李鴻昌

(北京師范大學(xué)貴陽(yáng)附屬中學(xué),貴州 貴陽(yáng) 550081)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A.{0,1,2} B.[0,2) C.{0,1} D.[0,1)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

A.-4 B.-2 C.0 D.2

5.已知圓O的直徑AB=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|=2|MB|,若點(diǎn)M的軌跡為曲線C,曲線C與圓O相交于C,D兩點(diǎn),則|CD|=( ).

6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值, 若(a3-1)(a4-1)=2,S6=15,則Sn≥0時(shí)n的最大值為( ).

A.9 B.10 C.11 D.12

A.[7,11) B.[6,15)

C.[5,11) D.[6,12)

圖1 第8題圖

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

10.已知Р是圓O:x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),直線l1:xcosθ+ysinθ=4與l2:xcosθ+ysinθ=2交于點(diǎn)Q,則( ).

A.l1與l2的距離為2

B.點(diǎn)P到直線l1距離的最大值為5

C.存在θ∈R,直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

D.對(duì)任意的θ∈R,動(dòng)點(diǎn)P到兩直線l1,l2的距離以及l(fā)1與l2的距離之和的最大值為10

11.已知函數(shù)f(x)滿足:①f(a+x)為偶函數(shù);②f′(c+x)+f′(c-x)=2a,a≠c,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( ).

A.f′(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱(chēng)

B.f(x)關(guān)于x=c對(duì)稱(chēng)

C.f(x)的一個(gè)周期為2|c-a|

D.f[f′(x)]關(guān)于x=c對(duì)稱(chēng)

三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.

13.已知正六棱臺(tái)ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3,4,該正六棱臺(tái)的外接球的表面積為100π,則該正六棱臺(tái)的高為_(kāi)___.

14.若直線ex-2y+eln 2=0是指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)圖象的一條切線,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___.

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟.

(1)求角C;

圖2 第16題圖

(1)求證:DB1⊥BA1;

(2)當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到DD1的中點(diǎn)時(shí),求BA1與平面C1EF夾角的正弦值.

17.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日在萬(wàn)眾期待中開(kāi)幕,乒乓球作為國(guó)球又一次掀起熱潮.為推進(jìn)素質(zhì)教育某學(xué)校舉行了乒乓球比賽,其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū),三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式,即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽(每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制),最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下:比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊(duì)員積3分,失敗的隊(duì)員積0分;而在比賽中以3∶2取勝的隊(duì)員積2分,失敗的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四,設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為p(0

(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒(méi)有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少?

(2)第10輪比賽中,記張三3∶1取勝的概率為f(p).

①求出f(p)的最大值點(diǎn)p0;

②若以p0作為p的值,這輪比賽張三所得積分為X,求X的分布列及期望.

18.已知函數(shù)f(x)=xlnx-2x+m(m∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1

(1)求m的取值范圍;

(2)證明:x1+x2<3e-m.

(1)設(shè)AB與CD交于點(diǎn)E,求證:點(diǎn)E在橢圓Γ內(nèi);

(2)求四邊形ACBD的面積的取值范圍.

參考答案

1.C 2.D 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.BC 10.AB 11.AD

12.-3 13.1或7 14.e或e2

15.(1)由題意得

因?yàn)镃∈(0,90°),所以C=60°或75°.

所以B=60°.

①若C=60°,易知△ABC為等邊三角形.

②若C=75°,則A=45°.

16.(1)由題意可得平面AA1C1C與平面BB1D1D互相垂直.

因?yàn)锳1C1⊥B1D1,所以A1C1⊥DB1.

所以四邊形BB1GD為菱形.

所以BG⊥DB1.

又因?yàn)锳1C1∩BG=G,

所以DB1⊥平面BA1C1.

又BA1?平面BA1C1,故DB1⊥BA1.

圖3 正四棱錐建系

設(shè)平面C1EF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

設(shè)BA1與平面C1EF的夾角為θ,

(2)①由題可知

f′(p)=3[3p2(1-p)+p3×(-1)]

=3p2(3-4p).

②X的可能取值為0,1,2,3.

所以X的分布列見(jiàn)表1:

表1X的分布列

X0123P132562751281512189256

18.(1)由題知f′(x)=lnx-1.

令f′(x)=0,得x=e.

當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以f(x)min=f(e)=m-e.

要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則需滿足m-e<0,解得m

且當(dāng)x→0+時(shí),f(x)→m,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,故m>0.

綜上所述,m的取值范圍是(0,e).

(2)由(1)得0

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增.

即g(x)

整理,得x12+(m-3e)x1+me>0.

③

④

④-③整理,得

(x2-x1)[x2+x1-(3e-m)]<0.

又因?yàn)閤2-x1>0,所以x1+x2<3e-m.

故原不等式得證.

19.(1)由題意知c2=a2-b2=4-3=1.

所以F1(-1,0),F2(1,0).

因?yàn)镃D⊥AB,即F1E⊥F2E.

所以點(diǎn)E在以線段F1F2為直徑的圓上,該圓的方程為x2+y2=1.

①若AB垂直于x軸,則CD為長(zhǎng)軸,此時(shí)

②若AB和CD都不垂直于x軸,如圖4所示.

圖4 橢圓內(nèi)接四邊形

設(shè)AB的斜率為k(k≠0),則由

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

記k2=t(t>0),構(gòu)造函數(shù)

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(t)<0,f(t)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(t)>0,f(t)單調(diào)遞增.

當(dāng)t→0(t>0)時(shí),f(t)→6;