趙 翠

(山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)汶源學(xué)校,山東 濟(jì)南 271100)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一蹴而就的,而是知識的吸收與再組織的過程,如果學(xué)生無法將學(xué)過的知識聯(lián)系起來,那么這些知識在腦海中就是一盤散沙,無法學(xué)以致用.教材中知識的排版順序雖然能夠幫助學(xué)生快速掌握知識要點(diǎn),卻不利于學(xué)生站在宏觀角度思考知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)[1].因此,初中數(shù)學(xué)教師需要基于知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元教學(xué),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時做到“瞻前顧后”,將單元內(nèi)細(xì)碎的知識要點(diǎn)串聯(lián)起來,最終匯總為系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)圖.

1 “平面直角坐標(biāo)系”單元設(shè)計(jì)

要想帶領(lǐng)學(xué)生透徹理解平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)涵,首先需要了解平面直角坐標(biāo)系是由什么構(gòu)成的.教材中指出,平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直的數(shù)軸組成,且這兩條數(shù)軸在原點(diǎn)處重合.因此,平面直角坐標(biāo)系的教學(xué)講解與數(shù)軸是分不開的.筆者認(rèn)為,可從六個方面為學(xué)生講解平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸之間的聯(lián)系：一是基本概念的講解;二是兩點(diǎn)之間的距離與其中點(diǎn)的坐標(biāo);三是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)之間存在什么坐標(biāo)特征;四是數(shù)軸上的點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動問題;五是如何運(yùn)用數(shù)軸以及坐標(biāo)系解決實(shí)際問題;六是基于知識結(jié)構(gòu)的數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系總結(jié).

1.1 基本概念的講解

為了能夠準(zhǔn)確表示一條直線上的某一個點(diǎn)的位置,我們引出了數(shù)軸.教師可以借助生活情境進(jìn)行教學(xué),具體如例1.在此基礎(chǔ)上,教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層分析,如何精準(zhǔn)表達(dá)某一個點(diǎn)在平面內(nèi)的位置,此時引出何為平面直角坐標(biāo)系,具體如例2.

例1 假設(shè)某一中學(xué)門外有一條南北向的馬路,在大門往南8 m處種著一棵楊樹,在大門往南5 m處種著一棵柳樹,而在大門往北4 m處種著一棵蘋果樹,在大門往北6 m處安裝了一根電線桿,請大家在紙上繪制出上述情境.

例2 在上面的分析中我們已經(jīng)可以使用數(shù)軸表示一條直線上某一個點(diǎn)的位置,那么請大家思考如何確定一個平面上某一個點(diǎn)的位置.

教學(xué)意圖：數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系的概念都是在精準(zhǔn)確定某一點(diǎn)位置的基礎(chǔ)上提出的,前者為一維空間——直線,后者為二維空間——平面.

1.2 兩點(diǎn)之間的距離與其中點(diǎn)的坐標(biāo)

1.2.1兩點(diǎn)之間的距離

要想確定數(shù)軸上兩個點(diǎn)的距離,可以將這兩個點(diǎn)的位置分別表示為a與b,那么它們之間的距離為|a-b|.

要想確定平面坐標(biāo)上兩個點(diǎn)的距離,我們可以將這兩個點(diǎn)的位置表示為(x1,y1)及(x2,y2),此時它們間的距離有三種情況：

情況一：如果兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,即x1=x2,那么距離為|y1-y2|;

情況二：如果兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,即y1=y2,那么距離為|x1-x2|;

教學(xué)意圖：無論是數(shù)軸還是平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí),學(xué)生都需要掌握兩點(diǎn)距離的計(jì)算方式[2].如果平面直角坐標(biāo)系中兩個點(diǎn)連成的直線能夠與x軸或者y軸平行,那么我們就可以將其簡化為數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的算法.如果這兩個點(diǎn)連成的直線與x軸或者y軸不存在平行關(guān)系,那么學(xué)生就可以使用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

1.2.2中點(diǎn)的坐標(biāo)

例3 設(shè)數(shù)軸上存在一條線段AB,點(diǎn)C是該線段的中點(diǎn),請大家計(jì)算出不同線段的中點(diǎn)位置,見表1.在計(jì)算完成后,請大家推理出數(shù)軸上線段中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式.

表1 數(shù)軸上線段中點(diǎn)的位置

例4 設(shè)平面坐標(biāo)系中存在八個點(diǎn),我們將其位置表示為：A(-1,-1),B(3,3),C(1,1),D(1,4),E(-3,3),F(-1,1),G(5,-1),H(3,-2),I(3,2),J(1,-2),求CG,BE,DJ,HI,FF的中點(diǎn)坐標(biāo).在完成后思考：線段兩點(diǎn)的坐標(biāo)與中點(diǎn)坐標(biāo)間存在什么關(guān)系?

教學(xué)意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)軸上線段中點(diǎn)的位置表示方式后,就可以根據(jù)這一規(guī)律來類比坐標(biāo)系線中段中點(diǎn)位置的表示方式.

1.3 關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)特征

例5 已知的平面直角坐標(biāo)系如下圖1所示,當(dāng)△ABC經(jīng)過變換后可以得到△PQR,請寫出不同點(diǎn)的坐標(biāo)：A點(diǎn)坐標(biāo)為____,B點(diǎn)坐標(biāo)為____,C點(diǎn)坐標(biāo)為____,P點(diǎn)坐標(biāo)為____,Q點(diǎn)坐標(biāo)為____,R點(diǎn)坐標(biāo)為____.完成后請觀察A點(diǎn)與P點(diǎn)、B點(diǎn)與Q點(diǎn)、C點(diǎn)與R點(diǎn)的坐標(biāo)符號之間存在什么關(guān)系,并總結(jié)出一般規(guī)律.

圖1 平面直角坐標(biāo)系示意圖

教學(xué)意圖：學(xué)生在本環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)明白,當(dāng)坐標(biāo)系中某一點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)時,其關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b),即兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)也互為相反數(shù).

1.4 數(shù)軸上的點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動

例6 設(shè)某一數(shù)軸上存在兩個點(diǎn)A與B,其位置分別為-8和9.動點(diǎn)P將從點(diǎn)B開始以每秒兩個單位的速度向負(fù)方向移動,動點(diǎn)Q將從點(diǎn)A開始以每秒一個單位的速度向正方向移動,當(dāng)運(yùn)動了t秒后,請寫出兩個動點(diǎn)P與Q的位置.

例7 坐標(biāo)系內(nèi)存在一點(diǎn)A,其坐標(biāo)為(8,-3).將點(diǎn)A先沿y軸向上移動4個單位,得到點(diǎn)B,該點(diǎn)的坐標(biāo)為多少?若將點(diǎn)A先沿x軸向右移動4個單位,得到點(diǎn)C,該點(diǎn)的坐標(biāo)為多少?請觀察點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo),你能發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律?

教學(xué)意圖：學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),數(shù)軸上動點(diǎn)的變化規(guī)律與坐標(biāo)內(nèi)動點(diǎn)的變化規(guī)律是相似的.

1.5 運(yùn)用數(shù)軸以及坐標(biāo)系解決實(shí)際問題

例8 某市的貨運(yùn)車司機(jī)王師傅在某一天上午一直行駛在南北走向的公路上,如果我們將朝南的方向設(shè)為正方向,朝北的方向設(shè)為負(fù)方向,那么王師傅這一段時間的位置變化為(單位為km)：-4,-1,+5,-7,+10,-3,+13,當(dāng)王師傅將最后一件貨物送完后,終點(diǎn)距離最開始的距離有多遠(yuǎn),終點(diǎn)在出發(fā)點(diǎn)的哪個方向上?

例9 在長方形ABCD中,AB=6,BC=4,以AB邊所在的直線為x軸,A點(diǎn)原點(diǎn),AD邊所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.請根據(jù)以上信息寫出長方形四個點(diǎn)的坐標(biāo)位置.如果改變平面直角坐標(biāo)系,那么這四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)又會發(fā)生怎樣的變化?

教學(xué)意圖：當(dāng)面對生活問題時,很多學(xué)生難以將關(guān)鍵信息運(yùn)用起來,此時我們可以構(gòu)建數(shù)軸以及坐標(biāo)系來刻畫某一點(diǎn)的位置,將復(fù)雜的問題簡單化.

2 基于知識結(jié)構(gòu)開展單元教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐思考

《平面直角坐標(biāo)系》這一單元的內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要,學(xué)生在后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中還使用坐標(biāo)系作為解題工具,教師應(yīng)當(dāng)深度挖掘教材內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層分析[3].然而《平面直角坐標(biāo)系》單元的內(nèi)容較為零散,如何有效運(yùn)用知識結(jié)構(gòu)開展單元教學(xué)設(shè)計(jì),這是一個值得深思的問題.

2.1 如何講解單元知識

課堂中教師需要做好知識銜接的準(zhǔn)備,先為學(xué)生講解數(shù)軸知識,并以此為基礎(chǔ)展開坐標(biāo)系模塊的教學(xué).該過程應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)軸與坐標(biāo)系知識間的聯(lián)系,從而幫助學(xué)生更加系統(tǒng)地理解平面直角坐標(biāo)系.例如,教師在為學(xué)生講解如何計(jì)算“坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離”時,切不可直接將推導(dǎo)過程展示給學(xué)生,而是應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生對“數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離”的計(jì)算方式進(jìn)行深度思考,并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離計(jì)算方式.這一教學(xué)方法不僅可以提升學(xué)生的自主探究力,更是能夠加強(qiáng)學(xué)生對兩個知識點(diǎn)的理解.

2.2 如何引導(dǎo)學(xué)生思考

當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)軸知識內(nèi)容后,教師需要將此作為教學(xué)基礎(chǔ)開展后續(xù)的平面直角坐標(biāo)系教學(xué),該方式可以讓學(xué)生面對新知識時不再犯怵,而是可以主動運(yùn)用數(shù)軸規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo).由此看來,基于知識結(jié)構(gòu)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)并不是簡單的知識堆砌,其可以幫助學(xué)生將瑣碎的知識點(diǎn)匯集起來,最終成為一個整體.當(dāng)學(xué)生能夠理解數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系之間的聯(lián)系時,就能夠?qū)崿F(xiàn)一維至二維的飛躍,數(shù)學(xué)思維得到不斷完善.

2.3 如何開展后續(xù)學(xué)習(xí)

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完成數(shù)軸以及平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：我們?nèi)绾伪硎灸骋粋€點(diǎn)在三維空間中的位置呢?該擴(kuò)展性問題可以讓學(xué)生對空間直角坐標(biāo)系產(chǎn)生基本的認(rèn)知.基于之前的知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),學(xué)生可以很快根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的概念推理出空間直角坐標(biāo)系的概念,并參照教師課堂中的教學(xué)流程,通過合作學(xué)習(xí)的方式分析空間內(nèi)兩個點(diǎn)的距離的計(jì)算公式、空間內(nèi)兩個點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)位置表示方式及運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題.

3 結(jié)束語

通過上述的分析能夠發(fā)現(xiàn),運(yùn)用知識結(jié)構(gòu)開展單元設(shè)計(jì)能夠很好地解決以往教學(xué)中知識割裂的狀態(tài).該教育理念認(rèn)為初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)教學(xué),鼓勵學(xué)生探究不同知識要點(diǎn)間的關(guān)聯(lián).因此,數(shù)學(xué)教師必須熟悉教材中不同單元知識點(diǎn)的聯(lián)系,并通過清晰明了的單元設(shè)計(jì)方案引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識體系及邏輯結(jié)構(gòu).實(shí)踐表明,基于知識結(jié)構(gòu)的單元設(shè)計(jì)能夠有效提升初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中完成知識的遷移,最終形成完善的核心素養(yǎng).