章權(quán)兵 張華永 任愛娣

［摘 要］ 課程思政是全面提升人才培養(yǎng)質(zhì)量、落實立德樹人根本任務(wù)的重要途徑。對電子類專業(yè)的專業(yè)課程“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”的思想政治教學進行了探索，并選取課程中的復(fù)變函數(shù)的積分、傅里葉變換、定解問題等主要教學內(nèi)容，通過對教學內(nèi)容的剖析，挖掘知識點中所蘊含的科學元素和思政元素，將思想政治教育融入知識傳授中。在激發(fā)學生學習興趣、培養(yǎng)其學習主動性的同時，幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，以達到教書育人的目的。

［關(guān)鍵詞］ 課程思政；復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程；復(fù)變函數(shù)的積分；傅里葉變換；定解問題

［中圖分類號］ G642.3［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）08-0089-04

引言

立德樹人是中國教育的根本任務(wù)和時代使命，為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，必須通過教育立德樹人。黨的二十大報告強調(diào)：“全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人?！保?］立德樹人在教學中的重要地位更加凸顯。

課程思政是落實立德樹人根本任務(wù)、全面提升人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要途徑。課程思政不是增開一門課，也不是增設(shè)一項活動，而是一種教育理念、一種教育活動［2］，是培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人的現(xiàn)實需要，也是保障“三全育人”實現(xiàn)的必然選擇［3］。高校要實現(xiàn)立德樹人根本目標，不能僅靠思想政治理論課，必須加強課程思政建設(shè)，要在專業(yè)課程教學中進行思想政治教育，使專業(yè)課程與思政課程同向同行，在完成知識傳授的同時，發(fā)揮育人功能［4］。2020年，教育部在印發(fā)的《高等學校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》中明確指出，“全面推進課程思政建設(shè)是落實立德樹人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措”［5］。落實立德樹人根本任務(wù)，對教師隊伍的建設(shè)提出了更高的要求；推進高校課程思政建設(shè)，發(fā)揮好課程教學的育人作用，是每位教師須要承擔的重要使命和責任［6］。

一、“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程思政的必要性

“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”是安徽大學電子、通信等理工科專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，主要包含復(fù)變函數(shù)、積分變換、典型常微分方程和偏微分方程的求解及其解的性質(zhì)等內(nèi)容，這些都為學生后續(xù)專業(yè)課程學習提供了必要的數(shù)學基礎(chǔ)［7-8］。由于該課程基本概念抽象、理論性強、涉及的知識點多且相互之間的關(guān)聯(lián)度大，因此學生普遍感到學習難度較大。如果學生沒有理解清楚前面的知識點，那么后續(xù)內(nèi)容就會很難聽懂，并且問題越積越多，最后易放棄學習。傳統(tǒng)的教學方式很難激發(fā)學生的學習興趣，并且重在基本理論和公式推導(dǎo)，缺乏科學精神的培養(yǎng)和科學方法的引導(dǎo)［9］。

事實上，“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程蘊含著豐富的思政元素，并分布于各個章節(jié)的細微之處。如何結(jié)合專業(yè)特點和課程內(nèi)容，深入挖掘課程中的科學元素和思政元素，使思想政治教育融入知識傳授中，在吸引學生的注意力，激發(fā)其學習興趣、培養(yǎng)其學習主動性的同時，做到潤物無聲地對學生進行思想價值引領(lǐng)，幫助他們樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，是須要思考和解決的重要問題［10］。

二、課程思政教學實踐

課程思政不是空談，要依附于教學內(nèi)容［11］。本文結(jié)合筆者多年的課堂教學經(jīng)驗，以復(fù)變函數(shù)的積分、傅里葉變換和定解問題等教學內(nèi)容為例，挖掘了“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程的思政元素，對該課程的思想政治教學進行了探索并提供了材料支撐。

（一）復(fù)變函數(shù)的積分

“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程的一個重要內(nèi)容是復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論，它在電學、流體力學和航空力學等方面具有廣泛的應(yīng)用，而復(fù)變函數(shù)的積分是其中的重點和難點之一。

復(fù)變函數(shù)的積分與高等數(shù)學中第二型曲線積分有很多相同或相似之處。例如，它們的定義在形式和內(nèi)容上是一致的，并且具有大量相同的運算性質(zhì)。與第二型曲線積分一樣，復(fù)變函數(shù)的積分包含沿曲線的分割、近似、求和、取極限等步驟，其中蘊含了豐富的哲學思想。分割、近似使每一段弧長都趨于零，是一個化整為零的過程；而求和、取極限是一個合零為整的過程。實際上，再復(fù)雜的問題都可分割為一系列簡單的小問題，將這些小問題逐個解決后再尋求總體突破，復(fù)雜問題自然就迎刃而解了。人生的大目標也是由一個個小目標組合而成的，只有循序漸進，突破一個個小目標，才能最終實現(xiàn)自己的夢想，正所謂“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！薄＃ā盾髯印ぁ秳駥W》）借此引導(dǎo)學生明白學習是一個不斷積累的過程，必須腳踏實地、努力進取并持之以恒，才能實現(xiàn)從量變到質(zhì)變的根本改變。

復(fù)變函數(shù)的積分還有一些重要性質(zhì)，例如：可以像計算一元實函數(shù)定積分一樣應(yīng)用著名的牛頓-萊布尼茨公式。盡管復(fù)變函數(shù)的積分對函數(shù)的要求要遠高于實函數(shù)的積分，但復(fù)變函數(shù)的積分并不涉及一元實函數(shù)積分的中值定理。在教學過程中，我們要引導(dǎo)學生將這兩種積分進行對比研究，指出它們之間的異同之處，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，使學生在理解復(fù)變函數(shù)積分相關(guān)知識的同時，掌握基本的科學探索方法。此外，要充分研究復(fù)變函數(shù)的積分與實函數(shù)定積分的相似性質(zhì)，以及它們之間的緊密聯(lián)系。例如，利用計算第二型曲線積分的參數(shù)法可方便地得到計算復(fù)變函數(shù)積分的參數(shù)法，進而將復(fù)變函數(shù)積分的計算轉(zhuǎn)化為一元實函數(shù)定積分的計算，從而為復(fù)積分的計算提供一種有效方法；反過來，實函數(shù)中某些比較復(fù)雜，甚至難以計算的定積分和反常積分，可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，并可利用留數(shù)定理等輕松解決。這告訴我們，在某種理論框架下無法解決或難以解決的問題，放在一個新的理論框架下可能會變得非常簡單。借此激勵學生努力學習，不斷拓寬知識面。社會在發(fā)展，科學在進步，要想跟上社會發(fā)展的節(jié)奏，必須不斷求索新知，樹立終身學習的理念。

（二）傅里葉變換

傅里葉變換將滿足一定條件的函數(shù)表示成三角函數(shù)的線性組合或積分，從而為將信號分析由時域轉(zhuǎn)換到頻域提供了理論依據(jù)。作為數(shù)學理論中非常重要的工具，其在信息科學和物理化學等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

從時域角度來分析，信號是隨時間動態(tài)變化的函數(shù)，自變量是時間。比如一首優(yōu)美的樂曲，人們能夠感受到它的旋律是隨時間變化的。然而，樂曲中不同的音符實質(zhì)上表示的是不同頻率的聲音。從頻域角度來研究信號，將時間變量換成了頻率變量，揭示了隨時間動態(tài)變化的信號其內(nèi)在的頻率特性，使得在時域中難以解決的問題，往往在頻域中得以簡化。對于同一個信號，分別從頻域和時域進行分析，就是從不同的角度來看待問題，并能得到不同的結(jié)果，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”。（蘇軾·《題西林壁》）這也告訴我們，對于同一事物，觀察的立足點和角度不同，就會有不同的認識，得到不同的結(jié)論。借此啟發(fā)學生，在面對復(fù)雜工程問題時，若只拘于一種思考，往往無法抓住問題的核心和本質(zhì)；而換個角度思考，可能會“柳暗花明又一村”。要認清事物的本質(zhì)，就必須從多角度觀察，多維度思考。

進一步來看，一個三角函數(shù)表示信號的能力非常有限，只能表示一個固定振幅和頻率的簡諧振動，但多個不同頻率三角函數(shù)的線性疊加可以表示更加復(fù)雜的函數(shù)，從而解決更加復(fù)雜的問題。這也類似于個人與集體的關(guān)系，個人的力量總是有限的，但集體的力量卻是無窮的，團隊合作所取得的成果往往能超過成員個人的總和。每個人都要融入集體，才能充分發(fā)揮個人的作用；而集體要發(fā)揮出團隊真正的力量，就必須團結(jié)，正所謂“協(xié)力山成玉，同心土變金”，沒有團結(jié)精神的團隊將是一盤散沙。借此引導(dǎo)學生思考個體與整體、個人與集體的關(guān)系，培養(yǎng)學生的團隊合作精神，激勵學生為全面建成社會主義現(xiàn)代化強國、實現(xiàn)第二個百年奮斗目標，以中國式現(xiàn)代化全面推進中華民族偉大復(fù)興而奮斗。

傅里葉變換在信號處理等很多領(lǐng)域有著無可替代的重要性，但其正式發(fā)表卻是一個非常曲折的過程。1807年，傅里葉在關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文中提出了傅里葉變換，但遭到拉格朗日的反對而未發(fā)表；此后經(jīng)過不斷的補充完善，并于1811年再次提交，但仍未被正式發(fā)表。盡管如此，傅里葉并未放棄，于1822年出版了專著《熱的解析理論》，其創(chuàng)立的包括傅里葉變換在內(nèi)的理論對后來的數(shù)學、物理等科學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。借此，教師可以激勵學生學習傅里葉勇于創(chuàng)新的科學精神和堅持不懈、追求真理的優(yōu)秀品質(zhì)。同時，要讓學生明白，按照當時的理論水平，傅里葉的研究成果確實存在爭議，拉格朗日拒絕其論文發(fā)表正是嚴謹求實的科學精神的最好體現(xiàn)。

（三）定解問題

定解問題的建立是“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”中一個基本且重要的問題。定解問題建立的合適與否，直接決定著能否從中得到物理意義明確且符合客觀實際的解。定解問題包括數(shù)理方程本身（泛定方程）和定解條件（初始條件、邊界條件等）。在定解問題的建立過程中體現(xiàn)了馬克思主義辯證法，需要我們辯證思考。在教學中體現(xiàn)辯證法思想，既可以使學生加深對定解問題的認識和理解，又可以引導(dǎo)學生掌握分析和解決問題的正確方法，是培養(yǎng)積極、科學的探索精神的生動實踐。

首先，在定解問題建立過程中推導(dǎo)出的泛定方程，反映了所研究的物理過程和現(xiàn)象的矛盾運動。例如：均勻弦的微小橫向自由振動方程反映了弦自身張力和橫向運動的矛盾統(tǒng)一；熱傳導(dǎo)方程反映了熱量的傳導(dǎo)和吸收的矛盾統(tǒng)一；泊松方程反映了電荷分布與其產(chǎn)生的靜電場之間的矛盾統(tǒng)一。這些例子正是矛盾普遍存在、矛盾推動事物發(fā)展等辯證法思想的生動體現(xiàn)。在推導(dǎo)泛定方程的具體過程中，引導(dǎo)學生理解矛盾運動是有規(guī)律的，而規(guī)律是可以被認識的，培養(yǎng)學生堅持真理、追求真知的理想和信念。

其次，定解問題是矛盾普遍性和特殊性的統(tǒng)一體，泛定方程是對一類物理過程共性的一種描述，而具體到每一個物理過程又有其特殊性，這體現(xiàn)在定解條件中，具體問題要具體分析。例如，在均勻弦的微小橫振動問題中，泛定方程描述了弦振動的橫向位移所遵循的普遍規(guī)律，而之所以有不同的弦振動現(xiàn)象則源于不同的定解條件，只有把泛定方程和定解條件放在一起看作一個完整的定解問題，才能對具體的弦振動問題給出正確的求解和解釋。借此，教師要引導(dǎo)學生堅持矛盾普遍性和特殊性相統(tǒng)一的觀點，認識世界是豐富多彩的，我們既要樹立獻身科學、探求真理的遠大抱負，又要有腳踏實地、實事求是的學習和工作態(tài)度。

最后，我們在研究一個物理過程時不能孤立地進行研究，必須考慮周圍環(huán)境對它的影響。例如，在均勻弦的微小橫向受迫振動方程中，自由項是由于弦受到外力作用而引入的，反映了外在因素和弦振動問題的聯(lián)系。定界條件中不同的邊界條件也充分體現(xiàn)了外界環(huán)境對弦振動的不同影響。這些外在的影響因素在很大程度上決定了弦的振動方式，所以研究弦振動問題需充分考慮其與外界的廣泛聯(lián)系。在定解問題的教學中堅持普遍聯(lián)系的觀點，引導(dǎo)學生在進行科學研究時既要掌握扎實的專業(yè)知識，又要廣泛學習其他相關(guān)領(lǐng)域知識，具有寬廣的知識面。

結(jié)語

立德樹人是教育之本，課程思政是落實立德樹人根本任務(wù)的重要途徑。“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”是電子、通信等理工科專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，如何在課程教學中將知識傳授與價值引領(lǐng)相結(jié)合，踐行課程思政理念，實現(xiàn)協(xié)同育人目標，具有重要意義。

本文對“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程思政教學進行了探索，并選取了幾個典型的教學內(nèi)容，挖掘了知識點中蘊含的科學元素和思政元素，使思想政治教育融入知識傳授中。從教學效果來看，這種方式有效提升了學生的學習興趣，培養(yǎng)了學生的科學思維能力，并對學生世界觀、人生觀、價值觀的正確樹立起到了很好的引導(dǎo)作用。

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Exploration of Curriculum Ideology and Politics in the Course of Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics

ZHANG Quan-bing， ZHANG Hua-yong， REN Ai-di

（School of Electronic and Information Engineering， Anhui University， Hefei， Anhui 230601， China）

Abstract： Curriculum ideology and politics provides an important way to comprehensively improve the quality of talent training and implement the fundamental task of moral education. This paper explores the ideological and political teaching of the specialized course Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics of electronics specialties， and selects several major teaching contents， including integral of complex variable function， fourier transform and definite solution problem. Through the analysis of the teaching content， the scientific elements and ideological and political elements contained in these knowledge points are excavated， so that ideological education can be integrated into knowledge teaching. It can not only stimulate students interest in studying and cultivate their learning initiative， but also help them to establish correct outlook on life， values and world， so as to achieve the purpose of cultivating talents.

Key words： curriculum ideology and politics; complex variables function and equations of mathematical physics; integral of complex variable function; fourier transform; definite solution problem