張鳳麗

(山東省泰安第三中學,山東 泰安 271000)

極化恒等式源自課本中的一道練習題,下面從這道題目談起,提煉兩種幾何圖形模型,并通過例題說明極化恒等式解題應用的靈活性及優(yōu)越性.

1 源于課本

題目(人教A版普通高中教科書﹒數(shù)學必修第二冊(2019年版)第22頁練習第3題)[1]求證:(a+b)2-(a-b)2=4a·b.

簡證左邊=(a2+2a·b+b2)-(a2-2a·b+b2)=4a·b=右邊.故等式得證.

我們把這一公式稱之為極化恒等式,它反映了兩個非零向量的數(shù)量積與它們的和及差之間的等量關系,三個量可知二求一.

2 提煉模型

極化恒等式主要用來求解共起點向量的數(shù)量積問題,可從幾何圖形模型提煉出三角形模型以及平行四邊形模型.

2.1 三角形模型

圖1 三角形模型示意圖

證明因為D為△ABC的邊BC的中點,

根據(jù)極化恒等式,則

文字詮釋三角形相鄰兩邊向量的數(shù)量積等于第三邊中線向量的平方與第三邊向量一半的平方的差.簡記為:數(shù)量積等于中線方減去底半方.

推論2(三角形中線長定理)如圖1,在△ABC中,D是BC的中點,則

2.2 平行四邊形模型

圖2 平行四邊形模型示意圖

證明在ABCD中,

根據(jù)極化恒等式,則

3 靈活運用

極化恒等式把兩個非零向量數(shù)量積化歸為它們和向量與差向量平方差的四分之一,因此當和向量與差向量都為已知時,可以運用極化恒等式求解,尤其是求解含有中點或能構造中點的兩個共起點向量的數(shù)量積問題時,運用極化恒等式或它的幾何模型解答可達到事半功倍之效.

3.1 求數(shù)量積

解析因為D是BC的中點,所以由極化恒等式的三角形模型,得

點評若運用基底法和坐標法解答本題,求解過程運算量大,過程復雜.這里根據(jù)D是BC的中點的題設條件,直接運用極化恒等式的三角形模型求解,則求解十分快速、簡捷.

3.2 求數(shù)量積的取值范圍

A.[-3,1] B.[-1,3]

C.[-4,2] D.[-2,6]

解析如圖3,取AB中點D,連接CD.

圖3 例2題圖

因為△ABC為正三角形,所以O為△ABC的重心,O在CD上,且OC=2OD=2.

所以CD=OC+OD=3,

根據(jù)極化恒等式的三角形模型,得

3.3 求數(shù)量積的最值

所以由三角形模型極化恒等式得

≥9-25=-16,

3.4 其他應用

解析根據(jù)橢圓定義,得

|PF1|+|PF2|=2a=6.

①

在△F1PF2中,由余弦定理,得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,

由三角形模型極化恒等式推論,得

4 結束語

通過上述題目可以看出,極化恒等式能夠有效地建立起數(shù)量積與幾何圖形中長度大小的聯(lián)系,是連接代數(shù)與幾何之間的橋梁和紐帶.對于那些共起點且與中點相關聯(lián)的向量數(shù)量積運算問題,靈活運用極化恒等式是一條頗為有效的途徑.