，分為文字語言、圖形語言和符號語言. 其中，文字語言的表達(dá)往往缺乏簡潔性，而圖形語言雖然為理解代數(shù)問題提供了幾何直觀，有助于探尋問題解決的方向與結(jié)論，但是在邏輯推理中缺乏思維嚴(yán)謹(jǐn)性，無法取代代數(shù)運算的合理過程.

例2 （2022年全國新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)[fx=ex-ax]和[gx=ax-lnx]有相同的最小值.

（1）求a；

（2）證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

此題第（1）小題較為基礎(chǔ)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論即可求得結(jié)果. 第（2）小題考查的主干知識為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，從幾何角度看是曲線交點問題，從代數(shù)角度看是函數(shù)的零點問題. 在解答此題時，部分學(xué)生畫出函數(shù)圖象，利用“由圖可得”等字眼直接“證明”結(jié)論，缺乏思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 事實上，可以從兩個幾何直觀視角來思考此題，但均需要將其轉(zhuǎn)化為符號語言來解決.

視角1：可以由[fx，gx]的單調(diào)性及端點值畫出[y=fx]和[y=gx]的圖象（如圖1），并從直觀上觀察到當(dāng)直線[y=b]過曲線[y=fx]與[y=gx]的交點時，直線[y=b]與曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點，但是幾何直觀缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，需要從代數(shù)運算的角度進(jìn)行論證：通過分析[fx，gx]的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間端點值，證明當(dāng)[b>1]時，直線[y=b]與曲線[y=fx]和[y=gx]均有兩個交點；通過構(gòu)造函數(shù)[Fx=fx-][gx]，證明[Fx]在[0，+∞]上有唯一零點[x0]，從而當(dāng)[b=x0]時，三個交點得證. 對于三個交點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，從圖象中觀察到兩個正方形，即猜想公差為[b]，但是需要將合情推理轉(zhuǎn)化為演繹推理. 具體而言，即設(shè)[x1=x0-n]，[x2=x0+m]，分別將其代入[fx=b]，[gx=b]，解得[n=m=b].

[圖1]

視角2：令[fx=gx=b]，可以將問題轉(zhuǎn)化為直線[y=x+b]與曲線[y=ex]的交點及直線[y=x-b]與曲線[y=lnx]的交點問題（如圖2）. 觀察圖2，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)[xB=xC]時，直線[y=b]與曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點；由反函數(shù)的對稱性可知四邊形[ABDC]為矩形，故點[A，][D]到[BC]的距離相等，即[x0-x1=x2-]

[x0]，從而原命題得證. 雖然其從幾何直觀的視角揭示了此題優(yōu)美的幾何背景，但是仍然需要從代數(shù)運算的視角將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，具體分為四步：結(jié)合[y=ex]，[y=lnx]的凹凸性，證明當(dāng)[b>1]時，[y=x+b，][y=x-b]分別與[y=ex，y=lnx]有兩個不同的交點；通過構(gòu)造函數(shù)[Fx=fx-gx]，證明[Fx]在[0，+∞]上有唯一零點[x0]，從而得到[?b>1]，使得[BC⊥Ox]；利用反函數(shù)的特征，證明互為反函數(shù)的圖象對應(yīng)的交點也關(guān)于[y=x]對稱，從而得到四邊形[ABDC]為矩形；最后利用矩形的性質(zhì)證得原命題.

[C][A][圖2]

總而言之，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生理解不同數(shù)學(xué)語言的特點，重視數(shù)學(xué)語言之間的互譯，避免過度依賴幾何直觀進(jìn)行推理，并引導(dǎo)學(xué)生將幾何直觀轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算，進(jìn)而嚴(yán)謹(jǐn)論證數(shù)學(xué)結(jié)論.

3. 規(guī)范數(shù)學(xué)證明的表述，準(zhǔn)確表達(dá)論證過程

近年來，高考越來越關(guān)注對邏輯推理素養(yǎng)的考查，在試題的設(shè)置中出現(xiàn)了越來越多的數(shù)學(xué)證明問題，對學(xué)生的演繹推理能力要求較高. 學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)證明時，往往會出現(xiàn)把待證結(jié)論當(dāng)作已知條件、混淆分析法和綜合法、循環(huán)論證等邏輯錯誤，數(shù)學(xué)證明能力較弱.

例3 （2022年全國新高考Ⅰ卷·20）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100例（稱為對照組），得到如表1所示的數(shù)據(jù).

表1

[ 不夠良好 良好 病例組 40 60 對照組 10 90 ]

（1）略；

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”. [PB APB A]與[PB APB A]的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為[R].

① 證明：[R=PA BPA B ? PA BPA B]；

② 略.

此題的第（2）小題第②問考查條件概率的公式. 部分學(xué)生將[R]用定義表示出來后，直接令其等于待證結(jié)論，推出一個真命題，即[R=PBAPBA÷PBAPBA=PABPAB ?][PA BPA B ①.] 化簡，得[PABPAPABPA ? PABPAPABPA=PABPBPABPB ? PABPBPABPB ②.]從而[PABPAB ? PABPAB=PABPAB ? PABPAB ③，] 故原命題得證.

事實上，這類把結(jié)論當(dāng)作條件的證明錯誤在學(xué)生日常學(xué)習(xí)和解題中屢見不鮮，要準(zhǔn)確表達(dá)論證過程，可以通過分析法的方式書寫：即要證①，只需證明②，即證明③，由分析法知原命題得證.

又如，對于例 2 第（2）小題的求解，部分學(xué)生猜想出公差為[b]，便設(shè)[x1=x0-b]，[x2=x0+b]，以此作為條件進(jìn)行推理，最后證得[x1，x0，x2]成等差數(shù)列. 屬于循環(huán)論證的邏輯錯誤. 實際上，可以設(shè)[x1=x0-n]，[x2=x0+m]，證明[m=n=b]；或通過證明[fx0-b=fx1]，[gx0+b=]

[gx2]得到[x1=x0-b]，[x2=x0+b]，便能準(zhǔn)確表達(dá)論證過程.

數(shù)學(xué)證明對于學(xué)生的理性精神和邏輯思維能力的發(fā)展及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身都是不可或缺的. 在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該重視數(shù)學(xué)證明，以揭示合情推理和演繹推理的聯(lián)系與區(qū)別，滲透綜合法、分析法、反證法等證明方法. 此外，還應(yīng)該關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)證明的表達(dá)過程，對學(xué)生出現(xiàn)的邏輯錯誤應(yīng)予以引導(dǎo)，并將其轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確的表達(dá)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)證明能力和邏輯推理素養(yǎng).

4. 注意數(shù)學(xué)推理的邏輯，完善數(shù)學(xué)表達(dá)細(xì)節(jié)

數(shù)學(xué)育人的基本途徑是對學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的邏輯思維訓(xùn)練，其中一個重要目的便是使學(xué)生在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性上達(dá)到較高水準(zhǔn). 然而，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的過程中，往往容易忽視概念、定理本身的基本要素及其限定條件，缺少對研究問題的全面分類，或是思維跳躍、省略必要的運算過程等，從細(xì)節(jié)上表現(xiàn)出數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性不足.

（1）對概念定理的認(rèn)識要準(zhǔn)確.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，每個概念、定理都有其所附帶的基本要素或條件. 例如，函數(shù)的概念包含定義域、對應(yīng)法則、值域三要素，空間直角坐標(biāo)系的建立取決于空間中三條互相垂直的射線，線面平行的判定包含線線平行、一條線在平面外、另一條線在平面內(nèi)三個條件，應(yīng)用零點存在定理的前提條件是函數(shù)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，等等. 相對應(yīng)地，在使用概念、定理論述解答過程時，應(yīng)該首先厘清概念的定義，以及性質(zhì)、定理成立的條件與結(jié)論. 例如，在2021年全國新高考Ⅰ卷第20題中，部分學(xué)生憑借主觀經(jīng)驗，想當(dāng)然地以[O]為原點，[OA，OB，OC]為軸建系求解. 然而，此題中[OA，OB，OC]并不滿足兩兩垂直的前提條件，這反映出學(xué)生對空間直角坐標(biāo)系這一概念的認(rèn)識不夠準(zhǔn)確，建系出錯導(dǎo)致表達(dá)出錯. 又如，在2023年全國新高考Ⅰ卷第18題中，部分學(xué)生面對空間四邊形[A2B2C2D2]時，在未證明[A2，B2，C2，D2]四點共面的前提下，直接使用了平行四邊形的判定定理，由[A2B2=C2D2]，[A2D2=B2C2]推出四邊形[A2B2C2D2]為平行四邊形，進(jìn)而得到[B2C2∥A2D2]，這反映出學(xué)生對平面幾何與立體幾何間的區(qū)別與聯(lián)系的認(rèn)識較為模糊，不能夠明晰其中的基本事實和判定定理成立的前提條件，以至于論證出現(xiàn)邏輯性錯誤. 再如，在2023年全國新高考Ⅰ卷第22題第（1）小題中，部分學(xué)生在翻譯“點[P]到[x]軸的距離”時，忽略了“距離”應(yīng)該非負(fù)的性質(zhì)，將[y]寫為[y]，這反映出學(xué)生對概念的性質(zhì)理解不夠準(zhǔn)確.

（2）對研究問題的分類要全面.

分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，不重不漏是進(jìn)行分類討論需要遵循的基本原則. 除了因不同解決問題方法的需要所采取的主動分類，研究對象本身所包含的分類更容易被學(xué)生在表達(dá)過程中所忽略. 例如，在理論研究和實際應(yīng)用中，由于人們常用正整數(shù)表示事物發(fā)展過程的先后順序，于是，當(dāng)求解數(shù)列和遞推關(guān)系相關(guān)的問題時，若下標(biāo)含有[n-1]，則需要針對[n≥ 2]和[n=1]兩種情況進(jìn)行討論及驗證. 再如，由于在平面直角坐標(biāo)系中，與[x]軸垂直的直線斜率不存在，于是，當(dāng)采用點斜式的方法來設(shè)直線方程時，需要先將斜率不存在的直線作為特殊情況來考慮，再對斜率存在的直線進(jìn)行計算求解. 此外，學(xué)生對含參函數(shù)中參數(shù)的分類討論也容易出現(xiàn)遺漏，如對于2023年全國新高考Ⅰ卷第19題第（1）小題，部分學(xué)生對參數(shù)的認(rèn)識不夠全面. 一種情況是忽略對數(shù)[lna]的隱含限制條件[a>0]，在求導(dǎo)后令[fx=aex-1=0]，直接得[x=-lna]；另一種情況是僅關(guān)注[a>0]與[a<0]，容易忽略分界點[a=0]的情況.

（3）對關(guān)鍵步驟的論述要詳盡.

從學(xué)生的解題過程可以看出，學(xué)生存在習(xí)慣省略步驟、不習(xí)慣作圖等問題，影響了解答的規(guī)范性和完整性. 事實上，學(xué)生在書寫解答過程時跳步，反映出的是學(xué)生的推理邏輯不連貫，以及對知識點間的聯(lián)系理解不深刻等問題. 例如，對于2022年全國新高考Ⅰ卷第18題第（1）小題，學(xué)生對三角函數(shù)關(guān)系式[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]的化簡過程跳步嚴(yán)重，未體現(xiàn)出關(guān)鍵的倍角公式及余弦和差化積公式，省略了必要的化簡運算步驟，導(dǎo)致解答過程不完整. 再如，對于2023年全國新高考Ⅰ卷第19題第（2）小題，部分學(xué)生在將結(jié)論等價轉(zhuǎn)化為證明[ga=a2-12-lna>0][a>0]后，直接令[ga=0]解得[a=22]，缺少對函數(shù)單調(diào)性的論述，直接默認(rèn)[ga]的最小值為[g22]，反映出學(xué)生對求導(dǎo)的作用及意義理解不透徹.

總而言之，數(shù)學(xué)表達(dá)的細(xì)節(jié)同樣需要引起重視. 具體到課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該注意系統(tǒng)地引導(dǎo)學(xué)生建立關(guān)于數(shù)學(xué)研究對象的知識體系，幫助學(xué)生更加完整地認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，包括其基本要素、限定條件、分類原因等. 與此同時，教師應(yīng)該重視板書示范，避免在教學(xué)中使用簡寫或者自創(chuàng)的符號，應(yīng)該以規(guī)范的板書展示為學(xué)生樹立數(shù)學(xué)表達(dá)“榜樣”. 此外，除了由教師來檢查和指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)外，還可以選取合適的學(xué)生代表負(fù)責(zé)對小組成員的數(shù)學(xué)表達(dá)進(jìn)行檢查和指導(dǎo)，以此促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)交流水平.

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)表達(dá)在教師的教和學(xué)生的學(xué)中都至關(guān)重要. 良好的數(shù)學(xué)表達(dá)既是教師專業(yè)發(fā)展必備技能的體現(xiàn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn). 本文以高考試題為例，定性分析了學(xué)生在解題的不同階段所存在的數(shù)學(xué)表達(dá)問題，并對應(yīng)給出了基于數(shù)學(xué)表達(dá)的教學(xué)策略及建議. 此外，如何定量地評價學(xué)生在問題解決過程中的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，也是值得后續(xù)進(jìn)一步研究與實踐的問題.

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